和中七同學溫書，偶遇科主任擬的精采題目，同學也感巧妙。題中一小部分出現了一個「結果」，見下。

設

求多項式 （視 為常數）內 的係數及常數項。

這是機械運作，不值一顧，詳表如下：

故 的係數是 ，
常數項則是 。

題目的發展是要學生觀察到上述兩式存在「巧妙」的關係，就是：

咦， 這個變換，幾何上有平移的意思，何解它和求導（finding the derivative）存在上述關係？必然是這樣嗎？

= = = 停一停，想一想 = = =

其實，沒有什麼奇怪，當大家同時觀察 及 的係數，所謂導數關係仍然存在，見

呼之欲出，所謂奇怪關係，不過是泰勒展式中的係數和求導之密切關係而已。

未聽過泰勒展式也沒關係，讓我炒作一下。

除了直接「爆破」，我們起碼還有兩個方法拆開 。

設

………… (*)

其中 是有待找尋的係數。

(*) 中，代入 ，得

這豈不就是說明，常數項 ，就是 ，即
是也。

對 (*) 求導（differentiate (*) w.r.t. ），得

………… (**)

代入 ，上式變成

這豈不就是說明， 的係數 ，就是 ，即
是也。

類似地，不斷「求導代 」，不難得到

這樣，我們不過是重遇（re-visit）以下結果：

設 為 degree n 的多項式，則

上面是用求導法拆開 ，我們也可利用綜合除法（比求導法還快）解之，參考下文「應用」的例三：

http://johnmayhk.wordpress.com/2008/10/07/discussion-on-quotient-remainder-2-2/

另外，差分法和求導也有密切關係，有時間發掘一下，拜拜！

一. 某次測驗，同事擬了一題：

Let be roots of (). Find the values of

(a) ;
(b) ;
(c) .

大部分同學都乖乖地，用課程中有關二次方程的「根的和積」公式（更一般是韋達定理 Vieta’s Theorem），即

進而

(a)

學生未必懂上述做法，懂的，也有不少在代入數值後運算錯誤。

到 (b)

當然，不是所有同學可以寫出第一步，就算可以，略為繁瑣的運算，也有不少錯計。

再到 (c)

可以想像，也有些同學陣亡。

但有極少數的同學，沒有被課程「污染」，他們運用中二學的東西，直接解

從而得出： , ()

那麼，題目各部份順利ＫＯ，見

(a)
(b)
(c)

這例帶出什麼啟示？嗯，不借題發揮了，各自表述吧。

二. 昨天校慶，在課室等待拍攝千人大合照時，有同學拿出麻將，玩層層疊。他在第一行放 1 隻牌，第二行放 4 隻，第三行放 9 隻（即第 行放 隻）；有同學問，阿 sir，總數有多少隻？如何數？我立回，曰：「n 乘 n 加 1 乘 2n 加 1 除以 6」，眾囧，隨即把式寫在綠板上：，隨即，李同學無啦啦出來以 M.I. 解之，還簽個大名？！都好，給我發現他解答的表達有少許問題，可以順便和大家溫書。過程太悶，我隨便問：那麼「」又是什麼？又有同學自發出來，想了想，寫：

這是正確的嗎？同學的思路是：

因為

而

所以，只要把上式等號右邊的 以 取代，便得：

嗯，上式是錯誤的，正確式子如下：

學生的數學思考不無道理，但盲點是什麼？我又學通識：不下定論，各自表述。

三. 看 fail 圖多了，估不到我也可提供一張。

呢位同學自以為聰明乎？

6 對夫婦，隨機選出 4 人，求僅有一對夫婦被選出的概率。

中六的 A 同學答：。

他解釋：P(僅有一對夫婦) = P(起碼一對夫婦) – P(兩對夫婦)

易知 P(兩對夫婦) = ，理由是兩對夫婦，就是從 6 對夫婦選出 2 對，共 種可能。

至於 P(起碼一對夫婦)，可這樣想：

先從 6 對夫婦選出 1 對，選法為 種。餘下的 2 人，可從 人當中，隨意選取 2 個，選法共 種。故此，「存在起碼一對夫婦」的情況共 。

因此，P(僅有一對夫婦) = 。

同學，抱歉，上述的答案是錯誤的。停一停，想一想：錯在哪裡？

誠如之前寫過，授課員向學生展示正確做法不難，如本例

P(起碼有一對夫婦) = 1 – P(沒有夫婦) = ……………… (*)

但要解釋為何學生的答案是錯，有時反而較難。

學生給的解釋，致命傷在於 P(起碼一對夫婦) 根本不是 ；當中的 “” 包含了重覆數算，詳列如下：

設 6 對夫婦為

{}, {}, {}, {}, {}, {}

所謂 ““，其實是計算以下情況的總數：

察看上圖，明顯看到（比如）{}{} 已重覆出現，見 {}{}。又或出現了 {}{} 及 {}{} 等等。

那麼「存在起碼一對夫婦」的可能情況，應是 減去重覆數算的情況數目。

那麼共有多少個重覆數算的情況？

可以想像

{}{}
{}{}

是重覆數算了一次，又或

{}{}
{}{}

又是重覆數算了一次，是故

6 對夫婦選出 2 對被重覆數算了，共 種情況。

（或用更直接的方法，從上圖中數算重覆之情況共 個。）

所以，

P(起碼一對夫婦) 不是 ，而是

因此

P(僅有一對夫婦) = P(起碼一對夫婦) – P(兩對夫婦) = 。

SBA：請解釋 (*) 的由來。

(明報)2009年11月9日 星期一 05:10

【明報專訊】「對不起，我今天不能去幫手了。」前日參加僱員再培訓課程時遭滅火筒炸傷的失業女義工何金芳（阿May），其右目已證實失明，右顴骨重創，經連場手術後情况危殆。昨日阿May在病榻上氣若游絲，為缺席義工服務頻頻道歉，親友都為她的無私愛心感動得紅了眼眶。

戰勝SARS 即搵工 盼自食其力

56歲的阿May可說命途坎坷，其契女林小姐稱，2003年阿May患上SARS，憑堅定意志戰勝病魔，病癒後立即尋找工作，「她常說不想靠人，要自食其力」。惜學識不高的阿May在職場並不如意，月多前加入失業大軍，林小姐形容契媽是模範，「她沒有自怨自艾，立即想讀一些課程，要自我增值及轉型，於是報讀保安課程，說要盡快找到工作」。

臉裹紗布 靠儀器呼吸

林小姐與親友跟阿May約定，待她畢業後一起慶祝，詎料噩運再次降臨。林小姐昨日跟親友進入病房探訪，只見阿May左眼紅腫，右臉裹上紗布，清醒但精神虛弱，需靠儀器呼吸，由於臉頰大片皮肉被削去，稍後要進行移植皮膚手術。現場各人均是教徒，於是一起為阿May祈禱，之後她輕輕說了聲﹕「謝謝。」聽得眾人心痛。

至傍晚，立法會梁耀忠及其幹事周偉雄到達醫院，周探病後說，昨日是街工社區中心的旅行日，阿May是協助義工之一，當兩人來到病床前，阿May即捉住他們的手歉疚地說﹕「對不起，我今天不能去幫手了，不好意思。」虛弱的語調流露無私的愛心，兩名男子漢感動得眼睛通紅。

病床上仍記掛助人

周說，阿May的右眼已完全失明，但她仍十分堅強，心裏記掛著各樣幫助別人的事，令人動容。他表示，阿May出事前應承了代街坊看管信箱和繳交雜費，昨日她唯一交託的，就是該項重任，「她說應承了別人，一定要做好」。

對於受傷經過，阿May則指「來得好突然，唔知點解會受傷」，目前希望是盡快康復，暫不提賠償問題，但家屬親友希望當局盡快公布意外肇因。

消息指出，涉事的水劑滅火筒於2006年購入作教學用途，但未知有否每年檢驗。主辦課程的港九勞工社團聯會主席李鳳英則稱，會跟進傷者情况及盡力提供協助，但意外原因有待當局調查。

消防處長盧振雄昨稱，所有防火用的滅火筒均須每年檢查，但只作教學用途的則沒規管，當局會查清爆炸原因，若證實涉及違規會提出檢控，並檢討現行條例。

明報記者 樊銳昌

資料來源

http://hk.news.yahoo.com/article/091108/4/f2m1.html

蘋果日報
http://hk.apple.nextmedia.com/template/apple/art_main.php?iss_id=20091109&sec_id=4104&art_id=13400106&av_id=13400472

丘成桐：數學和中國文學的比較

　　很多人會覺得我今日的講題有些奇怪，中國文學與數學好像是風馬牛不相及，但我卻討論它。其實這關乎個人的感受和愛好，不見得其他數學家有同樣的感覺，「如人飲水，冷暖自知」。每個人的成長和風格跟他的文化背景、家庭教育有莫大的關係。我幼受庭訓，影響我至深的是中國文學，而我最大的興趣是數學，所以將他們做一個比較，對我來說是相當有意義的事。

　　中國古代文學記載最早的是詩三百篇，有風雅頌，既有民間抒情之歌，朝廷禮儀之作，也有歌頌或諷刺當政者之曲。至孔子時，文學為君子立德和陶冶民風而服務。戰國時，諸子百家都有著述，在文學上有重要的貢獻，但是諸子如韓非卻輕視文學之士。屈原開千古辭賦之先河，畢生之志卻在楚國的復興。文學本身在古代社會沒有佔據到重要的地位。司馬遷甚至說：「文史、星曆，近乎卜祝之間，固主上所戲弄，倡優畜之，流俗之所輕也。」一直到曹丕才全面肯定文學本身的重要性：「蓋文章，經國之大業，不朽之盛事。」即使如此，曹丕的弟弟曹植卻不以為文學能與治國的重要性相比。他寫信給他的朋友楊修說：

　　「吾雖德薄，位為蕃侯，猶幾戮力上國，流惠下民，建永世之業，留金石之功。豈徒以翰墨為勲績，辭賦為君子哉。」

　　至於數學，中國儒家將它放在六藝之末，是一個輔助性的學問。當政者更視之為雕蟲小技，與文學比較，連歌頌朝廷的能力都沒有，政府對數學的尊重要到近年來才有極大的改進。西方則不然，希臘哲人以數學為萬學之基。帕拉圖以通幾何為入其門檻之先決條件，所以數學家得到崇高地位，在西方蓬勃發展了兩千多年。

一、數學之基本意義

　　數學之為學，有其獨特之處，它本身是尋求自然界真相的一門科學，但數學家也如文學家般天馬行空，憑愛好而創作，故此數學可說是人文科學和自然科學的橋樑。

　　數學家研究大自然所提供的一切素材，尋找它們共同的規律，用數學的方法表達出來。這裏所說的大自然比一般人所瞭解的來得廣泛，我們認為數字、幾何圖形和各種有意義的規律都是自然界的一部份，我們希望用簡潔的數學語言將這些自然現象的本質表現出來。

　　數學是一門公理化的科學，所有命題必需由三斷論證的邏輯方法推導出來，但這只是數學的形式，而不是數學的精髓。大部份數學著作枯燥乏味，而有些卻令人歎為觀止，其中的分別在那裏？

　　大略言之，數學家以其對大自然感受的深刻膚淺，來決定研究的方向，這種感受既有其客觀性，也有其主觀性，後者則取決於個人的氣質，氣質與文化修養有關，無論是選擇懸而未決的難題，或者創造新的方向，文化修養皆起着關鍵性的作用。文化修養是以數學的功夫為基礎，自然科學為副，但是深厚的人文知識也極為要緊，因為人文知識也致力於描述心靈對大自然的感受，所以司馬遷寫史記除了「通古今之變」外，也要「究天人之際」。

　　劉勰在文心雕龍．原道篇說文章之道在於：

　　「寫天地之輝光，曉生民之耳目。」

　　劉勰以為文章之可貴，在尚自然，在貴文采。他又說：

　　「人與天地相參，乃性靈所集聚，是以謂之三才，為五行之秀氣，實天地之靈氣。靈心既生，於是語言以立。語言既立，於是文章著明，此亦原於自然之道也。」

　　文心雕龍．風骨：

　　「詩總六義，風冠其首，斯乃化感之本源，志氣之符契也。」

　　歷代的大數學家如阿基米德如牛頓莫不以自然為宗，見物象而思數學之所出，即有微積分的創作。費爾瑪和尤拉對變分法的開創性發明也是由於探索自然界的現象而引起的。

　　近代幾何學的創始人高斯認為幾何和物理不可分，他說：「我越來越確信幾何的必然性無法被驗證，至少現在無法被人類或為了人類而驗證，我們或許能在未來領悟到那無法知曉的空間的本質。我們無法把幾何和純粹是先驗的算術歸為一類，幾何和力學卻不可分割。」

　　二十世紀幾何學的發展，則因物理學上重要的突破而屢次改變其航道。當狄拉克把狹義相對論用到量子化的電子運動理論時，發現了狄拉克方程，以後的發展連狄拉克本人也嘆為觀止，認為他的方程比他的想像來得美妙，這個方程在近代幾何的發展起着關鍵性的貢獻，我們對旋子的描述缺乏直觀的幾何感覺，但它出於自然，自然界賦予幾何的威力可說是無微不至。

　　廣義相對論提出了場方程，它的幾何結構成為幾何學家夢寐以求的對象，因為它能賦予空間一個調和而完美的結構。我研究這種幾何結構垂三十年，時而迷惘，時而興奮，自覺同詩經、楚辭的作者，或晉朝的陶淵明一樣，與大自然渾為一體，自得其趣。

　　捕捉大自然的真和美，實遠勝於一切人為的造作，正如文心雕龍說的：

　　「雲霞雕色，有踰畫工之妙。草木菁華，無待錦匠之奇，夫豈外飾，蓋自然耳。」

　　在空間上是否存在滿足引力場方程的幾何結構是一個極為重要的物理問題，它也逐漸地變成幾何中偉大的問題。儘管其他幾何學家都不相信它存在，我卻鍥而不捨，不分晝夜地去研究它，就如屈原所說：

　　「亦余心之所善兮，雖九死其猶未悔。」

　　我花了五年工夫，終於找到了具有超對稱的引力場結構，並將它創造成數學上的重要工具。當時的心境，可以用以下兩句來描述：

　　「落花人獨立，微雨燕雙飛。」

　　以後大批的弦理論學家參與研究這個結構，得出很多深入的結果。剛開始時，我的朋友們都對這類問題敬而遠之，不願意與物理學家打交道。但我深信造化不致弄人，回顧十多年來在這方面的研究尚算滿意，現在卡拉比│丘空間的理論已經成為數學的一支主流。

二、數學的文采

　　數學的文采，表現於簡潔，寥寥數語，便能道出不同現象的法則，甚至在自然界中發揮作用，這是數學優雅美麗的地方。我的老師陳省身先生創作的陳氏類，就文采斐然，令人讚歎。它在扭曲的空間中找到簡潔的不變量，在現象界中成為物理學界求量子化的主要工具，可說是描述大自然美麗的詩篇，直如陶淵明「采菊東蘺下，悠然望南山」的意境。

　　從歐氏幾何的公理化、到笛卡兒創立的解析幾何，到牛頓、來布尼茲的微積分，到高斯、黎曼創立的內蘊幾何，一直到與物理學水乳相融的近代幾何，都以簡潔而富於變化為宗，其文采絕不遜色與任何一件文學創作，它們軔生的時代與文藝興起的時代相同，絕對不是巧合。

　　數學家在開創新的數學想法的時候，可以看到高雅的文采和嶄新的風格，例如歐幾里得證明存在無窮多個素數，開創反證法的先河。高斯研究十七邊形的對稱群，使伽羅華群成為數論的骨幹。這些研究異軍突起，論斷華茂，使人想起五言詩的始祖蘇李唱和詩和詞的始祖李太白的憶秦娥。

三、數學中的賦比興

　　中國詩詞都講究比興，鍾爃在「詩品」中說：

　　「文已盡而意有餘，興也。因物喻志，比也。」

　　劉勰在文心雕龍中說：

　　「故比者，附也。興者，起也。附理者切類以指事，起情者依微以擬議。起情故興體以立，附理故比例以生。」

　　白居易：

　　「噫，風雪花草之物《三百篇》中豈含之乎？顧所用何如耳，設如北風其涼，假風以刺威虐也，雨雪霏霏，因雪以愍征役也……比興發於此而義歸於彼。」

　　他批評謝朓詩「『餘霞散成綺，澄江淨如練。』麗則麗矣，吾不知其所諷焉，故僕所謂嘲風雪，弄花草而已，文意盡去矣。」

　　有深度的文學作品必需要有「義」、有「諷」、有「比興」。數學亦如是。我們在尋求真知時，往往只能憑已有的經驗，因循研究的大方向，憑我們對大自然的感覺而向前邁進，這種感覺是相當主觀的，因個人的文化修養而定。

　　文學家為了達到最佳意境的描述，不見得忠實地描寫現象界，例如賈島只追究「僧推月下門」或是「僧敲月下門」的意境，而不在乎所說的是不同的事實。數學家為了創造美好的理論，也不必依隨大自然的規律，只要邏輯推導沒有問題，就可以盡情的發揮想像力，然而文章終究有高下之分。大致來說，好的文章「比興」的手法總會比較豐富。

　　中國古詩十九首，作者年代不詳，但大家都認為是漢代的作品。劉勰說：「比采而推，兩漢之作乎。」這是從詩的結構和風格進行推敲而得出的結論。在數學的研究過程中，我們亦利用比的方法去尋找真理。我們創造新的方向時，不必憑實驗，而是憑數學的文化涵養去猜測去求證。

　　舉例而言，三十年前我提出一個猜測，斷言三維球面裏的光滑極小曲面，其第一特徵值等於二。當時這些曲面例子不多，只是憑直覺，利用相關情況類比而得出的猜測，最近有數學家寫了一篇文章證明這個猜想。其實我的看法與文學上的比興很相似。

　　我們看洛神賦：

　　「翩若驚鴻，婉若游龍。榮曜秋菊，華茂春松。髣髴兮若輕雲之蔽月，飄飄兮若流風之回雪。」
由比喻來刻劃女神的體態，又看詩經：

　　「高山仰止，景行行止。四牡騑騑，六轡如琴，靚爾新婚，以慰我心。」
也是用比的方法來描寫新婚的心情。

　　我一方面想像三維球的極小子曲面應當是如何的勻稱，一方面想像第一譜函數能夠同空間的線性函數比較該有多妙，通過原點的平面將曲面最多切成兩塊，於是猜想這兩個函數應當相等，同時第一特徵值等於二。

