計到即存在?

初中時教解二次方程，我通常順便說一個無聊的例：

= ?

要求出「答案」，我們可設

等號左右兩邊取平方，則

故此

解出 或 （不合），亦即

當然，

的表達有點兒「唔清唔楚」，清楚一點的表達，比如是

即

中六修純數的同學知道，我們「計」極限時，要先證明極限存在，然後才進行上述「代 」 的計算。

同學會質疑：「明明已經計到極限出來（像低年級時做的），豈不就說明它存在嗎？為何還要先（比方說，用 monotonic sequence theorem 來）證明極限存在？」

其實所謂「計到」，不一定代表極限存在，舉個例：

即

如果我們跟隨低年級學的方法，設

取平方，

即

「計出」

不管哪一個值，總之取其中一個作極限，豈不是說極限存在嗎？

錯！{} 根本是不收斂的，且看

可見 {} 是發散的。此乃「計到，不一定存在」也。