拋物線的某特性

十一月初教圓錐曲線。一早已受公開試的指揮棒教導：這個題目不用放大多時間。以下是某堂的板書，同學也有印象嗎？

其中談及拋物線，我順便輕輕帶出：形狀為拋物線的凹面鏡（concave mirror）有幾何好處，就是把光源置於焦點（focus），光線會平行地反射出來的，故探射燈鏡面通常是拋物線旋轉面云云…見

平移與求導

和中七同學溫書，偶遇科主任擬的精采題目，同學也感巧妙。題中一小部分出現了一個「結果」，見下。

設

求多項式 （視 為常數）內 的係數及常數項。

這是機械運作，不值一顧，詳表如下：

Differentiation of parametric equations

It is extremely easy to set up questions about differentiation techniques (but good real life application questions are really rare, esp. at secondary school level), apart from tedious computation, when the differentiation involves parameter, students may have difficulties, like mistaking:

　（wrong！）
　（wrong！）

Here is a question in recent quiz, which involves parametric equations:

拼出 $100

老題：利用面值 $10，$20 及 $50 紙幣若干張，要拼出 $100，問有多少組合方式？

可以拿 2 張 $50 紙幣，這是一種組合；
可以拿 3 張 $10，1 張 $20 及 1 張 $50，這是另一種組合；
……

那麼，共有多少種可能的組合？

這篇為承接昨天的發帖

Finding general term by generating function

It is extremely easy to set up questions on number pattern, like

1, 3, 8, 19, 42, 89, ?

for more details, we may tabulate the question as:

the question is, when , what is the value of ?

My first reply to such kind of question is

“no need to do”

等闊曲線 2

上回介紹了其中一類等闊曲線：curvilinear polygon（曲線多邊形）的構作方法。依循該作法而得的曲線多邊形，其角（corner）的數目必為奇數，為何？以下圖顯示的七角曲線多邊形為例：

可以看到，

「每一個角對面對應著一個圓弧；同樣，每一個圓弧對面也對應著一個角」 – - – - – - (*)

任意由一個角出發，比方說，由角 A 出發，

等闊曲線 1

以前看小學 ETV，其中有討論：為何車輪的形狀要是圓形？因為圓形車輪可使車輛行駛時平穩，為說明這事，ETV 中虛擬（比方說）三角形車輪的情況，結果車子行駛時上下嚴重搖晃，非常不平穩云云。所謂平穩，乃指在行車時車身和平地距離保持一致，即 常數（見下圖）。

諸君莫見笑，車，豈會如此簡單？平穩與否，起碼和懸掛系統有關。抱歉，我講數而已。

車輪圍繞固定車軸轉動，那麼要保持（所謂的）平穩，車輪必為圓形；但若沒有車軸，純粹好像原始人把重物放置在一排圓木上推動般，那麼除了圓形，還有沒有別的形狀，可以達至「 常數」的效果？

十進制轉二進制

同事在中二的數學考卷擬了一道題：把 表達成二進制的數字。

整數部分，同學易求，現在的關注點是

如何轉成二進數？這個也簡單，

對卷後，梁同學問我，那麼

如何轉成二進數？

考試前後

前

考中二數學前夕，梁同學致電問數。我都「好野」，一邊行街赴父親節宴會，一邊做數講數。

問題太多，晚上回家，梁同學再問下半場。

他問什麼中二數學問題？列幾個：

1. Factorize .
2. 把 8 cm * 10 cm 長方形一對角（opposite angles）摺疊，求摺痕長度。
3. 二進制轉和十六進制的直接互換方法。
…

等等。

後

溫書題

這是溫書時期。

1. 有關數列的題目

這是校內 2007-2008 年度純數期終試其中一題：
=======================================
Let {} be a sequence of positive integers. Define sequences {} and {} as
. ()
. ()
Let . ()

Show that .
=======================================

用 logarithm 計出頭幾個位

昨天匆匆出了份中四 logarithm 的習作，其中一題：

Find the first digit of .

留意，我們不是找「個位」，而是找「第一個位」是什麼。

Simple questions about mean value theorem

For your revision, students.

Question 1

Suppose f(1) = f(2) = 0, f(3) = 1 and f is twice differentiable on [0,3].

Show that

for some .

Question 2

Suppose f(0) = 0, f(1) = 1, f is differentiable on [0,1].

Show that

for some .

大數值的乘階

中四同學在學期初已接觸乘階（factorial） 的運算。比如

理論上，這個正整數 ，可以「要幾大，有幾大」；但實際上，我們日常接觸的運算工具，必有其限制；用 EXCEL 2003，只可以算出的最大乘階是

這個數字有多大？

Asymptotic Behavior of Solutions to Linear Equations

Apart from the interesting article in the last post, Justin also sent me the following interesting question:

Consider

– - – - – - (E)

where the constant is positive and is continuous on [).

出現 A 先於 B 的機會

常見題目：擲一顆公平骰子若干次，求得到 1 點先於得到 6 點的概率。

此例容易，因 1 點和 6 點在地位上無異，易知要求概率為

卡爾松（Carleson）不等式

Carleson first inequality

Let , then

Carleson second inequality

Let , then

沒有額外添加的人工化前提，得出不平凡的結果。

證明

出卷無聊談

年多前，我帶隊參與某數學比賽，遇上舊同學。我告訴他，我的同事是自己創作 pure mathematics 和 applied mathematics 考卷的題目。他很驚訝，因為他以為，一般來說，授課員只會在題目庫或作業書內「選題目」的。記得我初入職時，

證明不等式的基礎招式 (Part 2)

招式七：算幾不等式

e.g. 11 For any positive integer , show that

利用 Taylor’s theorem 證明 AM >= GM

設 為 個正數，命 ,

F.2 Mathematics : a minor problem in factorization

Let’s start with the following question.

Factorize

.

Create an m.i. question

It is not difficult to create questions like:

Prove by mathematical induction that

F.2 Mathematics: factorization by cross method

Factorize

.

By using the cross method, students may give the following two ‘possible answers’.

A.
B.