　　當時我與卡拉比教授討論這個問題，他也相信這個猜測是對的。旁邊我的一位研究生問為甚麼會做這樣的猜測，不待我回答，卡教授便微笑說這就是洞察力了。

　　數學上常見的對比方法乃是低維空間和高維空間現象的對比。我們雖然看不到高維空間的事物，但可以看到一維或二維的現象，並由此來推測高維的變化。我在做研究生時企圖將二維空間的單值化原理推廣到高維空間，得到一些漂亮的猜測，我認為曲率的正或負可以作為複結構的指向，這個看法影響至今，可以溯源到十九世紀和二十世紀初期曲率和保角映射關係的研究。

　　另外一個對比的方法乃是數學不同分枝的比較，記得我從前用愛氏結構證明代數幾何中一個重要不等式時，日本數學家Miyaoka利用俄國數學家Bogomolov的代數穩定性理論也給出這個不等式的不同證明，因此我深信愛氏結構和流形的代數穩定有密切的關係，這三十年來的發展也確是朝這個方向蓬勃地進行。

　　事實上，愛因斯坦的廣義相對論也是對比各種不同的學問而創造成功的，它是科學史上最偉大的構思，可以說是驚天地而泣鬼神的工作。它統一了古典的引力理論和狹義相對論。愛氏花了十年功夫，基於等價原理，比較了各種描述引力場的方法，巧妙地用幾何張量來表達了引力場，將時空觀念全盤翻新。

　　愛氏所用的工具是黎曼幾何，乃是黎曼比他早五十年前發展出來的，當時的幾何學家唯一的工具是對比，在古典微積分、雙曲幾何和流形理論的類比後得出來的漂亮理論。反過來說，廣義相對論給黎曼幾何注入了新的生命。

　　二十世紀數論的一個大突破乃是算術幾何的產生，利用群表示理論為橋樑，將古典的代數幾何、拓樸學和代數數論比較，有如瑰麗的歌曲，它的發展，勢不可擋，氣勢如虹，「天之所開，不可當也」。

　　Weil研究代數曲線在有限域上解的問題後，得出高維代數流形有限域解的猜測，推廣了代數流形的基本意義，直接影響了近代數學的發展。籌學所問，無過於此矣。

　　偉大的數學家遠矚高瞻，看出整個學問的大流，有很多合作者和跟隨者將支架建立起來，解決很多重要的問題。正如曹雪芹創造紅樓夢時，也是一樣，全書既有真實，亦有虛構。既有前人小說如西廂記、金瓶梅、牡丹亭等的蹤跡，亦有作者家族凋零、愛情悲劇的經驗，通過各種不同人物的話語和生命歷程，道出了封建社會大家族的腐敗和破落。紅樓夢的寫作影響了清代小說垂二百年。

　　西廂記和牡丹亭的每一段寫作和描述男女主角的手法都極為上乘，但是全書的結構則是一般的佳人才子寫法，由金瓶梅進步到紅樓夢則小處和大局俱佳。

　　這點與數學的發展極為相似，從局部的結構發展到大範圍的結構是近代數學發展的一個過程。往往通過比興的手法來處理。幾何學和數論都有這一段歷史，代數幾何學家在研究奇異點時通過爆炸的手段，有如將整個世界濃縮在一點。微分幾何和廣義相對論所見到的奇異點比代數流形複雜，但是也希望從局部開始，逐漸瞭解整體結構。數論專家研究局部結構時則通過素數的模方法，將算術流形變成有限域上的幾何，然後和大範圍的算術幾何對比，得出豐富的結果。數論學家在研究Langlands理論時也多從局部理論開始。

　　好的作品需要賦比興並用。鍾爃詩品：

　　「直書其事，寓言寫物，賦也。宏斯三義，酌而用之，幹之以風力，潤之以丹采，使味之者無極，聞之者動心，是詩之至也。若專用比興，則患在意深，意深則詞躓。若但用賦體，則患在意浮，意浮則文散。」

　　在數學上，對非線性微分方程和流體方程的深入瞭解，很多時需要靠計算機來驗算。很多數學家有能力做大量的計算，卻不從大處着想，沒有將計算的內容與數學其他分枝比較，沒有辦法得到深入的看法，反過來說只講觀念比較，不作大量計算，最終也無法深入創新。

　　有些工作卻包含賦比興三種不同的精義。近五十年來數論上一個偉大的突破是由英國人Birch和Swinneton-Dyer提出的一個猜測，開始時用計算機大量計算，找出L函數和橢圓曲線的整數解的連繫，與數論上各個不同的分枝比較接合，妙不可言，這是賦比興都有的傳世之作。

四、數學家對事物的看法的多面性

　　由於文學家對事物有不同的感受，同一事或同一物可以產生不同的吟咏。例如對楊柳的描述：

　　溫庭筠：

　　「柳絲長，春雨細……」

　　吳文英：

　　「一絲柳，一寸柔情，料峭春寒中酒……」

　　李白：

　　「年年柳色，灞陵傷別。」

　　「風吹柳花滿座香，吳姬壓酒勸客嘗。」

　　周邦彥：

　　「柳陰直，煙里絲絲弄碧，隋堤上，曾見幾番，拂水飄綿送行色……長亭路，年去歲來，應折柔條過千尺。」

　　晏幾道：

　　「舞低楊柳樓心月，歌盡桃花扇底風。」

　　柳枝既然是柔條，又有春天時的嫩綠，因此可以代表柔情，女性體態的柔軟（柳腰、柳眉都是用柳條來描寫女性），又可以描寫離別感情和青春的感覺。

　　對事物有不同的感受後，往往通過比興的方法另有所指，例如「美人」有多重意思，除了指美麗的女子外，也可以指君主：屈原九章「結微情以陳詞兮，矯以遺夫美人。」也可以指品德美好的人：詩經邶風：「云誰之思，西方美人。」蘇軾赤壁賦「望美人兮天一方」。

　　數學家對某些重要的定理，也會提出很多不同的證明。例如畢氏定理的不同證明有十個以上，等周不等式亦有五、六個證明，高斯則給出數論對偶定律六個不同的看法。不同的證明讓我們以不同的角度去理解同一個事實，往往引導出數學上不同的發展。

　　記得三十年前我利用分析的方法來證明完備而非緊致的正曲率空間有無窮大體積後，幾何學家Gromov開始時不相信這個證明，以後他找出我證明方法的幾何直觀意義後，發展出他的幾何理論，這兩個不同觀念都有它們的重要性。

　　小平邦彥有一個極為重要的貢獻叫做消滅定理，是用曲率的方法來得到的，它在代數幾何學上有奠基性的貢獻，代數幾何學家卻不斷的企圖找尋一個純代數的證明，希望對算術幾何有比較深入的瞭解。

　　對空間中的曲面，微分幾何學家會問它的曲率如何，有些分析學家希望沿着曲率方向來推動它一下看看有甚麼變化，代數幾何學家可以考慮它可否用多項式來表示，數論學家會問上面有沒有整數格點。這種種主觀的感受由我們的修養來主導。

　　反過來說，文學家對同一事物亦有不同的歌詠，但在創作的工具上，卻有比較統一的對仗韻律的講究，可以應用到各種不同的文體。從數學的觀點來說，對仗韻律是一種對稱，而對稱的觀念在數學發展至為緊要，是所有數學分枝的共同工具。另外，數學家又喜歡用代數的方法來表逹空間的結構，同調群乃是重要的例子，由拓樸學出發而應用到群論、代數、數論和微分方程學上去。

五、數學的意境

　　王國維在人間詞話說：

　　「詞以境界為最上。有境界則自成高格……有造境，有寫境，此理想與寫實二派之所由分。然二者頗難分別，因大詩人所造之境必合乎自然，所寫之境亦必鄰於理想故也。有有我之境，有無我之境。『淚眼問花花不語，亂紅飛過秋千去。』……有我之境也。『采菊東蘺下，悠然見南山。』……無我之境也。有我之境，以我觀物，故物皆着我之色彩。無我之境，以物觀物，故不知何者為我，何者為物……無我之境，人唯乎靜中得之。有我之境，於由動入靜時得之，故一優美，一宏壯也。自然之物互相關係，互相限制。然其寫之於文學及美術中也，必有其關係限制之處。故雖寫實家亦理想家也。又雖如何虛構之境，其材料必求之於自然，而其構造亦必從自然之法律。故雖理想家亦寫實家也。」

　　數學研究當然也有境界的概念，在某種程度上也可談有我之境、無我之境，當年尤拉開創變分法和推導流體方程，由自然現象引導，可謂無我之境，他又憑自己的想象力研究發散級數，而得到zeta函數的種種重要結果，開三百年數論之先河，可謂有我之境矣。另外一個例子是法國數學家Grothendick，他著述極豐，以個人的哲學觀點和美感出發，竟然不用實例，建立了近代代數幾何的基礎，真可謂有我之境矣。

　　在幾何的研究中，我們發現狄拉克在物理上發現的旋子在幾何結構中有魔術性的能力，我們不知道它的內在的幾何意義，它卻替我們找到幾何結構中的精髓，在應用旋子理論時，我們常用的手段是通過所謂消滅定理而完成的，這是一個很微妙的事情，我們製造了曲率而讓曲率自動發酵去證明一些幾何量的不存在，可謂無我之境矣。以前我提出用Einstein結構來證明代數幾何的問題和用調和映射來看研究幾何結構的剛性問題也可作如是觀。

　　不少偉大的數學家，以文學、音樂來培養自己的氣質，與古人神交，直追數學的本源，來達到高超的意境。

　　文心雕龍．神思：

　　「文之思也，其神遠矣。故寂然凝慮，思接千載；悄然動容，視通萬里。吟詠之間，吐納珠玉之聲，眉睫之前，卷舒風雲之色，其思理之致乎。」

六、數學的品評

　　好的工作應當是文已盡而意有餘，大部份數學文章質木無文，流俗所好，不過兩三年耳。但是有創意的文章，未必為時所好，往往十數年後始見其功。

　　我曾經用一個嶄新的方法去研究調和函數，以後和幾個朋友一同改進了這個方法，成為熱方程的一個重要工具。開始時沒有得到別人的讚賞，直到最近五年大家才領會到它的潛力。然而我們還是鍥而不捨地去研究，覺得意猶未盡。

　　我的老師陳省身先生在他的文集中引杜甫詩「文章千古事，得失寸心知。」而杜甫就曾批評初唐四傑的作品「王楊盧駱當時體，不廢江河萬古流。」

　　時俗所好的作品，不必為作者本人所認同。舉個例子，白居易留傳至今的詩甚多，最出名之一是《長恨歌》，但他給元微之的信中卻說：

　　「及再來長安，又聞有軍使欲聘倡伎，伎大誇曰：『我誦得白學士《長恨歌》，豈同他伎哉。』……偖伎見僕來，指而相顧曰：『此是《秦中吟》、《長恨歌》主耳。』自長安抵江西，三四千里……每每有詠僕詩者，此誠雕蟲之技，不足為多，然今時俗所重，正在此耳。」

白居易說謝朓的詩麗而無諷。其實建安以後，綺麗為文的作者甚眾。亦自有其佳處，畢竟鍾爃評謝朓詩為中品，以後六朝駢文、五代花間集以至近代的鴛鴦蝴蝶派都是綺麗為文。雖未殝上乘，卻有賞心悅目之句。

　　數學華麗的作品可從泛函分析這種比較廣泛的學問中找到，雖然有其美麗和重要性，但與自然之道總是隔了一層。舉例來說，從函數空間抽象出來的一個重要概念叫做巴拿赫空間，在微分方程學有很重要的功用，但是以後很多數學家為了研究這種空間而不斷的推廣，例如有界算子是否存在不變空間的問題，確是漂亮，但在數學大流上卻未有激起任何波瀾。

　　在七十年代，高維拓樸的研究已成強弩之末，作品雖然不少，但真正有價值的不多，有如「野雲孤飛，去留無跡。」文氣已盡，再無新的比興了。當時有拓樸學者做群作用於流形的研究，確也得到某些人的重視。但是到了八零年代，值得懷念的工作只有Bott的局部化定理。能經得起時間考驗的工作寥寥無幾，政府評審人材應當以此為首選。歷年來以文章篇數和被引用多寡來做指標，使得國內的數學工作者水平大不如人，不單與自然隔絕，連華麗的文章都難以看到。

七、數學的演化

王國維說：

　　「四言敝而有楚辭，楚辭敝而有五言，五言敝而有七言，古詩敝而有律絕，律絕敝而有詞。蓋文體通行既久，染指遂多，自成習套。豪傑之士亦難於其中自出新意，故遁而作他體以自解脫。一切文體所以始盛中衰者，皆由於此，故謂文體後不如前，余未敢言。但就一體論，則此說固無以易也。」

數學的演化和文學有極為類似的變遷。從平面幾何至立體幾何，至微分幾何等等，一方面是工具得到改進，另一方面是對自然界有進一步的瞭解，將原來所認識的數學結構的美發揮盡至後，需要進入新的境界。江山代有人才，能夠帶領我們進入新的境界的都是好的數學。上面談到的高維拓樸文氣已盡，假使它能與微分幾何、數學物理和算術幾何組合變化，亦可振翼高翔。

我在香港唸數學時，讀到蘇聯數學家Gelfand的看法，用函數來描述空間的幾何性質，使我感觸良深，以後在研究院時才知道。代數幾何學家也用有理函數來定義代數空間，於是我猜想一般的黎曼流形應當也可以用函數來描述空間的結構。但是為了深入瞭解流形的幾何性質，我們需要的函數必需由幾何引出的微分方程來定義。可是一般幾何學家厭惡微分方程，我對它卻情有獨鍾，與幾個朋友合作將非線性方程帶入幾何學，開創了幾何分析這門學問，解決了拓樸學和廣義相對論一些重要問題。在一九八一年時我建議我的朋友Hamilton用他創造的方程去解決三維拓樸的基本結構問題，二十多年來他引進了不少重要的工具，運用上述我和李偉光在熱方程的工作，深入地瞭解奇異點的產生。兩年前俄國數學家Perelman更進一步地推廣了這個理論，很可能完成了我的願望，將幾何和三維拓樸帶進了新紀元。

八年前我訪問北京，提出全國向Hamilton先生學習的口號，本來討論班已經進行，卻給一些急功近利的北京學者阻止，在國外也遇到同樣的阻力，中國幾何分析不能進步都是由於年青學者不能夠自由發展思想的緣故。廣州的朱熹平卻鍥而不捨，他的工作已經遠超國內外成名的中國學者。

當一個大問題懸而未決的時候，我們往往以為數學之難莫過於此。待問題解決後，前途豁然開朗，看到比原來更為燦爛的火花，就會有不同的感受。

　　這點可以跟莊子秋水篇比較：

　　「秋水時至，百川灌河，涇流之大，兩涘渚崖之間，不辯牛馬。于是焉河伯欣然自喜，以天下之美為盡在已，順流而東行，至于北海，東面而視，不見水端，于是焉河伯始旋其面目，望洋向若而嘆曰：『野語有之曰：『聞道百，以為莫已若者，我之謂也。且夫我嘗聞少仲尼之聞，而輕伯夷之義者，始吾弗信，今我睹子之難窮也。吾非至于子之門，則殆矣。吾長見笑于大方之家。』』」

　　科學家對自然界的瞭解，都是循序漸進，在不同的時空自然會有不同的感受。有學生略識之無後，不知創作之難，就連陳省身先生的大作都看不上眼，自以為見識更為豐富，不自見之患也。人貴自知，始能進步。

　　莊子：

　　「今爾出于崖涘，觀于大海，乃知爾醜，爾將可與語大理矣。」

　　我曾經參觀德國的葛庭根大學，看到十九世紀和廿世紀偉大科學家的手稿，他們傳世的作品只是他們工作的一部份，很多傑作都還未發表，使我深為慚愧而欽佩他們的胸襟。今人則不然，大量模仿，甚至將名作稍為改動，據為己有，儘快發表。或申請院士，或自炫為學術宗匠，於古人何如哉。

八、數學的感情

　　為了達到深遠的效果，數學家需要找尋問題的精華所在，需要不斷的培養我們對問題的感情和技巧，這一點與孟子所說的養氣相似。氣有清濁，如何尋找數學的魂魄，視乎我們的文化修養。

　　白居易說：

　　「聖人感人心而天下和平，感人心者，莫先乎情，莫始乎言，莫切乎聲，莫深乎義……未有聲入而不應，情交而不感者。」

　　嚴羽滄浪詩話：

　　「盛唐諸公唯在興趣，羚羊挂角，無跡可求。故其妙處透澈玲瓏，不可湊拍，如空中之音，相中之色，水中之影，鏡中之象，言有盡而意無窮。」

　　我的朋友Hamilton先生，他一見到問題可以用曲率來推動，他就眉飛色舞。另外一個澳洲來的學生，見到與愛因斯坦方程有關的幾何現象就趕快找尋它的物理意義，興奮異常，因此他們的文章都是清純可喜。反過來說，有些成名的學者，文章甚多，但陳陳相因，了無新意。這是對自然界、對數學問題沒有感情的現象，反而對名位權利特別重視。為了院士或政協委員的名銜而甘願千里僕僕風塵地奔波，在這種情形下，難以想像他們對數學、對自然界有深厚的感情。

　　數學的感情是需要培養的，慎於交友才能夠培養氣質。博學多聞，感慨始深，堂廡始大。歐陽永叔：

　　「人間自是有情癡，此恨不關風與月。」

　　「直須看盡洛城花，始與東風容易別。」

能夠有這樣的感情，才能夠逹到晏殊所說：
　
　「昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路。」

　　濃厚的感情使我們對研究的對象產生直覺，這種直覺看對象而定，例如在幾何上叫做幾何直覺。好的數學家會將這種直覺寫出來，有時可以用來證明定理，有時可以用來猜測新的命題或提出新的學說。

　　但數學畢竟是說理的學問，不可能極度主觀。詩經蓼莪、黍離，屈原離騷、九江。漢都尉河梁送別，陳思王歸藩傷逝。李後主憶江南，宋徽宗念故宮，俱是以血書成、直抒胸臆，非論證之學所能及也。

九、數學的應用

王國維說：

　　「詩人對宇宙人生須入乎其內，又須出乎其外。入乎其內，故能寫之，出乎其外，故能觀之，入乎其內，故有生氣，出乎其外，故有高致。美成能入而不能出，白石以降，二事皆未夢見。」

　　「詞之雅鄭，在神不在貌。永叔少游雖作豔語，終有品格，方之美成，便有淑女與倡伎之別。」

　　數學除與自然相交外，也與人為的事物相接觸，很多數學問題都是純工程上的問題。有些數學家畢生接觸的都是現象界的問題，可謂入乎其內。大數學家如尤拉、如富里哀、如高斯、如維納、如馮紐曼等都能入乎其內，出乎其外，既能將抽象的數學在工程學上應用，又能在實用的科學中找出共同的理念而發展出有意義的數學。反過來說，有些應用數學家只用計算機作出一些計算，不求甚解，可謂二者皆未見矣。

