Quod Erat Demonstrandum

2012/01/28

標誌裡的數學

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 7:54 pm


(更多…)

2012/01/20

arctan,pi,complex numbers

Filed under: mathematics,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:02 pm
Tags:

式子

\pi=\tan^{-1}1+\tan^{-1}2+\tan^{-1}3

美麗嗎？我比較多見的形式是

\tan^{-1}(\frac{1}{2})+\tan^{-1}(\frac{1}{3})=\frac{\pi}{4}

（易知 \tan^{-1}(\frac{1}{n})+\tan^{-1}(n)=\frac{\pi}{2}，故上述兩式等價。）

以圖來證明上式，可以考慮 (更多…)

2012/01/18

[FW] NOVA scienceNOW | Twin Prime Conjecture | PBS

Filed under: Fun — johnmayhk @ 9:51 pm
Tags:

[News] BSD猜想有望破解 華數學家轟動學界

Filed under: Report,University Mathematics — johnmayhk @ 11:06 am

BSD猜想有望破解 華數學家轟動學界 (更多…)

2012/01/17

Core Math 某題-counting

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:50 pm

10 人（當中包括 A 和 B）排 10 人隊，若 A 不能排第一，B 不能排第尾，問排法多少？

答：

情況一：B 排第一（這樣也自然滿足了「A 不能排第一且 B 不能排第尾」的情況）

那麼，餘下 9 人排在餘下的 9 人隊，共 9! 種排法。

情況二：B 不是排第一

首先，B 不是排第一，而A也不能排第一，故排第一者只有 10-2=8 種可能情況。

另外，B 不能排第尾，故排第尾者只有 9-1=8 種情況。

餘下的 8 人，排在之間的 8 個位置，共 8! 種情況。

所以情況二共有 8\times 8\times 8! 種情況。

故滿足「A 不能排第一且 B 不能排第尾」的排法共有 9!+8\times 8\times 8!=8!(9+8^2)=73\times 8! 種。

但同學建議另一個「解法」： (更多…)

2012/01/15

Ｄ數字

Filed under: Fun — johnmayhk @ 12:04 am

問 3'=?

按照一般求導方式，3'=\frac{d(3)}{dx}，答案當然是零。

但在數論中，數字「求導」可以有另一種定義。

對任何自然數 a,b，

1. 若 a 是質數，則 a'=1
2. (ab)'=ab'+a'b

於是 (更多…)

2012/01/14

續 Core Math 某題

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 9:32 am

I’m asked to generalize the solution of the previous post, okay, do it.

Let n be a positive even integer.

Set 1: {a_1,a_2,\dots,a_{n/2},a_{n/2+1},\dots,a_n}
Set 2: {a_1,a_2,\dots,a_{n/2},0,a_{n/2+1},\dots,a_n}

where a_1 < a_2 < \dots < a_{n/2} < 0 < a_{n/2+1} < \dots < a_n.

Let \sigma_1, \sigma_2 be the standard deviations of Set 1 and Set 2 respectively.

Show that \sigma_1 > \sigma_2.

Solution (by ugly brute force) (更多…)

2012/01/12

Core Math 某題

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 10:25 pm

Set 1: {a,b,d,e}
Set 2: {a,b,c,d,e}

（其中 a < b < c < d < e）

設 \sigma_1, \sigma_2 分別是 Set 1，Set 2 的標準差（standard deviation），即

\sigma_1^2=\frac{a^2+b^2+d^2+e^2}{4}-(\frac{a+b+d+e}{4})^2

\sigma_2^2=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2}{5}-(\frac{a+b+c+d+e}{5})^2

證

\sigma_1^2 > \sigma_2^2

結論頗直觀 (更多…)

2012/01/11

[FW] When learning maths, abstract symbols work better than real-world examples

Filed under: mathematics,Report — johnmayhk @ 10:40 am

http://blogs.discovermagazine.com/notrocketscience/2008/04/24/when-learning-maths-abstract-symbols-work-better-than-real-world-examples/

2012/01/09

[YouTube] Dangerous Knowledge (Philosophy, Physics, Mathematics) -BBC

Filed under: Fun,Report — johnmayhk @ 4:00 pm

2012/01/07

某題-級數

Filed under: Fun,HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:04 am

以下是數列 {a_n}

1 , 12 , 123 , 1234 , … , 12345678910 , 1234567891011 , …

以下是數列 {b_n}（把 a_n「倒寫」）

1 , 21 , 321 , 4321 , … , 10987654321 , 1110987654321 , …

以下是數列 {\frac{a_n}{b_n}}，即

1,\frac{12}{21},\frac{123}{321},\frac{1234}{4321},\dots

問：把上述數列求和 (更多…)

2012/01/06

變形金剛原型？

Filed under: Fun,Report — johnmayhk @ 7:38 am

摺紙似乎是這幾年中學數學的時興題目，這裡介紹另類摺「紙」：

參考＂Shifty Science: Programmable Matter Takes Shape with Self-Folding Origami Sheets＂

http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=computational-origami-robot

(OT) Old stupid jokes…

Who is transformer’s sister?
Tran (更多…)

2012/01/05

斐波那契數與二項係數

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 9:51 am

除了二項式定理（binomial theorem）

(a+b)^n=\displaystyle\sum_{r=0}^nC^n_ra^{(n-r)}b^{r}

和萊布尼茲微分法則（Leibniz’s rule）

(fg)^{(n)}=\displaystyle\sum_{r=0}^nC^n_rf^{(n-r)}g^{(r)}

斐波那契數 (更多…)

2012/01/04

某題-多項式

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:08 am

引理：

考慮多項式　p(x)　，如果

p(x)=p(x-1) for all x \in \mathbb{R}

則　p(x)　其實是常數。

如何證 (更多…)

2012/01/03

某質數題

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 3:01 pm

答網友：

問題

設 p_n 為第 n 個質數。試以數學歸納法（Mathematical Induction）證明，對任意正整數 n，必有

p_n < 2^{2^n}

解答

當 n=1， (更多…)

Next Page »

Theme: Rubric. Blog at WordPress.com.

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.