以下是中七同學 Justin 早前的留言。
John sir早前上堂提到 complex number: i 和 0 大小比較的問題
當時的內容：
設 
, then 
,則 
, contradiction。反之設 
, 亦生矛盾。
＂＞＂關係能滿足以下四個性質:
1)對任何兩個不同的數 
; 
or 
不能同時成立
2)if ,
then 
3)if then 
4)if , 
then 
現設
by 4) ,
書中提到此未能導致矛盾(*)
(因為”>”不一定是實數中規定的含義)←這和阿sir上堂提到的問題有分別。
繼續：
利用剛得到的 ,by 4), both sides time 
then 
, 
(這裏並未有將inequality sign倒轉),這裡是否和(*)所提到的有關？
we have
by property 3), add 1 into both sides
,then 
by from above, and ,which contradicts property 1)
then we can conclude that 
is not 
反之 也有同樣結果
然而，我的問題是：inequality sign 的使用層面 or 定義有沒有特定規限？因為 (*)
感謝同學指出我的錯誤。我以『-1 > 0』證明『複數不能比較大小』是太快得到結論。讓我趁機又吹吹水。
小孩初接觸自然數，
1,2,3,…
自然地為數字『排序』， 1 先，之後是 2，之後是 3，如此類推。及後，我們引入『不等式』符號 <，得到
1 < 2 < 3 < …
代表著一種『序』（order），也方便我們把兩個自然數比較大小，諸如 3 比 5 小，記之曰 3 < 5。
數學上，我們有辦法定義其他不同的『序』，比如，我們真的可以有
1 > 2，2 > 3 等等（參考 order dual）
那個符號『>』，就不是我們一般的大於（not in usual sense），而是符合某些條件的一種『序』。
對於 complex numbers，我們可否定義出一種『序』？
可以，最常用的是『字典排序』（lexicographic order），即是把字編入字典的方法，比如编 happy 先於 harass，因為我們由左至右比較字母，頭兩個也一樣，直至發覺 p 先於 r，便規定 happy 先於 harass。不妨記之曰 happy < harass。
對 complex number，我們不妨定
a + bi < c + di 當且僅當 a < c 或 (a = c 及 b < d)
（當心，在 A-level 千萬不可出現 a + bi < c + di 等等的式子，老師會二話不說給你零蛋。我們現在討論的是一種『序』，隨便你用什麼符號，但用『<』，是讓我們有一種熟悉的感覺而已，它不一定是一般的不等式符號，它只用來表達熟先熟後的標記。所以 Justin 可以放心，在中學，『<』這個符號一定是代表『嚴格小於』，只是到了大學，就要看情況了。）
由上述定義，我們有
3 + 100i < 4 + 2i
5 + 6i < 5 + 7i
8 – 2i < 8
等等。
（大家領略到好像『查字典』的感覺嗎？）
那麼，任何兩個 complex numbers，我也可以『知其先後』。
但，我們一般不會稱：任何兩個 complex numbers 都可『比較大小』。
其實，何謂『序』？數學上，『序』是一種關係（relation），起碼包括以下三種：
1. 偏序（partial order）：亦可再細分為弱偏序及嚴格偏序
2. 線序（linear order）或稱全序（total order）
3. 良序（well order）
先談偏序。
設 A 是一個集。如果存在一種關係，姑且稱之曰 
，滿足以下 3 個特性
（自身性 reflexivity）對所有 a 
A, 恒有 a a。
（反對稱性 antisymmetry）對所有 a , b A, 若 a b 及 b a，則 a = b。
（傳遞性 transitivity）對所有 a , b , c A, 若 a b 及 b c，則 a c。
我們稱滿足上述 3 個條件的關係 為偏序。存在這種偏序的集，稱為偏序集（partially ordered set，或稱 poset）。只要考慮一般意義下的不等式 ，整數集明顯地是偏序集。
讓我給一個非不等式的例子。
例如
命
a = {1}
b = {2}
c = {3}
d = {1,2}
e = {1,3}
f = {2,3}
g = {1,2,3}
設 A = {a,b,c,d,e,f,g}
我們很容易為 A 定義一種偏序，就是所謂 set inclusion。即
x y iff x 
y
見上例，因 a d，有 a d。又例如，b d 而 d g，有 b g；亦表示 b d，d g，有 b g。
因為 存在自身性，反對稱性和傳遞性，立知 亦符合這 3 個條件，即 是偏序。
Justin 給的序和偏序差不多，即是所謂嚴格偏序（strict order）。
設 A 是一個集。如果存在一種關係，姑且稱之曰 
，滿足以下 3 個特性
（非自身性 irreflexivity）對所有 a A, 無 a a。
（非對稱性 asymmetry）對所有 a , b A, 若 a b，則無 b a。
（傳遞性 transitivity）對所有 a , b , c A, 若 a b 及 b c，則 a c。
稍微推論一下，我們可以由『傳遞性』及『非自身性』推出『非對稱性』，那麼嚴格偏序的條件可減少到 2 個。
相對於嚴格偏序，有人稱前一種偏序為弱偏序。
單有偏序，足夠嗎？不，起碼，偏序不能滿足我們習以為常的一種認為：任何兩個數都可以『比較』。