　　富里哀在研究波的分解時，得出富里哀級數的展開方法，不但成為應用科學最重要的工具，在基本數學上的貢獻也是不可磨滅的。近代孤立子的發展和幾何光學的研究，都在基本數學上佔了一個重要的位置。

　　應用數學對基本數學的貢獻可與元劇比較。王國維評元劇：

　　「其作劇也，非有藏之名山，傳之其人之意也，彼以意興之所至為之，以自娛娛人，關目之拙劣，所不問也；思想之卑陋，所不諱也；人物之矛盾，所不顧也。彼但摹寫其胸中之感想與時代之情狀，而真摯之理與秀傑之氣時流露于其間。」

　　例如金融數學旨在謀利，應用隨機過程理論，間有可觀的數學內容。正如王國維評古詩「何不策高足，先據要路津，無為久貧賤，轗軻長苦辛。」認為「無視其鄙者，以其真也。」偉大的數學家高斯就是金融數學的創始人，他本人投資股票而獲利，Klein則研究保險業所需要的概率論。

　　然而近代有些應用數學家以爭取政府經費為唯一目標，本身無一技之長，卻巧立名目，反誣告基本數學家對社會沒有貢獻，盡失其真矣。有如近代小說以情慾、仇殺、奸詐為主題，取寵于時俗，不如太史公刺客列傳中所說：

　　「自曹沫至荊軻五人，此其義或成或不成，然其立意較然，不欺其志，名垂後世，豈妄也哉。」

　　應用數學家不能立意較然，而妄談對社會有貢獻，恐怕是緣木求魚了。

十、數學的訓練

　　好的數學家需要領會自然界所賦予的情趣，因此也須向同道學習他們的經驗。然而學習太過，則有依傍之病。顧亭林云：

　　「君詩之病在於有杜，君文之病在於有韓，歐。有此蹊徑於胸中，便終身不脫依傍二字，斷不能登峰造極。」

　　今人習數學，往往依傍名士，凡海外畢業的留學生，都為佳士，孰不知這些名士泰半文章與自然相隔千萬里，畫虎不成反類犬矣。李義山：

　　「劉郎已恨蓬山遠，更隔蓬山一萬重。」

　　很多研究生在跟隨名師時，做出第一流的工作，畢業後卻每況愈下，就是依傍之過。更有甚者，依傍而不自知，由導師提攜指導，竟自炫「無心插柳柳成蔭」，難有創意之作矣。

　　有些學者則倚洋自重，國外大師的工作已經完成，除非另有新意，不大可能再進一步發展。國內學者繼之，不假思索，頂多能夠發表一些二三流的文章。極值理論就是很好的例子。由Birkhoff、Morse到Nirerberg發展出來的過山理論，文意已盡，不宜再繼續了。

　　推其下流，則莫如抄襲，有成名學者為了速成，帶領國內學者抄襲名作，竟然得到重視，居廟堂之上，腰纏萬貫而沾沾自喜，良可嘆也。

　　數學家如何不依傍才能做出有創意的文章？

　　屈原說：

　　「紛吾既有此內美兮，又重之以修能。」

　　如何能夠解除名利的束縛，俾欣賞大自然的直覺毫無拘束地表露出來，乃是數學家養氣最重要的一步。

　　賈誼：

　　「獨不見夫鸞鳳之高翔兮，乃集大皇之野。循四極而回周兮，見盛德而後下。彼聖人之神德兮，遠濁世而自藏。使麒麟可得羈而係兮，又何以異乎犬羊。」

　　媒體或一般傳記作者喜歡說某人是天才，下筆成章，彷彿做學問可以一蹴而就。其實無論文學和數學，都需要經過深入的思考才能產生傳世的作品。

　　柳永：

　　「衣帶漸寛終不悔，為伊消得人憔悴。」

　　一般來說，作者經過長期浸淫，才能夠出口成章，經過不斷推敲，才有深入可喜的文采。王勃騰王閣序，麗則麗矣，終不如陶淵明歸去來辭、庚信哀江南賦、曹值洛神賦諸作來得結實。文學家的推敲在於用字和遣辭。張衡兩京、左思三都，構思十年，始成巨構，聲聞後世，良有以也。數學家的推敲極為類似，由工具和作風可以看出他們特有的風格。傳世的數學創作更需要有宏觀的看法，也由鍛鍊和推敲才能成功。

　　曹丕：

　　「古人賤尺璧而重寸陰，懼乎時之過已，而人多不強力；貧賤則懾於飢寒，富貴則流於逸樂，遂營目前之務，而遺千載之功。日月逝於上體貌衰於下。忽然於萬於遷化，斯志士之大痛也。」

　　三十年來我研究幾何空間上的微分方程，找尋空間的性質，究天地之所生，參萬物之行止。樂也融融，怡然自得，溯源所自，先父之教乎。

資料來源：

浙江大學 EMBA（在“人文大講堂”上的演講 05年7月5日）
中國數學資訊網

剛下課，中五生 Woody 問：如何判別一點是否在三角形內？

即已知 A(a,b), B(c,d), C(e,f)，如何知道 D(x,y) 是否在三角形 ABC 內？

畫一個準確的圖當然可以，但這不是數學人的答案。

我只想出一個方法：計算三角形 DAB, DBC, DCA 的面積（只接受正數面積）總和，看看是否等於三角形 ABC 的面積？若相等，則 D 在三角形 ABC 內；若否，則 D 在三角形 ABC 外。

例子：A(0,3), B(5,0), C(4,6)，問 D(3,2) 在三角形 ABC 內嗎？

設 [XYZ] = 2 * 三角形 XYZ 的面積

[DAB]
=
|0 3|
|5 0|
|3 2|
|0 3|
= 4

[DBC]
=
|5 0|
|4 6|
|3 2|
|5 0|
= 10

[DCA]
=
|0 3|
|3 2|
|4 6|
|0 3|
= 13

[ABC]
=
|0 3|
|5 0|
|4 6|
|0 3|
= 27

故 [ABC] = [DAB] + [DBC] + [DCA]

即 D 在三角形 ABC 內。

[SBA 時間]

1. 這個方法肯定不是好方法（太煩），同學，你又可否探究出別的方法，判別某點是否在三角形內？
2. 已知 A(a,b), B(c,d), C(e,f)，及 D(x,y) 在三角形 ABC 內，寫出 x 和 y 值的範圍。
3. 如果考慮的是多邊形，甚至是三維中的多面體，又如何判別？

P.S. 向量的線性組合或可幫幫忙的，可惜這已在中學課程外了…

一。釘已打

太太生日，想談更多；但這不宜，只記某刻：她去看衫，兒子上課，我去看書。

基礎數學，頗為有趣，暼見如下：

唯銀根出缺，書釘已打，匆匆離去，滿足。新近一套：《數學文化小叢書》，短小精悍，其中一本，價值 $14，題為《幾何學在文明中所扮演的角色》，著者項武義教授（姑勿論存在關於項教授的負面言論），也吸引了眼目。在起始一段：

…假如將世界上諸多古文明所知的幾何認知作一比較分析，就會發現可以把它們大體上歸為兩類，即有圓文明和無圓文明。如古中國文明、古希臘文明等屬前者，而瑪雅（Maya）文明、印加（Inca）文明等屬於後者。前者發明了輪子的諸多妙用，在建築上使用拱門，由此逐步走上工業化而昌盛至今，後者則始終沒有發明輪子或拱門而終歸寂滅…

小弟孤陋，從未聞有圓無圓之劃分，雖然有感超級簡化，但也是有趣的說法，或許有待他日進深研究。

第五章題為「從勾肢定理到狹義相對論」，第六章則為「大域幾何、纖維叢與近代物理」。相信為使中學生也看懂，也要作不少簡化（未看，靠估的）。
……………….

二。會考故事

近日重遊「小卒資訊論壇」，見【會考故事系列】，甚感有趣，版主 Doraemon 非常有心，值得推介：

1
http://lsforum.net/board/viewthread.php?tid=23953&highlight=

2
http://lsforum.net/board/viewthread.php?tid=24038&highlight=

3
http://lsforum.net/board/viewthread.php?tid=24269&highlight

4
http://lsforum.net/board/viewthread.php?tid=24989&highlight=

5
http://lsforum.net/board/viewthread.php?tid=25223&highlight=

6
http://lsforum.net/board/viewthread.php?tid=26231&highlight=

7
http://lsforum.net/board/viewthread.php?tid=28524&highlight=

8
http://lsforum.net/board/viewthread.php?tid=31121&highlight=

9
http://lsforum.net/board/viewthread.php?tid=32735&highlight=

10
http://lsforum.net/board/viewthread.php?tid=34417&highlight=

11
http://lsforum.net/board/viewthread.php?tid=34417&highlight=

12
http://lsforum.net/board/viewthread.php?tid=35429&highlight=

13
http://lsforum.net/board/viewthread.php?tid=36230&highlight=

14
http://lsforum.net/board/viewthread.php?tid=36858&highlight=

15
http://lsforum.net/board/viewthread.php?tid=37354&highlight=

16
http://lsforum.net/board/viewthread.php?tid=37717&highlight=

17
http://lsforum.net/board/viewthread.php?tid=38071&highlight=

18
http://lsforum.net/board/viewthread.php?tid=38650&highlight=

19
http://lsforum.net/board/viewthread.php?tid=38974&highlight=

20
http://lsforum.net/board/viewthread.php?tid=39232&highlight=

21
http://lsforum.net/board/viewthread.php?tid=39467&highlight=
……………….

三。好 Yay！

那天，我在讚嘆某道純數題目擬得很漂亮，很好；Patrick 同學回應：「學生眼中的好和老師眼中的好，不同的。」是，有學生或許認為淺的題目是好，也有學生說：「想殺死牛頓！」（因他發明發現了太多物理各數學知識，苦了學生要讀！）

中二同學問 Cross method 如何運作，我在 YouTube 找找，結果找到 Yaymath：看看這位授課員的課：

嗯，或許大家看到他比如沒有寫＂OR＂之類，但這不是重點，我想要看的是學生的反應！（可惜看不到他／她們的臉）他／她們上課是很開心，理性的人或曰：「都唔知有咩好笑。」但滿有笑聲的數學堂，某程度是成功的。片段提醒我：

1. 多想觀眾要什麼：授課員以為好的，學生或不然；反之亦然。
2. 要（多）做運動：老師精力充沛，才有 momentum。
3. 多留意自己的樣貌和服飾：在「台（堂）上」一定要 charm（最多下課後自己死下死下，對人歡笑背人愁）。

當然，第 2,3 點必要建在真正學養之上，因為觀眾眼睛雪亮。

更多，請看看：

http://yaymath.org/Videos.html
………………………

四。續貼元素表

前天在 digg.com 看到的，補充一下之前有關元素表的 post：

………………………

P.S. 病未完，咳出的痰，有點像我偶像：王傑。

港實行聯繫匯率制度，當港匯觸及強方保證水平，金管局便會透過市場操作，沽出港元並買入美元，導致本港銀行同業拆息「HIBOR」長期低企，導致資產價格急升，亦是導致貧富差距惡化的原因。

兩個香港排名，一個跌出十大，一個排名第一，均不是好東西。

美國《商業周刊》早前引述聯合國開發計劃署(UNDP)最新調查指出，根據全球各地2007年經濟數據分析，本港成為全球所有已發展國家經濟體系中，貧富最為懸殊的地方。

英國智庫列格坦「Legatum」最近發表全球繁榮指數調查，比較全球104個國家的經濟、政治制度、教育、安全、民主、政府管治及個人自由等指標，整合出全球繁榮排行榜，香港的排名較去年下跌10位，至排第18位。

量度貧富差距的堅尼系數「Gini Coefficient」，是由意大利經濟學家堅尼Corrado Gini發明，根據羅倫斯曲線「Lorenz curve」，以住戶收入累積百分比，相對住戶數目累積百分比統計所得，並由收入最低住戶開始計算，若果收入平均分配，羅倫茲曲線，會仍形一條直線；當收入分配懸殊，則會呈現一條曲線；貧富差距愈大，曲線弧度亦會愈大。當數值愈接近0，代表收入分配愈平均；數值愈接近1，意味收入分配愈懸殊。堅尼指數「Gini index」則以堅尼系數，乘以100作為收入參考。香港的堅尼系數是43.4，排名全球第一，第二名的新加坡是42.5，第三名的美國是40.8，第四名的以色列是39.2。上述數據反映，本港是全球已發展國家，貧富差距最大的經濟體系。

導致本港貧富差距擴大的因素，還包括就業市場結構性的轉變，高收入和低收入職位，工資差距進一步擴大。本港實行聯繫匯率制度，當港匯觸及強方保證水平，金管局便會透過市場操作，沽出港元並買入美元，導致本港銀行同業拆息「HIBOR」長期低企，導致資產價格急升，亦是導致貧富差距惡化的原因。當然，一如任何分析與統計，堅尼系數或堅尼指數，亦只能作為貧富懸殊程度的參考，數據只反映最富有和最貧窮者的差距，堅尼系數亦不能反映貧窮者生活實況，原因是堅尼系數，並未包括社會福利，如綜援、公屋、公立醫院和免費教育等，改善貧窮者生活的因素。此外，年輕夫婦組織小家庭，導致長者家庭增加，單親家庭及獨居長者家庭，均為低收入家庭數目增加原因。

堅尼系數愈接近0，即代表「做又三十六，唔做又是三十六」，當然不是一件好事。

無可否認的是，貧富差距正在擴大，上述兩項排名，本港仍須努力改善。

黃德几 (逢星期四見報)

資料來源
2009-10-29 都市日報

財政司司長曾俊華昨日會見九大地產商，討論土地供應及樓價問題。報章引述消息人士透露，「財爺」在會上表達對豪宅價格及巿場資訊的關注，要求地產商自律，並表明若樓市出現不公平、不穩定的情況，影響經濟民生，政府會果斷介入。

地產建設商會副主席梁志堅在會後表示，「地產建設商會百分百支持勾地制度」，但他們希望政府優化勾地政策，定出一個貼近市場價格的勾地價。

有電子傳媒引述消息人士，以「照肺」來形容會議過程，也有電視台以「做大龍鳳」、「無料到」來總結會議的形果。」

近期樓市爭論焦點之一是所謂土地供應出現問題，於是有建議恢復定期賣樓，也有說要降低勾地門檻，比方說由容許發展商八折勾地，改為六折勾地，更有建議說要復議居屋。」

其實，筆者數年前已指撰文指出，不必動大手術以至衝擊市場，提議可以嘗試運用經濟學的「博弈論」來打破勾地困局，以優化土地供應，現將有關文章內容節錄如下:

「其實，發展商最怕的是高價勾了地，當拍賣時市逆轉，沒有行家出價而要被迫「哽」了地皮，做了冤大頭﹔如樓市續旺，拍賣時被行家以更高價投得地皮，則落得只為他人作嫁衣裳，亦不值得。

此所以不少發展商都表示不會勾地，但地皮推出時卻會投地，明顯是博弈論下的極理性行為。

要打破此一困局，就要讓勾地的先行者有「數」，才能令發展商免卻做冤大頭的風險。

其實政府可考慮，如勾地者最終成功投得地皮，可讓他們享有3至5％的折扣優惠，如此建議獲接納，發展商自會甘心做「出頭鳥」，紛紛搶先以高價勾地。

或許有人會擔心此做法會減少賣地收入或造成不公平，其實只要細心思考，便會發覺並無其事。首先，賣地後發展商還要在拍賣場合上出價競投，成功勾地的發展商，只有以最高價才投得地皮，他們出價時自必將折扣一起計入，所以最終地皮成交價會反映折扣因素在內。

至於其他發展商，如出價不及勾出地皮的發展商，已考慮了市場情和本身的財政計算，而他們亦深知其中一個對手享有折扣優惠，所以要打敗對手，出價只有更進取。

至於所謂不公平的問題，誰要你當初不高價勾地﹖別人既願冒上較高風險，能有優惠也是應該。如真的覺得不公平，就請快快出手，搶在別人之前以高價勾地吧。」

以上建議，乃筆者在04年10月以一篇名為「以博弈論打破勾地困局」提出，今日，筆者也嘗試將建議「優化」:除可考慮原來建議提出勾地而最終又投得地皮的發展商，可獲3%至5%的折扣優惠，也可考慮將最終成交價，訂為拍賣地皮的第二最高出價。」

撰文:陸振球 (明報地產版主管)
文章日期：2009年10月28日

資料來源：
http://property.mpfinance.com/cfm/pb3.cfm?File=20091028/pba01/1.txt

數學家 Terence 在博客介紹了強調元素的應用之元素周期表，下載看看：

http://www.abpi.org.uk/publications/pdfs/Periodic-table-2005.pdf

當然，他要帶出數學的東西，是我不懂的。反而略略發掘一下，發覺元素周期表，原來可以弄得很有趣，比如：

日向地：元素周期表人形化，看看不妨：

之前，在顏冊中欣賞過「趣劇版」的化學元素介紹，甚是抵死，惜稍尋不獲。

我知道，很多同學也懂得唱：Elements Song

唱給化學老師聽聽，話唔定 TAS 有分加添…

http://www.youtube.com/watch?v=V9QW0ruiCJo&feature=related

下面的似乎是認真的東西，參考一下：

http://www.quanpc.com/11871/EJB.aspx

下面的似乎不是認真的東西，非化學的元素周期表：

在高中一 NSS 數學課，我開始教二次圖像和二次方程之根（roots）的關係。現在課程涉及複數，卻沒有教如何利用圖像尋找複根（complex roots）或非實根（unreal roots），我在此補充一下。

以下是在下用極速粗製濫造的 ETV，同學先看看：

解說：

（甲）二次方程的情況

若 的複根是 ，則

…………………… (*)

由 (*) 可見

的圖像，其頂點（vertex）的 -坐標是 ，而 就是複根的實部（real part）。

另外，由 (*) 可知 的圖像，其頂點的 -坐標是 （即片中的 ）；

考慮在二次曲線上的一點 ，其 -坐標為 ，那麼 的 -坐標 是什麼？

只要把 代入 ，得

即是說，複根虛部中的 ，就是 的 -坐標 和 的距離。

（乙）三次方程的情況

這個要中六同學才明白，高中一同學要忍耐一下。

為簡化，只考慮 係數為 1。

即設 。

首先，實係數三次方程必有實根；若它只有一個實根 ，則設另外兩個複根為 。

那麼，片中曲線的方程可寫成

……………………… (1)

現在，設經過 並相切於曲線的直線方程為

……………………… (2)

假設曲線和直線的切點（point of contact）為 ，如何證明 的 -坐標 (say) 就是 ？

我們（想像一下）解 (1)，(2)；我們得

易知上式的解為 或 ，即

是下式的根，且是重根（repeated root）：

……………………… (2)

既是重根，把上述等式求導後， 仍是根（Why？），即 滿足：

故 真的是 。

由此可見， 滿足 (2)，故

而片中的 不過是切線的斜率，即 。

這裡有一個問題，如果切線的斜率 是負數，又會怎樣？即出現例如以下情況：

豈不是不能計出 ？

同學，試花一點時間先想想。

開估：當我們考慮 的係數為 1 （或其他正數）時， 一定是正數。

無他，

因為我們考慮的方程是 ；

故此，

代入大於 的 值，對應的 值為正。（即上圖是沒有能的）
代入小於 的 值，對應的 值為負。

這就保證了 。

In solving ordinary differential equation

………. (*)

(where are constants)

we use the method of substitution, let

Then we have and hence

Therefore, (*) can be further reduced as a second order linear differential equation with constant coefficients:

, where

The first question come out from students’ minds: how can you think about the substitution ? Sorry, I cannot answer. This should be a great idea from someone(s) in the past, but how could he/she think about that? Well, you may explore the historical facts and tell me later. Second question, as asked by a student today morning, Chan, is it always possible to substitute ? Good question. is different from in general, at least must be positive but may be negative.

