Core Math 某題-counting

10 人（當中包括 A 和 B）排 10 人隊，若 A 不能排第一，B 不能排第尾，問排法多少？

答：

情況一：B 排第一（這樣也自然滿足了「A 不能排第一且 B 不能排第尾」的情況）

那麼，餘下 9 人排在餘下的 9 人隊，共 種排法。

情況二：B 不是排第一

首先，B 不是排第一，而A也不能排第一，故排第一者只有 種可能情況。

另外，B 不能排第尾，故排第尾者只有 種情況。

餘下的 8 人，排在之間的 8 個位置，共 種情況。

所以情況二共有 種情況。

故滿足「A 不能排第一且 B 不能排第尾」的排法共有 種。

但同學建議另一個「解法」：

先安排 A 不在第一位，共 9 種可能。

再安排 B 不在最尾，共 8 種可能（因不能在最尾，又有一個位置給 A 佔據了）。

餘下的 8 人，排在之間的 8 個位置，共 種情況。

從而計出滿足「A不能排第一且B不能排第尾」的排法，共有 種，咦，為何比之前少？

（教 counting 最難之處不是提供解，而是說明學生的誤解有甚麼問題。）

其實，同學的解是少數了（ 種情況），讓我解釋。

「先安排 A 不在第一位，共 9 種可能。」對，比如在空位

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

放下 A，情況可以是

_ _ A _ _ _ _ _ _ _

（共 9 種）

再「安排 B 不在最尾」，可以有

_ _ A _ B _ _ _ _ _

（共 8 種）

那麼，放 A 和 B 的方法，不就是 種嗎？錯！

當 A 放在第 2 至第 9 個位，不錯，之後有 8 個空位可放 B；

但當 A 放在第 10 個位，即

_ _ _ _ _ _ _ _ _ A

我們卻有 9 個（不止 8 個）空位可以放 B。

所以，放 A 和 B 的方法，不是 種，而是 種，即 種。

再考慮餘下的 8 人，滿足題意的排法共 種。

現提供另一個題法：用概率。

P(「A 不排第一」ＡＮＤ「B 不排第尾」)

= 1 – P(「A 排第一」 ＯＲ 「B 排第尾」)

= 1 – [P(「A 排第一」) + P(「B 排第尾」) - P(「A 排第一」 ＡＮＤ 「B 排第尾」)]

= 1 – [1/10 + 1/10 - (1/10)(1/9)]　　（注：那個 ’1/9′ 是條件概率）

= 73/90

故滿足題意的排法共

當這類問題「常規化」，比如視作「公式」： 人排隊（），某人不能排第一，另外某人不能排尾，共有 種排法。一切就沒有樂趣了。