舉例，我們在正整數集上定義這樣的一種偏序：若 a 整除 b，則定義 a b。例如
2 6 ［因 2 整除 6］
5 20 ［因 5 整除 20］
只要稍微檢查，可知這種序滿足偏序的三個要求：自身性，反對稱性和傳遞性。然而，對於某對正整數，諸如 4 和 5，因 4 不整除5 及 5 也不整除 4，故我們既無 4 5 亦無 5 4。這就是所謂不能『比較』了。
那麼，我們只要在嚴格偏序條件上加多一個：所謂『三分律』或『三一律』，即集合中任何兩個元素必有『三種關係』的其中一種，即
（三分律 trichotomy）對所有 a , b A, 必有 a b, b a 或 a = b。
滿足非自身性，非對稱性，傳遞性再加上三分律這四個條件的偏序，稱為線序或全序。
『線』者，取其把所有『元素』都可如『數線』，按序排列。
『全』者，即謂『全部』元素都可知其先後。
稍微檢查一下，複數集上定義的『字典排序』：a + bi < c + di 當且僅當 a < c 或 (a = c 及 b < d)
是全序，故複數集是所謂全序集。
如果複數集只是盛載著複數的集合，沒有任何運算發生的話，這個數學物體可說是沒有價值。但當我們在這個集合賦予了一些運算，諸如加減乘除，我們彷彿把這個死物『有機化』，滿注『生命力』。當複數集定義了『加法』和『乘法』後，這個東西不單是複數集，數學上，我們可稱它為複數域（field）。
如果有個域 F（簡單說，就是可以在 F 當中定義『加法』和『乘法』兩種運算），一旦存在全序 滿足額外的兩個要求：
（1）對所有 a , b , c F，若 a b，則 a + c b + c。
（2）對所有 a , b F，若 0 a 及 0 b，則 0 ab。
我們稱 F 為全序域。這個『』更進一步符合我們慣常意義下的不等式之要求。
那麼，複數域是全序域嗎？Justin 的留言已經說明了，複數域不是全序域。讓我也不厭其煩，重述之。
我們用前述的『字典排序』，有 0 i。
假如複數域是全序域，由條件（2），得 0 
得 0 -1
有違『字典排序』，生矛盾。
好，若我們在複數域上定義另外的全序（不用『字典排序』），表之曰⊿。由全序定義，我們必有
0 ⊿ i 或 i ⊿ 0 或 i = 0（不合）
先考慮 i ⊿ 0
由全序域的條件（1），得 i + (-i) ⊿ 0 + (-i)
即 0 ⊿ -i
由全序域的條件（2），得 0 ⊿ (-i)(-i)
即 0 ⊿ -1 ———————————- (*)
再由全序域的條件（2），得 0 ⊿ (-1)(-1)
即 0 ⊿ 1
由全序域的條件（1），得 0 + (-1) ⊿ 1 + (-1)
即 -1 ⊿ 0 ———————————– (**)
由 (*) 及 (**) 可見，⊿ 已不符合全序的其中一個條件：三一律，所以我們不能在複數域上定義這種滿足全序域的序 ⊿。
類似地，若考慮 0 ⊿ i，我們也可推導出 ⊿ 有違全序的條件，諸君不妨一試。這樣，正是這個原因，我們會（粗疏地）說『兩個複數可排序但不能比較大小』。
總結
複數集是全序集，但
複數域不是全序域。
至於第三種序：良序。對歸納法之所以可行和研究無限集序數等有重要意義，但和本篇主題不太相關，就此在結。
連續，並不保證逆函數 
也連續。
並 
（即 
不過是
中的 unit circle）定義 
使 
，一看下圖，立即知道 
{
}
{
}
中並不存在無限小，現代非標準分析創始人 A. Robinson 等利用超冪概念構作有序的非標準實數域，允許無窮小直接參加運算。
的運算。比如
，可以「要幾大，有幾大」；但實際上，我們日常接觸的運算工具，必有其限制；用 EXCEL 2003，只可以算出的最大乘階是
為一級數，若 
是一一對應函數（bijection），則級數 
稱為 
收斂，稱 
be a finite vector space over 
, let 
be a linear transformation. Suppose 
such that
is non-zero. Show that 
are linearly independent.
. 
} is increasing.
to complex number by using the above formula. Replace 
, we have
, thus
where 
and try to find out values of 
. Also, by putting 
into the Euler’s formula, we have 
. Continue,
, taking logarithm, yields
to Yan, hence it is done.
. It is not differentiable at 
, but apart from 
(almost everywhere). Can we imagine a “bad” function such that it is not differentiable at every x?
where 
is an odd natural number, 0 < 
< 1, 
. This example was found in 1860. Secondary school students should understand the proof of non-differentiablity of the function, but I need time to type. Many years ago, I copied an easier example, just read 
language. It is an elementary mathematics concept.