OK, let’s consider a concrete example from a textbook.

Solve

………. (#)

In the solution, it wrote immediately and, after a series of mechanical procedure, it yields

Obviously, the above is valid only when .

But, there should not be any restriction on in the equation (#).

So, what is the solution to (#) indeed? Is it simply add absolute signs to the above and yield

?

Urm…students, you may try on your own:

when , let . See what you will obtain?

OK? Do you obtain something like

for ?

(Please help me to debug, because I just did it in a hurry…)

For better setting of the question, we may post the question as

Solve

for .

………………………….
[OT]

To 7B students, please refer to the following post for the question I’d mentioned in the lesson today:
http://johnmayhk.wordpress.com/2007/10/05/alpm-past-paper-1998-paper-ii-q11/

函數 連續，並不保證逆函數 也連續。

(在定義兩個拓樸空間同胚（homeomorphic）時，就是要求他們之間存在一一對應的連續函數 ，並 也要連續。)

舉例，設 並 （即 不過是 中的 unit circle）定義 使 ，一看下圖，立即知道 不連續。

在測驗中，我隨便擬了一道極顯淺的題：

設直線 及曲線 的方程分別是 及 。若 (的圖像) 切 (的圖像) 於 ，求 的坐標。另設 上一點 ，其 坐標為 1，求 在 處的法線（normal）之方程。

測驗時你們問：如何解三次方程？嗯，我知出事了，大家應該走錯方向。改卷時知道，學生純粹把 的方程代入 的方程，隨即解一個三次方程，得 。然而，這題只有 才正確。有人代入後，不明所以地進行求導，幸運地，他們也得到 ，但解出了 ，也是沒有 reject ！

5E 同學，marking scheme 可到 download page 下載。

【隱密的對稱】
http://speech.ntu.edu.tw/user/vod_film.php?film_series=81&pager_PageID=2&film_sn=1017

其他講座＠本年的臺大數學月「科學與數學」講座系列：
http://www.tims.ntu.edu.tw/ntumath2009/ch/week3-2.html

更多@臺大演講網
http://speech.ntu.edu.tw/user/vod_series.php?sPID=&cls_no=4&mi=2

[FW] 溫家寶：教育大計　教師為本（全文）

http://www.chinareviewnews.com 2009-10-11 20:21:34

　　中評社北京10月11日電／今年教師節前夕，總理溫家寶在9月4日到北京市第三十五中學看望師生。上午聽了5節課，下午同北京市部分中小學教師座談。新華社今天轉發了溫家寶對聽課的點評和在聽了教師代表發言後的講話，全文如下：

　　老師們好，今天上午，我在三十五中初二（5）班聽了5堂課，中午和同學們一起吃了飯。下午和老師們座談，聽取意見。國務院有關部門的負責同志也來了。在教師節前夕，我用整整一個上午聽5堂課，一方面，用這種方式表示對老師們的尊重；另一方面，想深入地了解一些教學的真實情況。再過幾天就是教師節了，我首先向全國廣大教師致以節日的祝賀和誠摯的問候。

　　今天主要是聽老師們的發言。為了使會議開得活潑一些，在大家發言之前，我想對上午5堂課做個點評，互相切磋。如果說的不對，請你們批評。

　　第一堂聽的是數學課。這堂數學課主要是講三角形全等的判定，老師講清了概念，這非常重要，基礎課必須給學生以清楚的概念。她還講了三角形全等的四種條件，以及兩邊一角全等的幾種情況。老師在講這個內容的時候，用的是啟發式教學，也就是啟發同學來回答。老師在問到學生如何丈量夾角的度數時，同學們回答了好幾種，比如量角器、圓規、尺子。我覺得這堂課貫穿著不僅要使學生懂得知識還要學會應用的理念。最後老師提出兩邊夾一角的判定方案，也就是SAS判定方案，並且舉出兩個實例讓學生思考，一是做一個對稱的風箏，這個對稱的風箏實際上是兩邊夾一角的全等三角形；二是一個水坑要測量中間距離，水坑進不去，是應用全等三角形的概念——對應邊相等，用這個概念通過全等三角形把這個邊引出來。這兩個例子都是聯繫實際教學生解決問題。所以這堂數學課概念清楚、啟發教育、教會工具、聯繫實際，說明我們數學的教學方法有很大的改進。總的看這堂課是講得好的，但是我也提一點不成熟的意見：我覺得40分鐘的課包容的量還可以大一點，就是說，一堂課只教會學生三角形全等判定，內容顯得單薄了一些，還可以再增加一點內容。

　　第二堂聽的是語文課。老師講的是《蘆花蕩》，在座的可能有不少老師講過，我過去也讀過，但今天和學生們一起讀，覺得別有一番新意。缺點是開始沒把作者的簡要情況給同學們介紹。既然是講《蘆花蕩》，作者又是孫犁，是中國現代的著名作家，他曾經寫過什麼著作，有過什麼主要經歷，我覺得有必要給學生講講，但是老師沒有講，也許是上堂課已經講過或下堂課要講。孫犁是河北安平人，他一直在白洋淀一帶生活，1937年參加抗日，所以他才能寫出像《蘆花蕩》和《荷花淀》這樣的文章。講作者的經歷是為了讓學生知道作品源於生活。孫犁於1937年冬參加抗日工作以後，到過延安，然後陸續發表了反映冀中特別是白洋淀地區的優秀短篇小說，其中像《荷花淀》、《蘆花蕩》都受到好評。但我緊接著就有一個驚喜，這是我過去上學時沒有過的，就是老師讓學生用4分鐘的時間把3300字的文章默讀完，我覺得這是對學生速讀的訓練，是對學生能力的鍛鍊。她不僅要求學生專心，而且要求學生具有一定的閱讀能力。我們常講人要多讀一點書，有些書是要精讀的，也就是說不止讀一遍，而要兩遍、三遍、四遍、五遍地經常讀。但有些書是可以快速翻閱的。默讀是我聽語文課第一次見到的一種教學方法，而且是有時間要求的。我發現學生們大多數都讀完了，或許他們事先有預習，或許他們真有這個能力。緊接著老師又叫學生概括主要故事情節，這是鍛鍊學生的概括能力，我以為非常重要。3300字的文章要把它概括成為3句話：護送女孩、大菱受傷、痛打鬼子。要有一定的邏輯性，要抓住文章的核心，這不容易。我上學時最大的收穫在於邏輯思維訓練，至今受益不淺。這種方法就是訓練學生的邏輯思維和概括能力。緊接著老師又要求學生通過時間、地點、人物、起因、經過、結果來懂得寫人和寫事，這裡既貫穿著認知，又貫穿著思考和提升。老師特別重視人物的描寫，因為孫犁這篇東西用非常質樸的語言寫了一個性格鮮明的抗日老人，其中我記得最清楚的是四個字：自尊自信，這是他人格的魅力。因為他能夠在十分困難的情況下表現出鎮定，當他認為這件事情做得不好時又十分懊喪。語文教師還讓學生進行了朗誦。我以為語文教學朗誦非常重要，它是培養學生口才的一條重要渠道。如果我們引申開來，由邏輯思維到淵博的知識到一種聲情並茂的朗誦就是一篇很好的演講，需要從小鍛鍊。老師特別重視對學生進行愛國主義教育，講到課文的高潮時，她講這位老人智勇雙全，愛憎分明，老當益壯，點出老人的愛國情懷，然後概括出老頭子最大的特點是抗戰英雄，人民抗戰必勝，偉大的中國人民是不可戰勝的，講到這堂課的中心思想是要熱愛祖國。這樣，就把課文的內容昇華了。

　　第三堂聽的是走進研究性學習課。這是我從來沒聽過的課。聽了課我懂了，其實是開闊學生的思維，用我們可以經常接觸到的一些事情來深究科學的原理，提出問題，獨立思考。這堂課老師講的是“教室”，就是要建一座好的“教室”應具備哪些條件。學生紛紛回答，幾乎我想到的他們都談到了，從窗戶到門，從隔音到節材。最後，老師把它概括為四個方面，叫做你想研究什麼問題——研究“教室”；怎麼開展研究——研究“教室”的方方面面；和誰一起研究——老師和同學；怎樣表達研究成果——把學生的經歷、實踐和參與結合在一起。但我坐在課堂上就在想，非常重要的一點學生們卻沒想到，就教室而言，建築安全應是第一位的。學生沒想到，教師也沒想到。經濟適用都想了，但是安全沒想到，也就是說學生沒有想到防震知識，這算個缺點吧？這堂課講得還是不錯的，比如教室的設備甚至深入到多媒體，投影、攝影頭，節能深入到節能材料，深入到經濟上的性價比。還有一點，就是老師提問時，一個學生說我喜歡岩石，想研究岩石，這個學生也可能不知道老師備課的內容是要講“教室”，但是老師很快把他的問題扭過去了，因為這堂課不是這個主題。這裡反映出一個問題，就是教這堂課要求老師的知識非常淵博，學生愛好涉及的是大自然，老師講的是“教室”，而對學生好奇的大自然應該給予積極回應。對學生的回答，老師應因勢利導，問他看過多少種岩石，知道名字嗎？老師就可以講岩石的分類：沉積岩、岩漿岩、火山岩，啟發學生熱愛岩石，從而熱愛地質。我不是讓老師把原來備課的內容改變，而是因為學生想聽的是大自然，老師要講小空間，用簡練的語言和提問的方式回答大自然的問題是必要的，而且並不困難。最後，老師展示了這個學校的研究成果，35中做過園林研究，做過抗紫外線的研究，做過冬小麥的研究，做過城門與城墻的研究，做過節水灌溉的研究，做過環境因素和生物的研究，還有很多學生獲獎。這是一堂很好的課，但老師可以更放開一些，不要求老師是萬能的，老師可以把學生提出的問題帶回去思考，下次再給他們解答。

　　第四堂聽的是地理課。老師用提問的方法，問學生暑假到過哪些地方。我真沒想到學生到過那麼多地方，不僅是國內，而且到過國外。我仔細翻了課本。這門課把我們過去的地理與自然地理合併了，甚至擴展到把地理、地質、氣象、人文結合起來，是一本綜合教材，可能現在學地理的時間要比過去少了。但是講華北一下子我就聽糊涂了，因為課本講的既不是自然分界，又不是經濟分區，也不是行政分區，華北怎麼把陜西、甘肅和寧夏包括進去了？課本對中國區域劃分的依據不足，無論是自然的、經濟的還是歷史沿革的劃分都沒能講清楚，有的是錯誤的。此外，課本關於中國的區域差異一章就講了中國的五大區域，即華北、青藏、沿海、港澳和台灣，這就更不全面了。我贊成把地理、地質和氣候結合起來，這就如同把人與自然、環境結合起來一樣。過去大學的地質地理系就包含這三個方面。已故的劉東生院士之所以在研究黃土高原方面取得很大成就，獲得國家最高科技獎，主要是兩方面原因：一是因為中國有世界上最厚、面積最大的黃土層，這給他提供了有利的研究條件；另一個原因是他對地理、地貌、地質和氣候的關係，特別是黃土的成因以及黃土形成與氣候變化的關係研究得很深。我贊成編寫教材時把這幾方面結合起來，但要把基本概念講清楚。現在孩子們見識很廣，他們到過很多地方，老師講得也很好。課本要保持嚴謹規範和學術的百家爭鳴，使學生從本質上理解地理學真正的科學內涵。

　　最後我聽了一堂音樂課，應該說是欣賞了一堂音樂課。老師很活潑，這堂課先是播放了邁克爾.傑克遜的《我們同屬一個世界》，這堂課的主題是讓世界充滿愛。我對音樂是門外漢，但是我邊聽邊感到這是一堂藝術熏陶課，對孩子是藝術的熏陶，也可以說是堂美學課。美學是什麼？大概中學沒開過這門課。中國研究美學有名的是朱光潛先生。美學從大的方面講就是真善美，就是世界事物的真善美，這就是那首歌的真諦。因此聽完課我就即席講了一篇話，我說沒有愛就沒有教育，沒有愛就沒有一切。一堂音樂課讓孩子們通過唱歌來懂得人世間的愛，懂得人世間的真善美。其次是人們的心底。孩子們都有心理活動，就是孩子們心底都有知、情、義。這就要求學生要有愛心，懂得愛父母、愛老師、愛家鄉、愛祖國。在河南南陽我給學生們在黑板上題詞就是三句話：愛父母，愛老師，愛南陽。我認為這是思想教育，孩子們記得清清楚楚。人最起碼的愛就是這些，愛父母愛老師愛家鄉，再歸結起來就是愛祖國了。所以這就要求學生有愛心，懂得愛同學、愛老師、愛父母、愛家鄉、愛祖國。這就要求學生有好奇心。好奇心是什麼？就是追求真知。錢學森是大科學家，但很少人知道他是畫家。他從小就受藝術的熏陶。大家都知道李四光是地質學家，但很少人知道他是我國第一首小提琴協奏曲的作者。錢老曾經親口對我說，我現在的科學成就和小時候學美術、學音樂、學文學是分不開的。因此他提倡學理科、工科的也要學藝術，學藝術的也要學工科、學理科。他在被授予功勳科學家時的即席講話說：“我有一半的功勞要歸功於我的夫人。”他夫人蔣英是鋼琴家。我對他夫人說，你的藝術對他的科學工作很有啟發。追求真知，辨別真偽，尋求真理、趨善避惡，為民造福，應該是美學教育的內容。我們要求學生做一個全面發展的人，就應該在這些方面都具備一定的知識，具備一定的愛好。上午聽課時我也服從音樂老師的命令做了遊戲，感覺和孩子們在一起非常幸福。我對孩子們說我愛你們，我祝福你們。

　　（聽了教師代表發言後）

　　剛才，幾位老師的發言都很好。下面，我講幾點意見。

　　當前，我國教育改革和發展正處在關鍵時期。應該肯定，新中國成立60年來我國教育事業有了很大發展，無論是在學生的就學率還是在教育品質上，都取得了巨大成績，這些成績是不可磨滅的。但是，為什麼社會上還有那麼多人對教育有許多擔心和意見？應該清醒地看到，我們的教育還不適應經濟社會發展的要求，不適應國家對人才培養的要求。任繼愈老先生90歲生日時，我給他送了一個花籃祝壽，他給我回了一封信，這不是感謝信，而是對教育的建議信。我坦率告訴大家，他對我國教育的現狀有一種危機感，他尖銳地指出了教育存在的一些問題。我多次看望錢學森先生，給他彙報科技工作，他對科技沒談什麼意見，他說你們做的都很好，我都贊成。然後，他轉過話題就說，為什麼現在我們的學校總是培養不出傑出人才？這句話他給我講過五六遍。最近這次我看他，我認為是他頭腦最清楚的一次，他還在講這一點。我理解，他講的傑出人才不是我們說的一般人才，而是像他那樣有重大成就的人才。如果拿這個標準來衡量，我們這些年甚至建國以來培養的人才尤其是傑出人才，確實不能滿足國家的需要，還不能說在世界上佔到應有的地位。最近，為應對國際金融危機，英國首相布朗作了一次科技報告，他一開始就講，英國這樣一個不大的國家僅劍橋大學就培養出80多位諾貝爾獎獲得者，這是值得自豪的。他認為應對這場危機最終起決定作用的是科技，是人才和人的智慧。其實，我們的學生也是很優秀的，在各種國際比賽當中經常名列前茅，許多到國外留學的學生學習成績也很好。我們出去這麼多留學生，也成長了一批人才，充實了各行各業，但確實很少有像李四光、錢學森、錢三強那樣的世界著名人才。每每想到這些，我又感到很內疚。這就是為什麼我們在形勢很好的時候，還要制定《國家中長期教育改革和發展規劃綱要》的原因。

　　老師們都很辛苦，特別是從事基礎教育的老師。老師們承擔著教育的重任。百年大計，教育為本；教育大計，教師為本。如果說教育是國家發展的基石，教師就是基石的奠基者。國家的興衰、國家的發展繫於教育。只有一流的教育才有一流的人才，才能建設一流的國家。我曾經引用過“教師是太陽底下最光輝的職業”這句話，這是17世紀捷克的大教育家誇美紐斯講的。俄國的化學家門捷列夫也說過：“教育是人類最崇高、最神聖的事業，上帝也要低下至尊的頭，向她致敬！”可以說，無論一個人的地位有多高、貢獻有多大，都離不開老師的教育和啟迪，都凝結了老師的心血和汗水，在老師面前永遠是學生。國家各項事業的發展需要大批的人才，同樣也離不開教育和老師的培養。我們國家大約有1600萬教育工作者，其中中小學教師1200萬。長期以來，廣大教師牢記自己的神聖使命，兢兢業業，默默耕耘，培養了一批又一批優秀人才，為我國教育事業和現代化建設做出了突出貢獻，這種不計名利、甘為人梯，成功不必在我、奮鬥當以身先的精神，充分體現了中國知識分子以天下為己任的崇高境界。

