Quod Erat Demonstrandum

六月 21, 2009

應用純數

Filed under: Additional / Applied Mathematics, HKALE, Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:02 am

有人強調數學在生活中的應用，有人指出所謂「數學在生活中的應用」是牽強的。經驗使我比較贊成後者。

無論如何，以趣味的角度向學生介紹（所謂的）數學在生活中應用的例子，或許可以達到某些教學的成效。

讓我在這裡介紹一個「偽應用」吧，起碼三本數普書籍有記載此例。

修純數的同學定會接觸介值定理：

設 f 為定義在 [a,b] 上的連續函數，已知 f(a)f(b) < 0，則在 (a,b) 內存在 c 使 f(c) = 0。

這個定理有沒有生活應用例子？嗯，或許有，見下：

今有方桌子一張，四條腿等長。若把桌子放於凹凸不平但平滑的地面上，證明一定存在某個位置，使四條腿同時著地。

想像從上面看桌面（top view），設 A, B, C, D 為四腿子在地面的投影，見下

連 AC 及 BD，分別視之為直角坐標系中的 x 軸和 y 軸。

想像桌子自由地繞中心轉動，以 \theta 代表對角線 AC 轉動後與 x 軸的夾角。

命
f(\theta) = 對應 A, C 兩腿與地面距離之和
g(\theta) = 對應 B, D 兩腿與地面距離之和

因地面光滑，知 f(\theta), g(\theta) 為連續函數。

可以想像，我們總可使桌子三腿著地，比如先使對應 A, C 的腿著地，即 f(\theta) = 0 for some \theta，再使對應 B 的腿著地，這時 g(\theta) > 0

無論如何，我們有

f(\theta)g(\theta) = 0　\forall \theta – - – - – - (*)

現在，不況設為對應 A, B, C 的三腿著地在 \theta = 0 之處著地，即

f(0) = 0
g(0) > 0

命
h(\theta) = f(\theta) - g(\theta)

則
h(0) = f(0) - g(0) < 0

想像把桌子轉動 \frac{\pi}{2}，即 AC 和 BD 的位置互換，易知

f(\frac{\pi}{2}) > 0
g(\frac{\pi}{2}) = 0

則
h(\frac{\pi}{2}) = f(\frac{\pi}{2}) - g(\frac{\pi}{2}) > 0

由介值定理，在 (0 , \frac{\pi}{2}) 中必存在 c，使

h(c) = 0

即 f(c) = g(c) = 0（第二個等式由 (*) 而得）亦即四腿在 \theta = c 之位置著地。

……這例子讓我憶起兒時和弟妹在同一張小桌子上做家課的景象……

下面的例不是純數而是應數的例，純粹順便打一打，有點 Out-C 的，同學見諒。

設有一表面光滑的橄欖球，其表面形狀是由長半軸為 6，短半軸為 3 的橢圓繞其長軸旋轉所得的旋轉橢圓球面。在無風的細雨天，將該球放於室外草坪上，使長軸在水平位置。求雨水從球面上流下的路線方程。

取 y 軸為長軸，橢圓面方程為

\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{36} + \frac{z^2}{9} = 1

由於雨水會沿 z 下降最快的方向向下流，此方向就是使 z 的方向導數取得最大值的方向，即

\nabla z = \{\frac{\partial z}{\partial x} , \frac{\partial z}{\partial y}\}

設雨水流下的曲線為 L ,L 在 xOy 面上的投影曲線的方程為

L_{xy} : f(x,y) = 0

則 L_{xy} 的切向量 \{dx , dy\} 應與 \nabla z 平行，故

\frac{dx}{(\frac{\partial z}{\partial x})} = \frac{dy}{(\frac{\partial z}{\partial y})}

橢圓面方程兩邊取全微分，得

\frac{2x}{9}dx + \frac{2y}{36} + \frac{2z}{9}dz = 0
dz = -\frac{x}{z}dx - \frac{y}{4z}dy
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}, \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y}{4z}

因此

\frac{dx}{-\frac{x}{z}} = \frac{dy}{-\frac{y}{4z}}
\frac{dx}{x} = \frac{4dy}{y}

解出

x = Cy^4 （C 由雨滴初始位置決定），因此所求的曲線為

L: \left \{ \begin{array}{ll} x = Cy^4\\\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{36} + \frac{z^2}{9} = 1\end{array}\right.

……趁我還未忘記記下……

早前的一分鐘閱讀介紹了《當我們變成一堆數字》一書

當中出現了一個名詞：Numerati，數字搜客。有時間不況看看書摘：
http://www.ithome.com.tw/itadm/article.php?c=55377

……無聊聯想到：一分鐘「驗毒」、中學生「驗毒」獎勵計劃……

分享一下學生傳給我的圖：

1245404278575

……我做數也是如此，很人性的感覺吧……

4個回應 »

  1. 第二個例消化中…有D似之前final見過的題目…這不是’有點’out c吧XD.
    Multivariable cal的final炒了…

    Comment by Justin — 六月 21, 2009 @ 2:17 am | Reply

  2. 炒了也沒事吧？

    第一例，好像愈看愈有問題…真的可以保證三腳著地嗎？

    Comment by johnmayhk — 六月 22, 2009 @ 1:49 pm | Reply

  3. multi. cal.係core course…炒了+拉低成績…

    但如果由對角的兩腳着地應該也可以做到結果吧?不太肯定…
    請問介值定理是否即是Bolzano theorem?
    另外,第一例(*)的部分是for all pheta?,還是there exist?

    Comment by Justin — 六月 27, 2009 @ 2:29 pm | Reply

  4. Yes, Justin you are right. It seems that we can ensure 2 legs touching the ground instead of 3, and we still have

    f(\theta)g(\theta) = 0 for ALL \theta

    And the proof is OK.

    Bolzano theorem and intermediate value theorem are “two faces of a coin”, just read

    http://www.cut-the-knot.org/Generalization/ivt.shtml

    If mathematics is your favour, never give up. Study mathematics in university is quite different from secondary level, the pattern “definition-theorem” may be a bit boring without knowing the whole context of development of certain topics. Fed with speedy content, seems know nothing more after a semester…Be patient!

    Comment by johnmayhk — 六月 29, 2009 @ 5:27 pm | Reply


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