e.g. 1

再做一些分析，得

e.g. 2

再做一些分析，得

詳見：

http://www.banskt.com/blog/golden-ratio-in-logo-designs/

美麗嗎？我比較多見的形式是

（易知 ，故上述兩式等價。）

以圖來證明上式，可以考慮三個正方形（似乎比較常見），運用初中學的幾何知識得之，見下圖

綠色角和紅色角之大小，分別是 和 云云。

今次寫另一個證明方法。

考慮正方形 ，對角線交於 。

易知 。

設 為 之中點（mid-point），連 交 於 ，見

考慮 ，易知 ，即

考慮 ，也知

（為何？由於 和 相似，而 ，故 ，也是說 ）

因為 ，即 。

圖像證明是不錯的，但當情況稍為複雜，可能圖像方法沒有優勢，比如證明

我們要另闢蹊徑：利用複數（complex number）。

首先，當 時，恆有 。

那麼， 就是 了。（其中 是 的主值 principal value）

另外，

以及（厲害了！）我們有：

即

記得以前做習題也碰過這例，證明

這是 John Machin 於 1706 年發現的。這樣的式子，對計算圓周率近似值，很有幫助。見

http://en.wikipedia.org/wiki/John_Machin

我不懂如何運用圖像而得出上式，但利用複數，可輕易證明，但當然先要有「神來之筆」，見下：

仿傚上題，考慮複角 ，一步 KO，龍年快樂！

BSD猜想有望破解 華數學家轟動學界

【本報訊】據韓國《中央日報》17 日消息：2000 年5 月24 日，美國克雷數學研究所公布了千禧年七大數學難題，每解破一題的解答者，會獲頒獎金100 萬美元，11 年來，數學界只攻破了一題。韓國浦港工大日前舉辦了國際冬季學校，向其中的BSD 猜想發起衝擊，來自中國的田野給出了答案的線索，成為全場焦點。

在浦港工大的國際冬季學校，來自中國數學研究所41 歲的田野博士作為演說嘉賓，是關於BSD（Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture）猜想領域中的5 名權威者之一。針對解開BSD 猜想時必須要回答的問題（即「是否存在同餘數」（congruent number）），田野說： 「存在無數個同餘數」，首次給出了答案的線索。田野連續用5 個多小時來進行證明，他說， 「我也是在一個月前才得出了這個結論」。

聽完其報告後，該領域泰斗劍橋大學教授約翰．科茨（John Coates，67 歲）評價稱「雖然這並不是完美的答案，但是對於解決BSD 猜想確實是一個巨大的飛躍。」

將接受數學界檢驗

浦港工大立即決定將田野的證明在春季學期集中研討，科茨教授也承諾將在秋季學期中就自己的分析進行特別演講。田野計劃立刻將這一證明整理成論文，以接受數學界的精密檢驗。

受中國近年來吸引優秀海外科學家回國政策的影響，田野在美國獲得博士學位後回到中國，成了中國數學界的新秀。在中國吸引人才回國政策中起核心作用的人物是「菲爾茨獎」的唯一中國獲獎者──哈佛大學教授丘成桐（63 歲），菲爾茨獎被稱為數學界的諾貝爾獎，是數學界的權威獎項。

韓教授有危機意識

浦港工大教授崔映周（54 歲）稱「在對田野的發表內容感到印象深刻的同時，也感到中國正在在解決問題方面有主導權，（我）產生了危機意識」。韓國出席人士稱「中國等世界數學界的動向讓我們受到了強烈的刺激」。

為挑戰懸賞100 萬美元的這一問題，冬季學校已經不分晝夜。參加人員每天都會拿到必須要解決的數學問題，這樣，他們自然地形成了解決BSD 猜想的國際網絡。此外，在舉行冬季學校期間還有讀者寫出自己的答案送來等，一般民眾對此也十分關心。浦港工大還將於2013 年及2014年舉辦冬季學校來挑戰懸賞100 萬美元的BSD 猜想。

貝赫和斯維訥通—戴爾猜想是七大千禧年大獎難題之一。千禧年大獎難題（MillenniumPrize Problems），是七個由美國克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute, CMI）於2000 年5 月24 日公布的數學難題。根據克雷數學研究所訂定的規則，所有難題的解答必須發表在數學期刊上，並經過各方驗證，只要通過兩年驗證期，每解破一題的解答者，會獲頒獎金100 萬美元。

這些難題是呼應1900 年德國數學家大衛．希爾伯特在巴黎提出的23 個歷史性數學難題，經過一百年，許多難題已獲得解答。而千禧年大獎難題的破解，極有可能為密碼學以及航天、通訊等領域帶來突破性進展。

七大難題如下：

● P/NP 問題（P versus NP）

●霍奇猜想（The Hodge Conjecture）

●龐加萊猜想（The Poincar Conjecture），此猜想已獲得證實。

●黎曼假設（The Riemann Hypothesis）

● 楊─ 米爾斯存在性與質量間隙

（Yang-Mills Existence and Mass Gap）

●納維─斯托克斯存在性與光滑性（Navier─ Stokes existence and smoothness）

●貝赫和斯維訥通─戴爾猜想

（The Birch and Swinnerton-DyerConjecture）

大公報
2012-01-18

當這類問題「常規化」，比如視作「公式」： 人排隊（），某人不能排第一，另外某人不能排尾，共有 種排法。一切就沒有樂趣了。

問

按照一般求導方式，，答案當然是零。

但在數論中，數字「求導」可以有另一種定義。

對任何自然數 ，

1. 若 是質數，則
2.

於是，基於上述定義，我們有

若把定義擴充到零，由定義 2， 也要定義為 0。

對質數 ，

…

Power rule 出現了！

e.g.

想多看一些，請往：

http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL6/Ufnarovski/ufnarovski.pdf

result follows.

Set 1: {}
Set 2: {}

（其中 ）

設 分別是 Set 1，Set 2 的標準差（standard deviation），即

證

結論頗直觀，但若直觀不能說服人，唯用低級方法（即應該有更好的方法）：「拆開」（expand）來證明。

不過「拆開」前，先做一些簡化。考慮

Set 3: {}
Set 4: {}

易知 Set 3 及 Set 4 的標準差，根本也是 和 。

那麼我們把問題轉為考慮

Set 1: {}
Set 2: {}

（其中 ）

結論也同樣有效。我們有

考慮

（因 ，故 及 ）

Q.E.D.

以下是數列 {}

1 , 12 , 123 , 1234 , … , 12345678910 , 1234567891011 , …

以下是數列 {}（把 「倒寫」）

1 , 21 , 321 , 4321 , … , 10987654321 , 1110987654321 , …

以下是數列 {}，即

問：把上述數列求和，即

是否收歛？

（答案）

摺紙似乎是這幾年中學數學的時興題目，這裡介紹另類摺「紙」：

參考＂Shifty Science: Programmable Matter Takes Shape with Self-Folding Origami Sheets＂

http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=computational-origami-robot

(OT) Old stupid jokes…

Who is transformer’s sister?
Transistor.

Who are transformer’s mum and dad?
Transparent.

What is transformer’s gender?
Transexual.

Where do transformers moor their ships?
Transport

Which transformer wears tights?
Transvestite

…

和萊布尼茲微分法則（Leibniz’s rule）

斐波那契數 ，即 ， () 者，也可「生產」二項係數。

觀察

可歸納出以下結果：

其中 是不大於 的非負整數。

特別地，當 ，得

其實，我只是從 等歸納出結果，並非證明。同學，可幫我證明一下嗎？

（上圖也顯示了二項係數和費波那契數的一個美麗關係。）