　　這裡，我想著重談一下提高教育品質和水準問題。教育的根本任務是培養人才，特別是要培養德智體美全面發展的高素質人才。從國內外的比較看，中國培養的學生往往書本知識掌握得很好，但是實踐能力和創造精神還比較缺乏。這應該引起我們深入的思考，也就是說我們在過去相當長的一段時間裡比較重視認知教育和應試的教學方法，而相對忽視對學生獨立思考和創造能力的培養。應該說，我們早就看到了這些問題，並且一直在強調素質教育。但是為什麼成效還不夠明顯？我覺得要培養全面發展的優秀人才，必須樹立先進的教育理念，敢於衝破傳統觀念的束縛，在辦學體制、教學內容、教育方法、評價方式等方面進行大膽地探索和改革。我們需要由大批有真知灼見的教育家來辦學，這些人應該樹立終身辦學的志向，不是幹一陣子而是幹一輩子，任何名利都引誘不了他，把自己完全獻身於教育事業。我們正在研究制定的《國家中長期教育改革和發展規劃綱要》，就是想通過改革來努力解決教育中存在的問題。這裡，我想提四點要求供大家參考：

　　第一，教育要符合自身發展規律的要求。陶行知先生說：“教是為了不教。”就是說要注重啟髮式教育，激發學生的學習興趣，創造自由的環境，培養學生創新的思維，教會學生如何學習，不僅學會書本的東西，特別要學會書本以外的知識。我曾經把學、思、知、行這四個字結合起來，提出作為教學的要求，也就是說要做到學思的聯繫、知行的統一，使學生不僅學到知識，還要學會動手，學會動腦，學會做事，學會思考，學會生存，學會做人。

　　第二，教育要符合時代發展的要求。我們說教育要面向未來、面向世界、面向現代化，歸根到底就是要與時俱進，趕上時代發展的步伐，辦出具有中國特色、中國風格、中國氣派的現代化教育。這就要求我們必須放眼看世界，牢牢把握社會發展和科技進步的潮流，學習和借鑒人類優秀的文明成果。同時，也要深深地懂得中國，結合中國的實際和國情，推進教育改革、優化教學結構、更新教學內容、改進教學方式。

　　第三，教育要符合建設中國特色社會主義對人才的要求。改革開放和經濟社會發展不僅需要各種各樣的人才，而且對人才的要求越來越高。要立足於現代化建設對人才的實際需要，不斷調整專業設置和課程設計，努力培養創新型、實用型和復合型人才，同時要加強愛國主義和理想信念教育，培養學生增強社會責任感，報效祖國，服務社會。

　　第四，教育要符合以人為本的要求。學校要堅持“以人為本”的辦學理念，以“依靠人、為了人、服務人”為基本出發點，尊重學生、關愛學生、服務學生，發現和培養學生的興趣和特長，塑造學生大愛、和諧的心靈。前兩年我到醫院看望季羨林先生，他對我說，講和諧還要講人的自我和諧，要使人對自己的認識符合客觀實際，適應社會的要求，正確對待金錢名利，正確對待進退、正確對待榮辱，這才能和諧起來。

　　最後我想對老師提點要求。教師的日常工作既平凡又不平凡，教師不是雕塑家，卻塑造著世界上最珍貴的藝術品。廣大教師應當成為善良的使者，摯愛的化身，做品格優秀、業務精良、職業道德高尚的教育工作者。

　　一要充滿愛心，忠誠事業。“沒有愛心就沒有教育”，這是實驗二小霍懋徵老師的話。她唸唸不忘的就是希望拍一部反映老師教書育人的愛心和奉獻精神的電影或電視劇。我在這裡也大聲呼籲，希望能有更多描寫老師的影視作品。當一名教師，首先要是一個充滿愛心的人，把追求理想、塑造心靈、傳承知識當成人生的最大追求。要關愛每一名學生，關心每一名學生的成長進步，努力成為學生的良師益友，成為學生健康成長的指導者和引路人。

　　二要努力鑽研、學為人師。當今時代知識更新換代的週期越來越短，每個人都需要不斷學習才能適應工作要求。教師是知識的傳播者和創造者，更要不斷地用新的知識充實自己。要想給學生一杯水，自己必須先有一桶水。教師只有學而不厭，才能做到誨人不倦。廣大教師要崇尚科學精神，嚴謹篤學，做熱愛學習、善於學習和重視學習的楷模。要如饑似渴地學習新知識、新科學、新技能，不斷提高教學品質和教書育人的本領。要積極投身教學改革，把最先進的方法、最現代的理念、最寶貴的知識傳授給學生。剛才座談時有的老師提到要給教師創造培訓的條件，我完全贊成。要建立包括脫崗輪訓、帶薪培訓的制度，當然要講求實效，把好事真正辦好。

　　三要以身作則，行為世範。教育是心靈與心靈的溝通，靈魂與靈魂的交融，人格與人格的對話。不久前有一個學生給我寫了一封信，他提到：現在青年學生自殺的很多，小小年紀厭世甚至走上絕路，總理能否在9月1日開學時專門和學生在網上對話，告訴學生要珍惜生命，熱愛生活。他所說的事雖然是極個別，但必須引起重視。教師個人的範例對於學生心靈的健康和成長是任何東西都不可能代替的最燦爛的陽光。好的老師是孩子最信任的人，有些話甚至不對父母講也願意跟老師講，老師能幫助他解決思想問題包括實際問題，做到這一點不容易，沒有愛心是不可能的。惟有教師人格的高尚，才可能有學生心靈的純潔。教書者必先強己，育人者必先律己。我們不僅要注重教書，更要注重育人；不僅要注重言傳，更要注重身教。廣大教師要自覺加強師德修養，堅持以德立身、自尊自律，以自己高尚的情操和良好的思想道德風範教育和感染學生，以自身的人格魅力和卓有成效的工作贏得社會的尊重。

　　全社會要弘揚尊師重教的良好風尚。一個國家有沒有前途，很大程度上取決於這個國家重視不重視教育；一個國家重視不重視教育，首先要看教師的社會地位。要注意提高教師特別是中小學教師的待遇。從今年起，在國家財政比較困難的情況下，按教師平均工資水準不低於當地公務員平均工資水準的原則，實行義務教育階段教師績效工資制度。中央財政今年已準備120億，全國計算大概是370億。這不是簡單的漲工資，應該把薪酬待遇和個人工作成效密切掛鉤。這是對教師辛勤勞動的尊重。我們要繼續發揚中華民族尊師重教的優良傳統，不斷提高教師的政治地位、社會地位和生活待遇，把廣大教師的積極性、主動性、創造性更好地發揮出來。各級政府都要滿腔熱忱地支持和關心教育工作，積極改善教師的工作和生活條件，吸引和鼓勵高素質人才從事教育事業，尤其是到基層、農村和邊疆地區任教。中小學教師非常重要，有些國家讓最優秀的人教小學。要像尊重大學教授一樣尊重中小學教師。要大力宣傳教育戰線的先進事跡，特別是終身從事中小學教育事業的典型，營造良好的輿論氛圍，讓尊師重教蔚然成風，讓教師成為全社會最受人尊敬、最值得羨慕的職業。

資料來源：中國評論新聞網
http://www.chinareviewnews.com/doc/1011/0/0/9/101100998.html?coluid=7&kindid=0&docid=101100998&mdate=1011202107

曾特首在施政報告中指：「發展教育產業的目標是鞏固香港區域教育樞紐地位，提升本港的競爭力，配合國家的未來發展。」

話說回來，無論「學生為本」、「教師為本」、「長官意志為本」、「以人為本」、「以愛為本」…也是敵不過「功利為本」的今天。

為讓 NSS 的同學多一點探究，在下嘗試在數學課引入一些活動，其中一個舊活動是「交通擠塞」，見

http://mathforum.org/alejandre/java/jam/Jam.html

當天和同學探究 對「人」和「最少步數」的關係，易知

當 ，「最少步數」是 3；
當 ，「最少步數」是 8；

隨即，我著同學「估」：當 時，「最少步數」如何？

本來我希望透過 Jump 和 Slide 的數目，教同學估計「最少步數」的上下限，再透過直接參與那個遊戲，看看和估計的相差多遠，結果，我那堂是徹底失敗。

遊戲未開始，歐同學已說出：當 ，「最少步數」是 15；

問他的計算方法，原來是純觀察數型

f(1) = 3
f(2) = 8
f(3) = ____

他就是推論到 f(3) = 15。

這不是嚴謹的方式。脫離了「背景」，所謂數型的問題是沒有意義，比如

2,4,8,16,…

之後是什麼？不知道，根本沒有定義！

不是 32 嗎？不一定。

舉一個舊例子說明：

連起圓周上 點，得出的對角線把圓最多可分割成 份；當 = 2,3,4,5 時， 值分別是 2,4,8,16；見下

上面就是給了 2,4,8,16 這個數列一個「特殊背景」，於是問：「當 時， 是什麼？」就有意義了。

那麼，當 時， 是什麼？是 32 嗎？不是！

且看：

可見，當 時，。

那天開始教授等差數列（Arithmetic sequence） ，我問：「1,2,3,4 之後是什麼？」同學當然視之為無聊，亂答之。正中下懷！

f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = 3
f(4) = 4

那麼 f(5) 一定是 5 嗎？甚或， 一定是真的嗎？

不一定。

如果認為，由

f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = 3
f(4) = 4

可推論

就是犯了「以偏概全」的謬誤。

比如

也可以出現以下效果：

f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = 3
f(4) = 4

但 f(5) 就不是 5 了，而是 5 + (5-1)(5-2)(5-3)(5-4) = 29。

甚至更一般地：

，其中， 是任你「天花龍鳳」的函數，一樣有以下效果：

f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = 3
f(4) = 4

當然，如果知道數列的「背景」，比方說：已知以下數列是等差數列，那麼第 5 項是什麼：

1,2,3,4,…

我們才敢說：1,2,3,4 之後是 5。

那天和同事閒談兩個數列之間的「距離」，其實沒有什麼奇怪。隨便舉例：

對實數列

{}
{}

定義

易知 是實數列集 的「距離」。

即 是賦距空間（或稱度量空間 metric space）。

另外， 是完備（complete）的，即 內任意柯西（Cauchy）數列也是收斂的。

寫一寫證明便可。

對任意正數 ，存在自然數 ，使對於任何大於 的自然數 ，恆有

– - – - – - (*)

其中

{}
{}

由 (*)，對任何固定的自然數 ，及大於 的自然數 ，恆有

即 {} 是在實數集上的柯西數列，故數列收斂。設 {} 收斂於 ，並設 {}，易知

，即 完備也。

嘩，阿副教授，你唔係咁樣教泛函分析下話？

http://v.youku.com/v_show/id_XOTQ2MTUxNzY=.html

好彩在下跟在下o既講師唔係咁樣jet。

從來對車沒有感覺，但以下兩則舊廣告，言簡意賅，叫我深有所感。

家庭篇

工作篇

（中新社）

《忘了光纖 忘不了太太 高錕老人癡呆 妻子﹕不再是以前那個人》

(明報)2009年10月9日 星期五 05:10

【明報專訊】剛奪得諾貝爾物理學獎的「光纖之父」高錕，因患上老人癡呆症，已經忘了自己畢生研究、造福世人的光纖科技，其妻黃美芸亦形容患病後的丈夫「不再是以前那個人」。不過，高錕並沒有忘記同行半世紀的愛妻，也惦念著其他同病相憐的人，他和太太正考慮將部分獎金捐給香港聖雅各福群會老人中心和美國一個老人癡呆症研究協會。

76歲的高錕與比他小1歲的太太，今年夏天定居美國加州三藩市附近的山景城，過著平淡和規律的生活。高錕得獎後，恭賀電話不絕，欲採訪他的傳媒多不勝數。他日前在家中接受三藩市華語電視台訪問，妻子黃美芸溫柔地問他：「你是否光纖之父？」高錕一臉茫然，只是重複道：「光纖……光纖之父。」他看來已忘了自己心愛的尖端科學。

一臉茫然： 光纖……光纖之父

黃美芸不僅是高錕的賢內助，為他照顧兩名子女，也是高錕研究路上的得力助手，是他的第一傾訴對象。如今到了晚年，高錕的老人癡呆症加深，黃美芸要24小時貼身照顧。

2004年，高錕被一起搓麻將的朋友發現他反應變得遲緩，建議他到醫院檢查，才發現與他父親一樣患上老人癡呆症。黃美芸坦言，照顧高錕壓力不小，「因為你知道這個人以前是怎樣，這個病將他改變，以前那個人已經走了，不再在這裏，哭也哭過一段日子，現在習慣了，知道這個人不再是以前那個人」。

向來不善辭令的高錕，近年因小腦萎縮，說話能力更受影響，「我現在不大好……我自己裏面要講出來，很難做」。在旁看著丈夫接受訪問的高太連忙替丈夫補充：「很難講出來。」採訪的記者問高錕，妻子盡心照顧他，是否好愛她？高錕說了兩次：「是，她很好的。」回應言簡意賅，盡顯深情。

一定往瑞典領獎

金耀基教授是高錕擔任中文大學校長時的工作伙伴，他在慶賀高錕得諾獎時感慨說，這個獎如果早一年來就好了，暗示高錕如今的身體狀態未能應付領取諾貝爾獎後發表學術演講的傳統要求。不過，黃美芸說，高錕一定會去瑞典領獎，畢竟這是極難得的榮譽；她形容，獲悉得獎後的感覺「就像發夢」。

光纖之父忘了光纖、頂尖科學家變得像小孩子那樣單純，教許多人唏噓不已，但高錕的中學同學李文彬認為，「精明還是癡呆已不重要。他的腦袋已達成造福世人的任務」。他覺得，是上天為高錕安排了一個快樂的晚年，要高錕不用煩惱。

獎金考慮捐老人癡呆機構

年屆76歲的高錕步履穩健，精神不俗，能自己進膳和更衣，還不時協助妻子洗菜做飯（高錕生活現况詳見另稿）。對於損贈部分獎金之事，黃美芸在接受香港電台訪問時表示仍未落實。

香港中文大學精神科學系林翠華教授說，老人癡呆是大腦整體退化的疾病，退化期大約需10至20年。一般來說，腦部退化的病徵可分4期，她不願單憑訪問片段而判斷高錕的病况。不過，若從林教授列出的4期病徵來看，即不能單獨照顧自己日常起居生活，語言表達出現困難，有明顯的記性問題，無法應付需要高認知能力處理的事，這已到了中期癡呆程度（見表）。

病徵疑似中期癡呆

林翠華說，高錕校長是超級聰慧的人，即使患老人癡呆症，也因為他的聰慧可在日常生活幫得上自己。大腦萎縮主要會令患者智力衰退，但肢體機能萎縮要到很後期才出現，即使是中期老人癡呆症，病人仍可行動如常，醫生亦會鼓勵病人多做運動，延緩肢體機能衰退。

她指出，雖然著名學者也會患老人癡呆症，但一般而言，學者經常動腦筋，是一個保護大腦免於退化的因素；因此，一直有動腦筋的人，晚年應繼續多動腦筋。

明報記者 張岳弢 談誦言

資料來源

http://hk.news.yahoo.com/article/091008/4/elgu.html

also read
童真笑問：牛奶太多了，我不喝完行嗎？
高錕夫婦情深更勝諾獎

仍有幸見到高校長的笑容。百般感受，在心中。

昨天和科主任討論到如何教授 function 的概念：domain 和 largest domain，equality of functions 等…對於剛由中三升高中一的同學，好像有點無從入手之感（是我想得太多嗎？）。在 2005 年的初中數學老師訓練中，討論過把中六七才教的函數概念，教授中一同學的情況（當時，我的難點是：constant function，random function 等），嗯，都是有實戰經驗再說。

順帶一問，書中有一道題：

＂It is given that the term of a sequence is , where . Consider treating as a function of , write down its domain.＂

大家覺得怎樣？

話說回來，有些初中學生確實可以吸收更多數學知識，那就可以讓他們發掘更多。

數學建模和數學科展，在國內和台灣歷史悠久，累積不少資源，同學有興趣可以找找看。

以前聽聞有關數學建模比賽，參與的都是大專生；我孤陋寡聞，現在才知道連初中一年級也有數學建模比賽，參考

2009 中國青少年數學論壇(香港區)「數學建模小論文比賽」獲獎名單

網頁下方有 2008 年數學建模小論文評選活動獲獎作品展示：

《買賣基金中的奧祕》
《計程車司機如何維持生計》

文章作者都是初中同學。看到他們懂「算幾不等式」，並不奇怪。

另外，部分恆隆數學獎的參賽同學（中學生），其數學知識也有研究生的水平。

以下是一群高中學生集體管理的數學網誌，源起是麻省理工學院召集一群高中學生參與的科研工作（參考 http://web.mit.edu/rsi/www/）

http://deltaepsilons.wordpress.com/

他們寫的東西，我只能放在 “to study list” 內了，比如下篇由其中一名高中生 Akhil Mathew 寫的：Grothendieck Groups and the Eilenberg Swindle

http://deltaepsilons.wordpress.com/2009/07/12/grothendieck-groups-and-the-eilenberg-swindle/

是專門的。

“…write this post partially to help myself understand it better” 這是不錯的方法，同學，你又會嘗試透過把學到的知識（透過網誌或其他）詳細寫下來，從而可以幫助自己明白更多？

近日高錕教授奪得諾貝爾物理學獎的消息，或可刺激一下港人對科研的「與趣」，但，有志的同學，希望大家抓緊這個容易冷卻下來的熱情，把握學習機會，不純以功利心態，認真對待學問。（係老套 D，但認真的。）

also read the (old) news about ISEF 2009
http://www.intel.com/pressroom/kits/events/isef2009/
http://www.oc.com.tw/readvarticlen.asp?id=15721

http://mytv.tvb.com/news/pearlreport/101012#page-1

Shaw Prize Page
http://www.shawprize.org/b5/index.html

網上發言是自由的，無遠弗屆。

感謝 WordPress 給我們一個平台，讓我們的話可以與讀者（起碼有一個讀者存在：自己）分享。

lslu 的留言，讓我知道《我通我識》這個節目存在：

在網頁連結到七個免費的節目重溫：

http://oap.cchongkong.com/oap/knowledgeEP01.mp3
http://oap.cchongkong.com/oap/knowledgeEP02.mp3
http://oap.cchongkong.com/oap/knowledgeEP03.mp3
http://oap.cchongkong.com/oap/knowledgeEP04.mp3
http://oap.cchongkong.com/oap/knowledgeEP05.mp3
http://oap.cchongkong.com/oap/knowledgeEP06.mp3
http://oap.cchongkong.com/oap/knowledgeEP07.mp3

