arctan,pi,complex numbers

式子

美麗嗎？我比較多見的形式是

（易知 ，故上述兩式等價。）

以圖來證明上式，可以考慮三個正方形（似乎比較常見），運用初中學的幾何知識得之，見下圖

綠色角和紅色角之大小，分別是 和 云云。

今次寫另一個證明方法。

考慮正方形 ，對角線交於 。

易知 。

設 為 之中點（mid-point），連 交 於 ，見

考慮 ，易知 ，即

考慮 ，也知

（為何？由於 和 相似，而 ，故 ，也是說 ）

因為 ，即 。

圖像證明是不錯的，但當情況稍為複雜，可能圖像方法沒有優勢，比如證明

我們要另闢蹊徑：利用複數（complex number）。

首先，當 時，恆有 。

那麼， 就是 了。（其中 是 的主值 principal value）

另外，

以及（厲害了！）我們有：

即

記得以前做習題也碰過這例，證明

這是 John Machin 於 1706 年發現的。這樣的式子，對計算圓周率近似值，很有幫助。見

http://en.wikipedia.org/wiki/John_Machin

我不懂如何運用圖像而得出上式，但利用複數，可輕易證明，但當然先要有「神來之筆」，見下：

仿傚上題，考慮複角 ，一步 KO，龍年快樂！