我強調「免費」，大家也會明白；有（認真地）寫網誌的朋友，大家花了很大心力去寫，為了錢嗎？（當然可能有人笑：「捉到鹿唔識脫角。」）

有心的網誌，可以帶出叫人得益的信息，其重要性遠超什麼點擊率和所謂排名榜。

《我通我識》的主持，如果你相信你們所做的是有意義（特別是對教育界）的事，希望你們可以繼續堅持，製作更多通識節目，謝謝！

一．隨便出題

在功課中，問高中一的同學：請把 277 寫成三個三角形數之和。他們給了以下的答案：

（其中 ）

超過我心中所想所求，感恩。

二．恩典夠用

2009-09-30，雖是黃雨，本校陸運會如期進行。天公「畀面」，早上沒下大雨，直至賽事將完，午膳時才天降甘霖。縱然下午因大雨腰斬了幾個項目，待停雨仍可繼續舉行，天「都算係咁嘞」。我負責做跳高裁判，抵死，不埋會大雨「照頭冧」，結果當晚和舊同學飯聚後，開始發燒。醫生說起碼要燒四五天，問我要不要特敏福（吓！我最多係豬型人類流感吧，唔好浪費隻藥），答曰：「少食。」

三．舊友飯聚

要約齊一班中大數學系的舊友聚會，頗難。我攜眷及兒子出席。大家說笑，氣氛融洽。感謝阿 mike 統籌。這名科主任及學務部主管，確有不少故事分享。其中談到一名「極品」年長 miss，她不是把大量時間投放在改善教學或／和非教學職務上，反而扭盡六壬，計劃自己如何逃避工作，寫投訴信給校監云云。這名三十年前電腦科出身的授課員，現為會計科主任，最經典的是學期初向她的學生發家長信，表明自己教學是平鋪直敘，沒有什麼新教法，著學生學自為之。吓！結果學生的成績不是最差，因為他們「被迫」外出補習，學生對該名授課員的評價無不神憎鬼厭。還有很多經典事，一言難盡。我承認教育界確實存在「瘀血」，然而，教改要「革命」掉的，往往輪不到懂弄權走精面的「老黨員」。

四．兒子說笑

飯聚中，剛四歲的兒子又當眾說起故事來：不是什麼故事，不過是說說笑話而已。身為父親的我也頗高興，因為可以一起談笑，也可以和舊友同聲同氣，心中壓力也舒緩很多。要感謝太太，她全情照顧兒子，使他愈來愈精靈。

五．刺與樑木

照顧小孩確要花大量心力。有時太太要處理「外務」（諸如家教會會務、佈置、陪伴親友…）時，我和兒子整天二人世界，雖是疲倦，亦是快樂。那天在海港城，兒子在某玩具店逗留了兩次，每次約一小時，玩的是恐龍和動物的「figures」。我任由他，反正他從沒有嚷著要買。及後，一名小孩帶同他媽到來。小孩拿起恐龍看了看，他媽開始「鵝」：

「嗱，你屋企已經有呢款恐龍囉，唔好買嘞！」

小朋友不發一言繼續看，一會兒，他媽強行拖他離開。我心想：

「呢位媽咪，你屋企已經有款式差不多的手袋及衫褲鞋裙，何解還要買呢？」代答：「係冇呢一件嘛。」（這是太太教的）

嗯，再出賣一下太太先：不止一次，她打算買某商品，但往往到了超市、零售店等，總是買了比原來計劃多出很多的東西，最惹笑的是，到付款那刻才驚覺沒有拿最初打算買的東西！嗯，不知這是否普遍女性的「消費模式」。嗯，我自省，自己何嘗不是如此？指的不是購物，而是上網。原本打算尋找的資料，往往被網頁的其他東西「sidetrack」了，沉淪一番才驚覺最初打算找的東西，仍未有著落。

六．小巴叫站

回家的小巴，某乘客叫：「酒店有落。」司機舉手示意。吓！酒店？我住在這裡那麼久，卻從未聽聞在這路線上有酒店的。結果，小巴停在鑽石山殯儀館前。

還有一些「有趣」的叫站，諸如：
「法國有落」（Oops，唔駛搭飛機咁 So，非也，此乃法國醫院而已。）
「維他奶，唔該！」（小巴增值服務乎？非也，土瓜灣線，維他奶廠舊址是也。）

不寫了，夠鍾食藥，再去會家人。

難以轉化

校長隨便抽問我校兩名教師楷模：CC 老師和程 sir，結果是大部份 checklist 的細項，他們也做得很好，叫我羨慕不已。

感謝中五的 Carman 回應了上一個 post，讓我也閒聊幾句，高手見諒。

比如

那麼 其實是什麼？

尋找 ，就是解微分方程的過程，上例不過用積分，得到

如果 是 的原函數（primitive function），即 ，我們可寫

（其中 是任意常數）

那麼，如果 若有「另一個」原函數 ，它一定是 的形式嗎？這是明顯的，正如 Carman 說

但是，如果我們考慮隱函數（implicit functions），情況可能複雜一些。

比如 可推導 ，但我們不能立即寫 ；隨便設 ，未必容易找出 是什麼。比如，設 ，則 是什麼？

舉例，對於任意常數 ，

1. 滿足 ；

但除了 ，其實還有 滿足上式。

2. 滿足 ；

但除了 ，其實還有 滿足上式。

3. （）滿足 ；

但除了 ，其實還有 滿足上式。

4. 滿足 ；

但除了 ，其實還有 滿足上式。

上述例子，涉及任意常數 者，是微分方程的通解（general solution），而另一個解就是奇異解（singular solution）。

修中學應用數學的同學，我們懂得解小部分一階線性微分方程，起碼可以應付上述的例 1,2，找出通解。但課程沒有教大家如何找奇異解。

聞說，奇異解是通解的包絡線（envelope），何謂包絡線？看看 wiki 的介紹

http://en.wikipedia.org/wiki/Envelope_(mathematics)

這裡有濟濟一堂的舊文，有興趣或可看看：

http://www.hkedcity.net/ihouse_tools/forum/read.phtml?forum_id=27877&current_page=&i=955854&t=954351&v=t

現在回看上述例子 3，如果把通解的曲線族（family of curves） 繪一繪（輸入不同的 值），得到直線族（family of straight lines）如下：

現在把奇異解 也繪於其上，得：

同學，你「感受」到曲線 是 的包絡線嗎？

回看例子 1,2，容易想像奇異解是那些通解的包絡線，大家驗證一下。

再回看上個 post 的例子，把 繪出如下：

（注：由上而下， 值分別為 -20,-10,-5,-1,0,1,5,10,20；另外，對應 的圖像頗特別。）

單單看上圖，該曲線族似乎沒有包絡線，那麼奇異解似乎也不存在（注：純粹猜測之言，盼高手指正）。

When distributing the marked test paper to students, one student, Carman, reminded me that there was a ‘question’ in the following question:

?

It is extremely easy to set up questions about differentiation techniques (but good real life application questions are really rare, esp. at secondary school level), apart from tedious computation, when the differentiation involves parameter, students may have difficulties, like mistaking:

Students, try to explore it at your command.

你我也有壓力。

以前在團契，我曾經帶領過一個聚會，討論「壓力」這個課題。

當時是初生之犢，無可無不可，我還自以為是，斗膽用

來「解釋」壓力云云，貽笑大方。

今天教師發展日，林孟平教授談了「心因症」的一些例子，最叫我深刻是「目盲」那個個案。

會中，教師們也自我審視「枯竭」的情況，赫然發現自己的情況原來是那麼糟。我很害怕。

加上早上為「準備外評」而設立的「集體觀課」環節，讓我反覆問自己：「究竟我還適合做教師嗎？」

還愛學生嗎？還懂得教授數學嗎？

「如果唔適合咪走囉。」心中的我對自己說，但今天，我還可以冒險嗎？

陳老師、周老師，我一直很羨慕你們可以為理想而闖出去。

Just take a rest from work, type something boring here…

Students, you may regard the above as a formula or derive it by using trigonometric substitution every time.

As you may know that the expression of a primitive is not unique, we may have other forms being a primitive of , say

where

To show the validity of the above, simply by differentiation (try, esp. the last one). But, apart from the above, any other ‘format’ of a primitive? How to obtain primitives of different ‘formats’ (esp. the last one)?

小心，對一些運算法則，我們定要正本清源，不能單以一句「類似地」便隨便進行「類似」運算。

e.g. 1 循環小數

　正確，但不是「類似地」得到：

（錯！）

事實上，

e.g. 2 二階導數

　正確（設考慮的導數有定義），但不是「類似地」得到：

（錯！）

那麼， 和 有何關係？見下：

e.g. 3 期望值

設 是連續隨機變量 的概率密度函數（p.d.f.)，那麼 的期望值是

但不是「類似地」得到：

（錯！）

事實上，

而已。

相信還有不少例子，歡迎分享！

今天偶爾上 HKASME 網，竟看到吳老師離世的消息：

香港數理教育學會主席吳重振先生辭世
http://www.hkasme.org/CCNG.pdf

已故主席吳重振先生生平簡介
http://www.hkasme.org/Ng_CC2.pdf

他不認識我，但我很敬佩他。聽他主持的講座，獲益不少，很多奧數精英也是在吳老師的栽培下成長。

願吳先生的親朋，平安。

開學頭，連續兩天（如果定義開學日期是 2009-09-01 的話，但同工知道這是假的），在晨早趕返工的港鐵車廂內，給黃毅力先生訓話：

《我對老師的訓話》

大部分學校開課了，大學在早一星期亦已開課，在這裏我希望向香港教育界的前輩分享一點點看法。
今日的教育和以前分別很大。從前的老師是教導學生，是教與育並行， 雙管齊下，為新的一代建立良好的價值觀，除了讀書學習，還要學做人，為人老師要啟發學生在心智上發展，使他們在成長過程中，學習中國傳統的價值觀，特別是德智體群美、忠信孝義及禮義廉恥。時移世易，現今的教育制度所衍生出來的現象，是大多老師只想做好一份工，而不是做好教育工作，對學生的要求只限於分數，還要他們沒有投訴。大學教育的管理層?重的，也許教授交出多少篇學術性論文、學校的地位及世界大學排行榜的名次，教育年輕人的責任多半草草了事，關心的也一樣，最重要是不會接到投訴。
我在香港及其他國家也曾拜訪不少學校，上過不同的課程，有長期也有短期，十年來，我的所見所聞可以總括為一點，那是一位成功的老師能?蒙他的學生，給他們生命中的希望及自愛，以生命影響生命，激發學生立志在社會上力爭上游。除此以外，成材的學生大多懂得感恩，對老師如父母般敬重，不會視為陌路人。好的老師及壞的老師同樣需要花時間備課、上課及做功課，何不改變一下對學生的態度。再試想想你們的兒女由你們自己來教導，你對教育的標準是否會有不同？
教導年輕人要有包容的心
做好本分是應該的，但要認清自己的本分背後的價值觀是指學業成績？還是學生人格的培養？無可否認，現時的社會是一個大染缸，學生群所製造的問題比以往複雜得多，不斷會對權力作出挑戰，有叛逆、吸毒及援交等等，為人師表者必須關愛學生，以包容的心要給年輕人機會改過，給他們對未來充滿希望，這個社會的繁榮才可以持續下去。
我曾經看過一齣西片The Emperor’s Club（港譯：打造天子門生），主演者是著名演員Kevin Kline。故事描述一位充滿教育熱誠的歷史學老師如何在一間傳統的寄宿學校以身作則，以包容的心及無比的耐性啟發眾背景不同的學生。這齣電影不時在有線電視電影台重播，我鼓勵家長、老師與子女及學生一起欣賞，相信必能引發大家的思考及互相討論的空間，期望為人師表者都如孔子所說立人之極，做一個作育英才的好老師。

摘自 2009-09-01 都市日報

《天外飛仙—白天造夢》

開學了！如果老師容許學生選擇班上座位，相信大部分本地學生都選擇有多後坐多後。若然學校能提供無線上網，學生更是歡迎之至，許多學生都感到坐得愈前，壓迫感愈是大，以及感到受約束。上課的目的本來是汲 取知識及智慧，但大家都沒有正視。
上課最大的宿敵，是遇上一個使人悶到發慌，說話「例牌」到不行的老師，加上沒心、也沒能力，上課簡直是不上也罷。但是，一個無論多麼「廢柴」的老師，他的教學內容也會有其可取之處，只是一般學生都會選擇逃避，以天外飛仙及移魂大法(發白日夢) 元神出竅，思想不知道飛到哪裏去，有的甚至索性睡大覺，必定是坐得愈後愈好。
這亦曾是我的想法，因為我也遇過不少「廢柴」老師，上課三個小時中，第一小時播影片，然後休息，跟?小組討論，最後是演示(Presentation)。我屈指一算，在課堂三個小時之內，實質只有不足二十分鐘授課時間，授課的內容卻是空洞無物，只在重複影帶及學生演示的內容。
這些老師如此「努力」及「專業」，更使我有衝動向他挑戰及提出投訴。我將我的意見向智者們反映，但得到一個結論，就是在建制之下，學生投訴老師成功的機會是零。以前有說官官相衛，現在也有老師互相關照，校方亦認為多一事不如少一事，那是現象，更是現實。
智者接?說：「若此老師如此『廢』及沒用，遲早也會離開，不用我費心，但另一方面，是否也應該自我檢討，在批評別人不是的同時，自己是否也有不足之處？這謙厚的說話對我簡直是一記當頭棒喝，我認為自己有問題— 何不好好檢討一下，而只是批評別人？我的問題是戴?一副有色眼鏡看待那老師，事實上他所播的錄影帶也有智慧要我學習，我怎可以讓情緒影響我對學習的興趣呢？
此外，是關於老師拖時間，浪費光陰及找同學做演示，為何我為了惱恨老師而忽略了同學們的演示？他們的演示內容也可以充滿值得學習的智慧。再者，老師內容空洞的教學，我也應從中學習並得到提醒，他那些超低水平的說話內容成為了強而有力的反面教材，提醒我要在上課前必須備課。
要別人尊重自己，首先要學會尊重別人，我所犯的錯，比老師的問題還要大，就是我不懂尊重他。不尊重他，如何會相信他會倒過來尊重自己呢？
可惜這道理我知道得太遲了，當我領悟到並開始作出改變，已是收成績表的時間，我竟然得分奇低，這是不可能的！因為這課程是老師的策略，小弟在官場上的長處是策略，在哈佛商學院讀的也是策略，令我在一盤業務上致富也是策略，我卻偏偏「肥佬」了。我沒有上訴，欣然接受這事實，是因為我真的不及格，我之所以不及格，不是在策略運用上的學術條件不足，而是在人格上我不能過關，因為我不懂得尊重老師。
用這次相對較「瘀」的分享，我想帶出的一個信息，就是在多無能和沒用的人身上，我們也可以學習。無論那是老師、老師或上司，都也不能忘記尊重別人，要藉?他的無能警惕自己。尊重就是尊重他的位置及職權，若只擺起一副對抗格，更讓他看出你不合作，到了最後，吃虧的永遠是自己。
後記：那位老師，已經離開學校了。

摘自 2009-09-02 都市日報

http://www.metrohk.com.hk/index.php

我沒有數據支持大多老師只想做好一份工，也不知道有多少「廢柴」老師被大專教導我們「應該如何如何教書」的導師們「毒害」，認為「在課堂三個小時之內，實質只有不足二十分鐘授課時間，授課的內容卻是空洞無物，只在重複影帶及學生演示的內容。」才是最好的教學「新傳統」。我只是知道，在反省「試想想你們的兒女由你們自己來教導，你對教育的標準是否會有不同？」的前提是：可否給我多一點時間在家中切實教導教導自己的兒女，不當缺席父母？無論如何，同工們，我們要沉著應戰。

2009-09-05 六十多歲的家父致電告之，他開了 Email。我把有關的東西 send 給他。在暑期，正當我家在迪士尼遊玩，家父致電，問我一些有關 MS EXCEL 的問題，是我不懂回答的。2009-08-19，家父母的 EXCEL 測驗剛過；在茶樓，家父問：如何在 EXCEL 輸入兩個日期，可以得出兩個日期間相差多少日子。我再一次答不上。對於學習，年齡不一定是問題，問題是心態。（父母為教養我們三兄妹，加上當年的社會環境，根本沒有多大機會接受太多的學校教育。他們不過是這些日子接觸電腦操作。）我希望繼續學習數學，更希望以家父為榜樣。不過，有很多東西又不能勉強。舊同學的兒子未夠一歲便可以由 1 數到 100，親友的兒子兩歲便懂乘法（起碼是 2 的乘法），但我教兒子 2,4,6,8 時，也感到頗為困難。太太說：不用急。同事送兒女上什麼什麼班，我沒有；但仍然為我有一名快樂無憂的四歲兒子感恩，更為他有名含辛茹苦教養他的偉大母親 hip hip hurray！

During the first NSS mathematics lesson in F.4D, I gave my students a piece of worksheet for practicing simple algebraic computation. (Well, I could collect money during the time when they were doing classwork)

Not bad, right? some students had done PRE-LESSON PREPARATION already, not need to USE teaching schedule to force them to do so..hopefully…

1.
校內的數學科會議，談到 extended reading/learning，我隨便舉例，讓同事略略看片：

但我只輕鬆帶過，大家用懷疑的眼光問：「怎會可能？」嗯，我也不知道，早前因為想找有關 tensor 的東西，翻一翻幾年前買下的數學書：

“Introduction to Topological Manifolds” by John M. Lee

或許可以作為課外閱讀吧：

http://johnng.inscyber.net/math-reading/manifold-04.jpg
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2.
在中五數學科級會，談備課堂。同事建議以「軌跡」作為材料，另一名同事提出一個經典軌跡問題：

A, B, C, D start moving at four vertices of a square in a way that A moves toward B, B moves towards C, C moves toward D and D moves toward A always at uniform speed. Determine the locus of A.

給中五的同學做，似乎難了一點，因為其中一個解法是要運用微分方程：

參考上圖。

設 處於 ()，則 處於 ()。

求 的軌跡。

由題目設定，因 每刻向 走，故此，在 點處的切線必經 點，即

及

代 ，得

解之，得：

由條件 ，得

同學，試用繪圖軟件把上述軌跡畫出來。

新高中數學教科書出現了

這個命題。

接著是一些例題：

暗暗地在 teaching note 出現了以下句子：

but

時而可以，時而不可；同學，你感到有點問題嗎？

我想說

不是被定義為 。

是一個確定的複數，在阿根平面所謂 (0,1) 這個位置，滿足 這個等式。

而 其實是 的解，

的解，除了 ，還有 （再沒有其他，why？）

以集合符號表之曰

{ , }

以集合的觀點，無論 是正數或非正數，皆有

比如

是什麼？

是兩個集合相乘。

即 {} {}。產生出一個新的集，元素分別由兩個集合取出的元素相乘而得。

亦即 {} = {1 , -1}

另外

{1 , -1} 因為 代表著 的解，即 {1 , -1}。

換言之，

另外， 不是等於 ，而是

= {} {} = {}

詳情可參考濟濟一堂的舊文
http://www.hkedcity.net/ihouse_tools/forum/read.phtml?forum_id=27877&current_page=&i=1217334&t=1217334

老題：利用面值 $10，$20 及 $50 紙幣若干張，要拼出 $100，問有多少組合方式？

可以拿 2 張 $50 紙幣，這是一種組合；
可以拿 3 張 $10，1 張 $20 及 1 張 $50，這是另一種組合；
……

那麼，共有多少種可能的組合？

這篇為承接昨天的發帖而寫的例。是舊技巧，高手見諒。

對 $10 紙幣，我們考慮冪級數

我們觀察 的指數，便可對應 $10 紙幣的數目，即

代表 2 張 $10 紙幣；
代表 3 張 $10 紙幣；
……

類似地，

對 $20 及 $50 紙幣，我們分別考慮冪級數

把上面提及的三個級數相乘，得

– - – - – - (*)

同學，想像（是，想像而已）把上式拆開（或曰「爆開」expand），每項皆由三個括弧，分別抽出一項相乘而得。比如，

第一個括弧抽出 ；
第二個括弧抽出 ；
第三個括弧抽出 ；

相乘之，得

– - – - – - (**)

看看當中的意義：

第一個括弧抽出 ，相當於拿出 3 張 $10 紙幣；
第二個括弧抽出 ，相當於拿出 1 張 $20 紙幣；
第三個括弧抽出 ，相當於拿出 1 張 $50 紙幣；

總面值是 3*$10 + 1*$20 + 1*$50 = $100；而 100，正是 (**) 中 的指數。

這樣，(**) 代表著一種拼出 $100 的組合方式（即 3 張 $10，1 張 $20 及 1 張 $50）。

而 (**) 不過是 (*) 拆開後的某一項。

即 (*) 拆出一項 ，代表著一種拼出 $100 的組合方式。

那麼，若 (*) 可以拆出 項 ，即代表著 種拼出 $100 的組合方式。

但若 (*) 可以拆出 項 ，把它們加起來，得 。

也就是說，(*) 拆開後， 的係數就是 ，亦即是說

「有多少種拼出 $100 的組合方式，就等於 的係數」。

但如何求 (*) 中 的係數？昨天也談過。

– - – - – - (*)

可變為

之後就是拆部份分式，但直接考慮上式的部份分式，太艱鉅，我們考慮簡單一點的情況：

不難得到

運用 sum of G.S.，得知

於是

那麼，

故此，(*) 變成

不難尋求上式中， 的係數，即

即是說有 10 種拼出 $100 的組合方式。

驗證一下：

數一數，共 10 個組合方式。

同學你或在取笑這個方法：「就咁數」仲快。不錯，這個特例是，但上述的方法是值得留意的：因為它是有系統的方法。

It is extremely easy to set up questions on number pattern, like

Finally, students, you may find the method of using generating function is a bit clumsy, especially for this particular question. You may have smarter methods to solve for . However, all I want is to introduce the method of using generating function and it is known that some questions can ONLY be solved by using generating function. Hope to share more next, bye bye!

因看今天明報的小文：

再匆匆找昨天的明報，希望拜讀蘇老師的文章：《給樂道中學同學的一封信》

原來他已把文章上載，看一看吧：
http://www.oscar.idv.hk/blessing/farewell.pdf

這是蘇 sir 的個人網頁連結：
http://www.oscar.idv.hk

在顏冊聞說樂道中學上學年有 19 名教師離職，蘇 sir 是其中一位。

蘇 sir 把數學文章上載，得到獎項和認同，他也是輔導老師，工作也備受肯定。關於數學教育的探究，在下也有點興趣，只是我的心力有限，希望來年做好一點。想分享更多感受，遲一點啦。

上回介紹了其中一類等闊曲線：curvilinear polygon（曲線多邊形）的構作方法。依循該作法而得的曲線多邊形，其角（corner）的數目必為奇數，為何？以下圖顯示的七角曲線多邊形為例：

可以看到，

「每一個角對面對應著一個圓弧；同樣，每一個圓弧對面也對應著一個角」 – - – - – - (*)

任意由一個角出發，比方說，由角 A 出發，逆時針地，一個角一個角算數（即上圖中的 B,C,…），到最接近角 A 對面圓弧的角（即 D）。假如共數算了 n 個角（此例，n = 3），那麼，數算過程經過的圓弧（即 AB, BC 和 CD）也有 n 條。如果由角 A 出發，順時針地，一個角一個角算數，也必可數算出 n 個角（此例，順時針數算出的角順序如下：G, F, E），為何？因為逆時針地數算了 n 條圓弧，由 (*)，n 條圓弧對面便對應著 n 個角，亦即順時針地必可數算出 n 個角。於是，包括角 A 在內，曲線多邊形共有 2n + 1 個角，奇數也。

只要把一個曲線多邊形略略加工，我們可以得出另一類等闊曲線。以五角曲線多邊形為例：

以各角為圓心，以相同半徑（比方說 ）繪出（五條）圓弧：

延長對角線（注：對角線長度為 ），使它們與剛畫的圓弧相交，見下：

現在，以原先曲線多邊形的角為圓心，半徑為 繪畫圓弧，把對面的交點結連，見下：

把作圖線移走，得出「靚仔」的完成圖：

注意，這個等闊曲線不似之前的曲線多邊形，它是沒有「尖角」，看起來更像輪胎吧。

[SBA] 同學，試由一個七角曲線多邊形開始，依循上法，構作一個新的等闊曲線。

上述只介紹了一類由圓弧組成的等闊曲線，聞說有一類等闊曲線，它沒有一個部分是圓弧（高手見諒，我到此刻也未能舉例）。

等闊曲線有不少有趣的幾何特性，比如 Barbier’s Theorem（見 wikipedia 的介紹），就是說，對於所有等闊曲線，無論什麼形狀也好，如果闊度相同（比如都是 ），則它們的周界也必相同。

Barbier’s Theorem 的嚴格證明，相信已超越中學數學範圍；但中學的同學也可嘗試以特例：曲線多邊形，來驗證一下。

[SBA]
1. 設以下五角等闊曲線多邊形的闊為 （即對角線長度為 ），

證明其周界為 。

2. 設以下七角等闊曲線多邊形的闊為 ，求其周界。

3. 對於闊度為 的等闊曲線多邊形，試證明它們的周界皆為 。

等闊曲線尚有很多有趣特性，希望有機會再談。

A student, woody, had forwarded the following game to me:

http://www.kongregate.com/games/Denial_Designs/geosketch

By putting three different parameters, we may create fun geometric curves easily, just show you some:

20,-8,9

40,-20,13

30,20,100

Try to create your own, have fun! Well, it may be a kind of learning and teaching aids in the topic of LOCUS, let’s try it!

某會議中，因某說法被質疑，某某提議在互聯網上查證一下，會議主持人立即道：「互聯網上的資料不可信。」說得那麼堅決。

要推翻此等全稱命題，只要舉出一個反例便可。

不過，若果這是關乎「信心」的話，無論資料是真或假，有些人總要視之為「假」，別人也沒有辦法。

「上網時間多寡」與「對網上資訊的信任度」或許存在高於 0.5 的相關係數（亂吹的，有興趣者可繼續研究）。

知道我的學生和幾名網友曾看看這個網誌，心中感謝；但始終本人不過是中學授課員，而中學授課員經常被批評如下：

學者，站於知識和強大資源高地批評中學授課員無知；
補習社授課員，站於市場高地批評中學授課員無料到；
……

所以本人其實寧願做 CD-ROM。只因這網誌已經建立，不想荒廢，唯有在建網差不多兩周年的今天，以以下的 movie 儆戒自己：Think Before You Post

以前看小學 ETV，其中有討論：為何車輪的形狀要是圓形？因為圓形車輪可使車輛行駛時平穩，為說明這事，ETV 中虛擬（比方說）三角形車輪的情況，結果車子行駛時上下嚴重搖晃，非常不平穩云云。所謂平穩，乃指在行車時車身和平地距離保持一致，即 常數（見下圖）。

諸君莫見笑，車，豈會如此簡單？平穩與否，起碼和懸掛系統有關。抱歉，我講數而已。

車輪圍繞固定車軸轉動，那麼要保持（所謂的）平穩，車輪必為圓形；但若沒有車軸，純粹好像原始人把重物放置在一排圓木上推動般，那麼除了圓形，還有沒有別的形狀，可以達至「 常數」的效果？

明顯，三角形（就算是等邊的）不可。

[SBA]
Q.1 設以等邊三角形為車輪，求 。（當然，請自行定義比如尺寸、角速和起始情況 等等。）

那麼什麼形狀（除了圓形）可以呢？存在嗎？

存在，且有無限多。讓我們探究（explore）一下。

同學，先告訴你一個最簡單的例子：Reuleaux 三角形

其構作方法一目了然，見：

（圖片來源：mathworld）

想像一下虛擬情況：當一排全等的 Reuleaux 三角形在轉動，車底和平地之距離保持不變。

也看看下面真實的情況：留意後輪是 Reuleaux 三角形

（詳情參考文末的博客文章）

照片中還有一個類似五角形的車輪（果然係輪胎能！）。

好了，講數。以下談的是平面上的東西，不加注明。

為方便討論，我們先介紹支撑線（supporting line）。

設直線 和曲線 起碼有一個公共點 ，且整條 完全在 的某一邊，我們稱 為 的一條支撑線，（注：這是極不嚴謹的定義，學者見諒）見下：

不難想像，閉曲線必有支撑線；且對任何方向，必僅有一對支撑線：

對車子來說，車底和平地便是所謂車輪的一對支撑線。回想原初問題：使行車時滿足「 = 常數」的形狀（閉曲線）稱為「等闊曲線」。等闊曲線也就是對任何方向的一對支撑線之距離也為常數。

Reuleaux 三角形是等闊曲線，繪上一對支撑線：

再加一對與之垂直的支撑線：

形成了一個（邊長為 的）正方形。我們可以想像：當 Reuleaux 三角形在正方形中轉動時，曲線和正方形邊任何時刻也有公共點。如何想像？嗯，比如我們固定了一個 Reuleaux 三角形，在任何方向，我們總能以支撑線繪出同樣邊長的正方形，那麼，我們想像正方形在轉動，便可「逆向地」想像到 Reuleaux 三角形在正方形內轉動的情況，姑且以「山不轉路轉，路不轉人轉」的道理牽強類比。

好了，我們定義了等闊曲線，也知道它們確實存在（注：可以定義一些數學東西，但不一定保證它們存在），我們便可以（比較有意義地）研究它們的共性。

首先，如何繪畫等闊曲線？這裡只介紹某類的等闊曲線：曲線多邊形（curvilinear polygon）（對不起，不知是否這樣翻譯）

除了 Reuleaux 三角形是曲線多邊形外，以下顯示了另一個：七角的曲線多邊形（curvilinear polygon with 7 corners）：

參上圖，A,B,C,…,G 是曲線多邊形的角，各圓弧是以「對面」的角為圓心，以相同半徑（即 ）繪出，即 AD = DG = GC = CF = FB = BE = EA = 。同學想一想，上圖是怎樣構作出來？

先隨意定點 A，以 A 為圓心， 為半徑，畫弧 DE，見下

自此，以下各步驟畫的圓弧，半徑皆為 ；

現在，分別以 D 和 E 為圓心，畫弧 AG 及 AB，見下

接著，以 B 為圓心，畫弧 EF，見下

隨即，分別以 G 和 F 為圓心，分別繪兩弧交於 C，見下

最後，以 C 為圓心，畫弧 FG；以 G 為圓心，畫弧 CD；並以 F 為圓心，畫弧 BC，見下：

[SBA]
Q.2 試繪畫 5 角，9 角曲線多邊形。
Q.3 可否畫出 4 角曲線多邊形？為何？

Q.3 的答案是否定的。用上法繪畫的曲線多邊形，其角的數目必為奇數。為何？留待下次和其他關於等闊曲線的特性一起探究了。

延伸閱讀：
《不要以為三角形和五邊形就不是輪子》（博客文章）
http://sr.ju690.com/meme/item/29031

(明報)2009年8月6日 星期四 05:05

前言　張銳輝老師

今年4月，與中六級通識教育科的同學到北京考察交流，我們走訪了「公盟」，許志永博士與我們一行30名同學談了個多兩個小時。

學生知道了維權律師們正為「結石寶寶」、「黑磚」的受害者、川震豆腐渣工程遇難者家人、不少上訪者等等，進行法律訴訟；也知道公盟也教育社區市民法律知識從而參與社區內的管理工作。

公盟裏除了律師學者，更多的是比學生們大不了多少的大學生和年輕人。他們所做的，其實不過是個志願機構或是壓力團體的角色，可悲的是，在內地這卻成為了走鋼線、打擦邊球的活動。然而傾談間，許博士仍有信心地告訴同學，維權活動和民間社會未來的活動空間是樂觀的。想不到數月後，繼公盟被「抄家」之後許博士更身陷囹圄，於是，同學們的憤慨是必然的了。

請用法理來說服我──為許志永老師給溫家寶總理的公開信　鄭詠欣（香港中七學生）

溫總理：

斗膽用這個標題，因為我現在的心境，與龍應台教授執筆寫《請用文明來說服我──給胡錦濤先生的公開信》時有類似的感受；龍教授的文章，溫總理想必已經讀過了。我雖然只是一個高中學生，對國事的了解、對文字的掌控，當然不比龍教授，但仍希望能透過自己手上微弱的筆，表達對政府處理「公盟」及許志永先生的手法的不滿。

溫總理，提起你的名字時，人們都會說你是平民總理，辦事以民為本，站在人民利益那方。有些小朋友還會被你的親民作風所吸引，叫你一聲溫爺爺，視你為模仿的對象。

但是當我一想起你任內被捕、被禁、被整頓的媒體和異見人士，如劉曉波先生、程翔先生、《冰點》雜誌、《南方都市報》等等時，我卻又不得不質疑你作為純真善良小朋友學習對象的資格！難道我們國家的教育，是要教小朋友與其他人意見不合時就要對付對方，而非講求中國人千百年來堅持的仁義觀？

近日被政府盯中的是許志永先生和他所領導的「公盟」。公盟是由一群關注中國發展的律師及學者所組成的民間組織，他們透過學術研究就國家的法制改革提出一些意見和建議，推動國家實現民主法治。他們另一項為國人所熟知的工作，是為一些弱勢群眾如上訪者、被徵地者、毒奶粉案的受害者等等提供法律援助，幫助他們透過現有的司法制度去取得公義。單從近日稅局搜查後曾獲得幫助的民眾紛紛勇敢地到公盟辦事處聲援一事，任誰也看到「公盟」是站在人民那邊的！為何溫總理你所領導的政府仍要做出這件不合民情的事呢？

據我所知，「公盟」的工作是非牟利的，他們曾經想登記為民辦非企業單位，但遭到當局拒絕，被迫申請為有限公司。在國際社會，這種團體並不需交稅，而其捐獻者更能獲得免稅優惠。但由於公盟的成員是守法的律師，明知制度的不合理仍舊依規定納稅。在被稅局指控漏報稅項時，亦坦誠地承認錯誤。為何溫總理你所領導的政府仍要向他們徵收最高的罰款，並過分地在公盟辦事處以「搜證」為名而檢走所有維權資料呢？更令人感到無法理解的是，許志永先生突然在召開第二輪聽證會之前，遭公安與便衣從家中帶走，並扣留在看守所中，不能與家人及律師聯絡，同時更要公盟關閉其網頁，這實在是對公民基本權利的無理剝奪。

溫總理，你經常說要「依法執政」、「依法治國」，我想請問你一下，執法機關是根據哪一條法例去帶走許先生的？我對中國法律的認識十分膚淺，但仍知道憲法是國家的根本大法，具有最高的法律效力。在我國憲法的第35條列明，中華人民共和國公民有言論、結社的自由，第37條更清楚指出中華人民共和國公民的人身自由不受侵犯，禁止非法拘禁和以其他方法非法剝奪或者限制公民的人身自由。就我對上述條文的理解，我認為許先生現在應該可以自由地留在家或身處辦公室辦事的。

今年4月，我和其他同學到北京考察交流時，有幸在未被搜查的公盟辦事處與許先生談論中國政治。看見他願意無私地為中國在法治民主領域上努力，並對於中國的未來充滿了希望，令我深受感動。猶記得考察時，我們曾到過永定門內國務院信訪辦的門前，親眼目睹不少惡形惡相的截訪者和情可憐的上訪者。因此，在傾談中有同學便問了許先生一句「為何中央政府會容忍那些截訪者存在呢？」你知道許先生怎樣答嗎？他說上訪人數遠遠超過信訪部門所能承受，所以中央政府亦唯有容許截訪者存在，以免信訪部門的工作量極嚴重超標。在訪問中他多次提醒我們中國政府已很努力，要對政府有多點耐性。

許志永先生就是這樣的一個人！他充滿理想但不狂妄，他看到很遠的目標仍堅持穩重地一步一步走下去，他不怕只有一點一點微弱的力量在慢慢地付出，堅信中國終有一天能實現法治民主與自由。

溫總理，我真的十分不解為何你們的心如此的狠。為何要用這方法去對付這樣一個體諒政府、理性論政的學者呢？他所做的事只是在現有的遊戲規則下安分守己地為弱者去爭取憲法賦予的權利。他做的事情無一不是愛國為民！為何中央連這樣的一個人物也不能放過呢？為何不容許他和公盟透過公開公正的司法程序去處理這事呢？
溫總理，看你為四川地震災後工作努力、關心礦工工作環境之時，我總想叫你一聲「溫爺爺」的。但當看這麼多不合法不合理的事情在中國發生，我實在叫不出呀！但願有一天這樣的事情能夠圓滿解決並不再發生，我相信那一天海內外同胞才會由衷地振臂一呼「中國萬歲」的！

祝
身體健康

香港中七學生
鄭詠欣 敬上

資料來源
http://hk.news.yahoo.com/article/090805/4/dk41.html

《幾何與數理邏輯》湯璪真文集

記載了一篇介紹開任意次方的方法：

8

湯璪真先生（1898 ~ 1951）是中國著名的前輩數學家，有關湯先生的生平可參考：

http://www.hudong.com/wiki/%E6%B1%A4%E7%92%AA%E7%9C%9F

書中還有不少有趣文章，先看看目錄吧：

雖然上次舊生提出：「數學壟斷了對無限的解釋！」但不得不承認，「無限」確是數學上經常要面對的課題，特別體現在數學分析（mathematical analysis）中，我們確實要透過數學界定無限。

（標準的）實數域 中並不存在無限小，現代非標準分析創始人 A. Robinson 等利用超冪概念構作有序的非標準實數域，允許無窮小直接參加運算。

要構作非標準實數域，我們由過程量開始。

設階梯函數

，（）

設

{}

這 稱為過程量。

特別地，當 趨零（或趨無窮），稱 為趨零過程量（或趨無窮過程量）。當 為常量，稱 為常過程量，可記為 。

不難定義過程量的四則運算：

{}，
{}，

至於除法，只要定義什麼是 即可。

對非零 ，定義

則 。

另一個重要概念是超濾集。

命 = {}

數列 {} 不過是冪集 的元素，故 的任一元素皆可確定一個過程量，理由不過是以下的一一對應關係：

{}

現定義濾集：

設 上某子集類 具以下三個性質：

若 且 ，則

那麼，我們稱 為 上的一個濾集。

[SBA]
1. 證明 { 是有限集} 是濾集。
2. 試構作另一個在 上的濾集。

現在構作超濾集，徐教授認為這是一個難點，所以書中把這個構作過程重述一次。

若濾集 具以下性質：

對每一子集 ，則 或 ，且兩者必居其一，稱 為超濾集。

這樣定義的所謂超濾集，存在嗎？

我們有以下定理：至少存在一個 上的超濾集，以 為子集。

構造

設 { 上的濾集 }

這 就是 上所有包含 的濾集之集類（class）。

因 “” 為偏序關係，且每一個上升鏈（按 “” 逐步增大的濾集序列）都有上界，此上界為鏈中諸濾集的聯集，由 Zorn’s Lemma，知 中至少存在一個極大元 。

無疑， 是濾集。現在驗證 是超濾集。

驗證

利用反證法，設 不是超濾集，則存在非空子集 （） 滿足：

以及 – - – - – - – - – - – - (*)

欲由此推出矛盾（ 非極大元，或 非濾集），我們考慮 。

在條件 (*) 下，必有以下互斥情況：

(a) ；
(b) 。

如果出現情況 (a)，我們可擴大 成為更大濾集 ：

{ 的子集 }

由 ，易知 滿足 及 。

今設 ，則
，即
滿足
（因 ）

故 是一個包含 與一切 的濾集。

那麼 。

又因 ，故 ，這有違 為極大元之性質。

如果出現情況 (b)，在條件 (*) 下，情況 (b) 可轉化成

(b)’

何解？觀察條件 (*)， 和 「地位」上無異，不妨取 （則 ）；再把情況 (b) 中的 取代為 ，即情況 (b) 可改寫如下：

即是情況 (b)’。

於是，由 (b) 及 (b)’，知

及

故

，這又有違濾集性質（i.e. ）。

結論， 是超濾集。

用了標點符號多年，此刻才知存在避諱號、分列號和重字號：

http://www.chiculture.net/0609/html/b01/0609b01.html

推介主網：中國文化研究院（http://hk.chiculture.net/）
同學，有時間看看，相信必有所獲。

在《論無限 – 無限的數學與哲學》一書的前言中，著者徐利治教授贊同數學家吳大任先生的意見：

「無窮」適用於離散數量；
「無限」則可用於離散或連續數量。

故我們會說：

「自然數有無窮多。」
「實數軸是無限長。」

第一章介紹了兩種數學哲學上的無限觀：

潛無限
實無限

以自然數列（sequence of natural numbers）為例，

基於「潛無限」的觀點，自然數列可以不斷延伸，卻不可能「完成」的；
基於「實無限」的觀點，自然數列是個所謂「完成了的整體」，包含了無限多個自然數。

「潛無限」的觀點下的自然數列模型記為：

:{1 , 2 , 3 , …)

「實無限」的觀點下的自然數列模型記為：

:{1 , 2 , 3 , …}

不同的無限觀可引申不同的數學結論，書中列舉數例，介紹一個來自 Brouwer 的例子。

我們知道圓周率 是無窮小數，設其小數展式為

（即 etc）

若展式中出現 100 個連續的 0，則稱這串 0 為「百 0 位」。

把諸「百 0 位」中的第一個「百 0 位」之第一位數字 0 稱之為「首數」。

今定義 如下：

情況 1. 若 的小數展式中沒有「百 0 位」或出現無限多「百 0 位」，則定義 ；

情況 2. 若 的小數展式中出現奇數個「百 0 位」，「首數」為 ，則定義 ；

情況 3. 若 的小數展式中出現偶數個「百 0 位」，「首數」為 ，則定義 。

好了，我們看看 這個數。

我們要問，這個 滿足三分律嗎？（即 ““，”” 及 “” 這三個關係必有且僅有一個為真。）

基於「潛無限」的觀點，

的小數展式可以不斷延伸，卻永不能完成，於是上述三種情況也有可能，無法判斷，亦即無法確定 ，更不能談它是否滿足三分律；

基於「實無限」的觀點，

的小數展式是一個完成了的實無限展式，確知前述的三個情況必有一個出現，亦即 必然滿足三分律。

「潛無限」和「實無限」兩個「對立」的觀點，某程度來看，原來也可「統一」的。

＂徐教授在 1980 年發表了題為【略論近代數學流派的無限觀和方法論】一文中，以自然數列無限性為例，述及「雙相無限」（double-phrased infinity）的概念，即謂無限過程乃是潛無限和實無限的對立統一體…數學上每種無限過程，本質上都是雙相無限…＂（見 P.56）

我沒有認真學習過有關這個斷言的知識，穿鑿附會地抒發感受：類似物理上，光的「波粒二性」嗎？

哲學部份交待到這裡，下次談有趣的數學部分。

從森棚教官的博客：

http://www.wretch.cc/blog/giawgwan/7205340

得知今年（2009 年）的 IMO 第六題是超難的題目，數學家陶哲軒也在其博客把它化作＂mini-polymath project＂，寫了相關的三個 post：

http://terrytao.wordpress.com/2009/07/20/imo-2009-q6-as-a-mini-polymath-project/

佩服取滿分的中學生，更佩服出題者。

27.07.2009 15:42

【商台互動中國組】紀錄個人生活點滴、分享個人思想享受、寫網誌成為流行趨勢。不過喜歡寫網誌的朋友又是否知道，網誌除了可以作為情感宣洩及分享平台外，它還可以給你帶來月均三萬美元的收入？誰說不能靠筆桿子過活？且看這位加籍華人周嘉良分享賺錢心得。

John Chow，中文名字周嘉良，七歲全家移民加拿大，現為職業網誌寫手，他還是利用網誌賺錢寫手的佼佼者，月均三萬美元收入確實令人羡慕，周嘉良日前接受內地傳媒採訪時道出他的賺錢經：

1、 公布寫網誌的收入增加點擊率：網路上點擊率就是金錢，好好利用點擊率，可以使網誌收入提升三至四倍。

2、 集中精力寫好網誌，廣告商自然紛杳而至：作為網誌寫手，只要將廣告事宜交給廣告銷售軟件處理便可，不要分神致網誌內容質量下降。

3、 凡事貴在堅持：網誌必須持續更新，保持連貫性。

4、 對新技術要積極利用：一旦有新技術出現，就必需了解如何將其運用到網誌上。

5、 網誌需堅持同一個主題：間中增加一些生活雜記，增加網誌的趣味和可閱性。

最後周嘉良還表示，有關中國內容的網誌非常受歡迎，他還計畫為上海世博寫網誌！

Source:
http://www.881903.com/page/zh-tw/newsdetail.aspx?source=tbar&itemid=143404

…John Chow 夢蝶…我去睡了….

Have a glance at the hyperlink, the following handout should be some ‘training’ materials for mathematics competition (secondary school level) in Hong Kong, have a look if you are interested in “Dedekind sum”:

http://gifted.hkedcity.net/Gifted/Download/notes/0607math2phase/advanced/06-11-4-11-18_dedekind%20sums.pdf

Something about number theorist: some days ago, I saw Koopa’s ad. on a bus, then I’d tried to surf in net and found the following:

http://www.kingsglory.edu.hk/kge/teacher/kp.asp

After watching the promo, my wife said to me that if she were a student, she would take the course!

http://research.microsoft.com/apps/tools/tuva/index.html

It is quite a new experience of watching video like this! Enjoy.

非數學類，不喜勿入。

上星期五是本校 2008 ~ 2009 學年的散學禮。

結束，只代表另一階段的到臨。人類豬型流感沒有多大影響我校，一切暑期活動如常。

副校在本學年最後一次教識員會說：「暑假是最忙的假期。」這幾年，據聞他整個所謂暑假全程（或情）留在學校工作（好像只有兩天真正離開校園）。相信這種現象會持續並擴散，更多教師會學效學效。

幾年前，本校在上海的「直系」中學派員到校交流（非常有趣，我竟要用「比我的 GAG 還爛的」普通話跟兩名數理教師「交流」。呢單o野真係爛 GAG 中o既燦爛 GAG…），其中一名與會人士，看到壁報張貼了把密麻麻的暑期活動（工作），他感到非常驚訝。還好，都是一些「正常」的工作，同事告之，某些中學的授課員，每星期都要返大陸招收國內同胞，以維持足夠收生。嗯，很多事情習以為常（或習非成是），就不會有什麼痛苦。

最後一天的集會，幾名教職員獲頒長期服務獎。我校的助理校長兼英文科主任 Ms Jannie Tsang，服務學校長達三十七年。她為了完成博士學位，決定榮休，離開這個工作了三分之一世紀的環境。我和眾學生，站在烈日當空的操場下，聆聽曾助理校長的分享。她強忍眼淚地說，身旁的同事流著眼淚地聽。她是我的恩人，也是我敬佩的對象。在分享中，她勤勉我們當教師的：為了下一代，要努力。

是，授課員努力是為學生，而不是為文件，為指標。

同一場合，在下也取了「老人牌」。程 sir 介紹我，他說可以用四個字形容我：「能歌善舞」（這個肯定又是 GAG 來）也說了我的口頭禪：「nothing special」其實我已很久沒有說：以前，我感到數學很易，＂nothing special＂經常掛咀邊，但現在，我感到數學愈來愈難了。

在一次會議中，副校分享了教育局的文件，當中提議老師：「原來」可以利用網上教學。只可惜本網誌不能計算在教學網誌之列，不能計算 CPD hours（這個又是否教育界的「八萬五」？）。

本年，本校共有 13 名教職員離開（包括榮休和辭退的）。

來年，本校面對「三面紅旗」：外評、五十五周年和新高中。

在暑假的恆常活動外（隨便數數：中一註冊／中一迎新／分班試／各學術和興趣的暑期班／中一適應課程／義工服務／補考／中五放榜學生講座／中五放榜家長講座／中五燒烤分享會／編新時間表／中六收生／重讀生／中六領袖訓練／中一開學前的迎新活動…幸好有豬流感，沒有遊學團和返大陸做義工等活動），還要「應付」「三面紅旗」「帶動」的工作，我自己除了「弄兒為樂」，還有一些校外的工作（有時一星期要開會兩次）。所以我常常說：暑假是假，不是真。

在影片的描述中稱，她是數學天才：

當然，數學人最感興趣的不是圖片，而是她寫的數學論文，見下：
http://www.danicamckellar.com/math/percolation.pdf

…old news is so exciting…

A.

小學一年級 IQ 題：如何公平地把 4 個橙公平分給 7 個小朋友？

答曰：哼，用搾汁機啦！（有 D 似「愛『夫』堅」廣告 …）

B.

開心 share 一個童年片段，是公平分配的反面教材，不知我的弟弟記得否？

話說 N 年前某天，某某送了一粒瑞士糖給我和弟弟，注意，係一粒（點解唔送多粒？）。因為粒糖好硬，刀不能分；於是我告訴弟弟：「等我咬一半畀你啦。」弟弟一直站在我旁，等呀等…等了很久…我還沒有分一半給他，出事！因為我一路咬下咬下，唔覺唔覺冇o左件事，成粒食曬！之後點？忘記了。

我欠弟弟的，又豈止粒糖？

C.

又話說 M 年前看過一齣記錄片，其中一幕討論：如何把蛋糕公平分配給兩個小孩。

如果由大人來分給他們，他們總會感到別的小孩的一份大於自己的，又要哭鬧一番。

片中提議一個方法：

由小孩 A 切蛋糕，告訴他：要公平地分成兩份呀，還有，分好後，是小孩 B 先取呀。

我沒有做過上述「實驗」，只是原則上似乎是 work 的。

[SBA] 又，若三人（或以上）要平分蛋糕，又如何？

D.

上述的例是二人分配，那麼多人分配又如何？現虛擬一例。

永遠可愛的正版小甜甜，已脫離塵世，其名下公司隨即人去樓空，資產全被瓜分，只留下三樣公司極品不動產「遺愛人間」：

極品 A：小甜甜絕版寫真集
極品 B：白馬王子安東尼珍藏風笛
極品 C：小甜甜媽媽的首飾盒

假設當初有四名投資人，以相同金額集資經營該公司。現在，如何把三樣極品公平地分給四人，使他們也滿意？

這裡有一個方法：大概是對各項不動產賦值，價高者得，再攤分差價。

即是如何？嗯，舉例。設四名投資者估價如下：

大哨
A: HK$1,500
B: HK$2,500
C: HK$1,200

大哨通
A: HK$1,000
B: HK$1,200
C: HK$1,500

福仔
A: HK$1,500
B: HK$1,000
C: HK$1,800

細丸爺爺
A: HK$2,800
B: HK$1,800
C: HK$1,600

畫表分析一下。

以「價高者得」的原則，易知各項極品不動產花落誰家（見表中項目 a），且以最高「投標價」作為該極品之價值（見項目 b）。

項目 c 是各投資者（按自己的標準）為極品定出的總估價；

項目 d 則是所謂投資者認為可取回的平均金額（即項目 c 的數據除以 4），什麼意思？

比方說，大哨認為，極品總值是 HK$5,200，那麼，當想像把所有極品化成等價的金錢（情況好像把所有橙「搾汁」，再平均分給若干小朋友），四名投資者，應該得到

HK$5,200 / 4 = HK$1,300

項目 e 是餘額（即項目 b 減去項目 d 的數據），什麼是餘額？

又拿大哨為例，他認為取回 HK$1,300 是公平的分配，但現在他應該「喜出望外」，因為他投得價值為 HK$2,500 的風笛，所以，在現階段，他多得了

HK$2,500 – HK$1,300 = HK$1,200

這就是所謂餘額。

表中所示，大哨、福仔和細丸爺爺也投得極品，且所得價值也超過他們的期望（即餘額為正數），單單是大哨通「分不到任何東西」，餘額是負數！為了彌補他的「損失」，其餘三名投資者也拿出若干金錢，集資給大哨通。這個合理，都因該三人都是有正餘額的。問題是，每人應該拿出多少？

把各人的餘額加起來，得到項目 f，名之曰「附加分享值」，取其平均數，得項目 g（即項目 g 的數據是項目 f 的除以 4），「平均附加分享值」HK$562.5。這是什麼？

就是說，最後結算時，每人得到的，都比預期的多 HK$562.5。此話何解？看下表：

考慮大哨的情況，他有餘額 HK$1,200，即他比預期多得 HK$1,200。若現在各人也要公平地，比他預期的多得 HK$562.5，那麼，大哨就要多付

HK$1,200 – HK$562.5 = HK$637.5

這就是項目 h 所示，各人額外支付的金額（即項目 e 減去項目 g 的數據）。

最後，項目 i 不過是各人得的（凈）總額（即項目 b 減去項目 h 的數據）。

雖然大哨通得不到極品，但也得到 HK$1,487.5，如眾投資者一樣，他的得益，比他自己原先認為的，多 HK$562.5。

公平清資。

鳴謝：YAHOO 圖片搜尋

More at
http://www.youtube.com/view_play_list?p=ED4CEC2CC684DDDD

初中時教解二次方程，我通常順便說一個無聊的例：

= ?

要求出「答案」，我們可設

等號左右兩邊取平方，則

故此

解出 或 （不合），亦即

當然，

的表達有點兒「唔清唔楚」，清楚一點的表達，比如是

即

中六修純數的同學知道，我們「計」極限時，要先證明極限存在，然後才進行上述「代 」 的計算。

同學會質疑：「明明已經計到極限出來（像低年級時做的），豈不就說明它存在嗎？為何還要先（比方說，用 monotonic sequence theorem 來）證明極限存在？」

其實所謂「計到」，不一定代表極限存在，舉個例：

即

如果我們跟隨低年級學的方法，設

取平方，

即

「計出」

不管哪一個值，總之取其中一個作極限，豈不是說極限存在嗎？

錯！{} 根本是不收斂的，且看

可見 {} 是發散的。此乃「計到，不一定存在」也。

同事在中二的數學考卷擬了一道題：把 表達成二進制的數字。

整數部分，同學易求，現在的關注點是

如何轉成二進數？這個也簡單，

對卷後，梁同學問我，那麼

如何轉成二進數？

這又是我這個授課員不能秒殺題。

同學，試探究一下：是否任何有理數都可轉成二進數？

對我來說，這仍是開放問題。高手見笑。

最無聊（trivial）的結果是

(a) 任何形如 的有理數必可轉成二進數。（其中 , 為正整數）

比如

由於 ，所以

是否只有形如 的有理數，才能轉成二進數？

不一定，大家看看以下的二進數：

學了等比數列和的同學，易知

這裡揭示了，我們可以運用循環小數來製作二進數。

比如

又例如

可以看到，上述兩例的答案，其分母都是形如 的。

如果分數 的分母 形如 ，是否一定能轉之為二進數？

讓我再給一個頗無聊的結果：

(b) 形如 （其中 　為非負整數， 為正整數） 必能轉成二進數。

這是因為

舉例

從上面兩例，我隨即想：

咦，這豈不是把 轉化為二進數？於是我猜想

(c) 形如 （其中 為正整數）的有理數必可轉為二進數

比如

不過有時有一些要進位的情況，要小心考慮。

循環小數已玩過，那麼無窮不循環的情況如何？比如

嗯，似乎不能有一概而論（就算是十進制時也不一定可以把它輕易變成某個無理數的 “closed form”），所以，都是停筆，有機會再想。

那麼： 請繼續看看。

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後記 (12:00 a.m.)

中二教科書用「除法」把十進整數化為二進數，至於分數的，我嘗試用「乘法」。

(分子分母同時乘 2 的冪，以致分子剛剛大於分母 7)

(看 又走了出來)
(又重覆出現，可歸納了)

好了，不用 WolframAlpha，徒手做

(分子分母同時乘 2 的冪，以致分子剛剛大於分母 5)


(分子分母同時乘 2 的冪，以致分子剛剛大於分母 5)


(分子分母同時乘 2 的冪，以致分子剛剛大於分母 5)
(嗯， 又出現了！)

存在了這個所謂算法，是否一定可以化十進分數為二進數小數？

有沒有較為簡潔的證明？仍在思考中。

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後後記

後記中的所謂算法太煩，我想了一個連小學生都應該懂的算法，去片：