Quod Erat Demonstrandum

2007/12/18

[AL][PM] Applications of roots of unity

Filed under: HKALE,Pure Mathematics,Teaching — johnmayhk @ 11:42 上午
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Oh, it’s the time for switching the channel into English. Actually, I’m afraid to write in English because I’m blamed not to use English to write blog too often, it may do harm to students. (My English is poor ma, right!) But, firstly, there are less than 10 students reading this blog, so it may be harmless relatively. And next, because of the beautiful fonts, I try to use English in this blog, and that is the only reason ^_^!

F.7C students were just given a quiz, here are some old stuff for your (so-called) enrichment.

Q.1 [Remainder theorem?]

Show that x^{1987} + x^{1997} + x^{2007} is divisible by x^{1987} + x^{1988} + x^{1989}.

Q.2 [Binomial theorem?]

Evaluate C_{0}^{2007} + C_{4}^{2007} + C_{8}^{2007} + \dots + C_{2004}^{2007}.

Q.3 [Geometry problem?]

Let P_1, P_2, \dots P_{2007} be the vertices of a regular 2007-gon inscribed in a unit circle. Evaluate P_1P_2 \times P_1P_3 \times \dots \times P_1P_{2007}.

The questions above may look different to each other, however, by using the roots of unity, we can solve them.

Solution to Q.1

Let \omega be a complex cube root of unity, i.e. \omega^3 = 1 and \omega \neq 1.

If P(x) is a polynomial (over \mathbb{R}) such that P(\omega) = P(\omega^2) = 0, then (x - \omega)(x - \omega^2) is a factor of P(x). Hence P(x) is divisible by 1 + x + x^2.

Now, let P(x) = 1 + x^{10} + x^{20}

It is easy to check

1 + \omega^{10} + \omega^{20} = 1 + \omega^{20} + \omega^{40} = 0 (Why?)

Hence P(\omega) = P(\omega^2) = 0; thus P(x) is divisible by 1 + x + x^2. Or

1 + x^{10} + x^{20} = (1 + x + x^2)Q(x) for some polynomial Q(x)

Now, x^{1987} + x^{1997} + x^{2007}
= x^{1987}(1 + x^{10} + x^{20})
= x^{1987}(1 + x + x^2)Q(x)
= (x^{1987} + x^{1988} + x^{1989})Q(x)

Result follows.

Solution to Q.2

Let \omega be a complex forth root of unity, i.e. \omega^4 = 1 and \omega \neq 1.

The following results are trivial.

1 + \omega^k + \omega^{2k} + \omega^{3k} = 4 if k is a multiple of 4
1 + \omega^k + \omega^{2k} + \omega^{3k} = 0 if k is not a multiple of 4

Now

(1 + x)^{n} = C_{0}^{n} + C_{1}^{n}x + C_{2}^{n}x^2 + \dots + C_{n}^{n}x^n (where n = 2007)

Put x = 1, \omega, \omega^2, \omega^3 into the above accordingly. We have

2^{n} = C_{0}^{n} + C_{1}^{n} + C_{2}^{n} + \dots + C_{n}^{n}
(1 + \omega)^{n} = C_{0}^{n} + C_{1}^{n}\omega + C_{2}^{n}\omega^2 + \dots + C_{n}^{n}\omega^n
(1 + \omega^2)^{n} = C_{0}^{n} + C_{1}^{n}\omega^2 + C_{2}^{n}\omega^4 + \dots + C_{n}^{n}\omega^{2n}
(1 + \omega^3)^{n} = C_{0}^{n} + C_{1}^{n}\omega^3 + C_{2}^{n}\omega^6 + \dots + C_{n}^{n}\omega^{3n}

Sum up the above 4 equations and use the trivial results just mentioned, we have

4(C_{0}^{2007} + C_{4}^{2007} + C_{8}^{2007} + \dots + C_{2004}^{2007})
= 2^{2007} + (1 + \omega)^{2007} + (1 + \omega^2)^{2007} + (1 + \omega^3)^{2007}

Hey, we can simplify it further because we may take \omega = i, \omega^2 = -1, \omega^3 = -i, hence

C_{0}^{2007} + C_{4}^{2007} + C_{8}^{2007} + \dots + C_{2004}^{2007}
= \frac{1}{4}(2^{2007} + (1 + i)^{2007} + (1 - 1)^{2007} + (1 - i)^{2007})
= \frac{1}{4}(2^{2007} + 2^{\frac{2007}{2}}(2\cos\frac{2007\pi}{4}))
= \frac{1}{4}(2^{2007} + 2^{\frac{2007}{2}}(2\cos\frac{\pi}{4}))
= 2^{1002}(2^{1003} + 1)

Solution to Q.3

The complex numbers corresponding to the vertices of a regular n-gon inscribed in a unit circle are roots of z^n = 1. Hence, we may let

1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{2006} be the complex numbers corresponding to the vertices of the regular 2007-gon; where \omega = \cos\frac{2\pi}{2007} + i\sin\frac{2\pi}{2007}.

It is easy to have \omega, \omega^2, \dots, \omega^{2006} are roots of the equation

x^{2006} + x^{2005} + \dots + x + 1 = 0 – – – (1)

Suppose we translate the regular 2006-gon to the left by 1 unit, then the vertices will become 0, \omega - 1, \omega^2 - 1, \dots, \omega^{2006} - 1, and hence

P_1P_2 = |\omega - 1| = |z_1| (say)
P_1P_3 = |\omega^2 - 1| = |z_2|
P_1P_4 = |\omega^3 - 1| = |z_3|

P_1P_{2007} = |\omega^{2006} - 1| = |z_{2006}|

Now, if we can find out an equation whose roots are z_1, z_2, \dots , z_{2006}, then P_1P_2 \times P_1P_3 \times \dots \times P_1P_{2006} is simply the modulus of the product of roots.

By (1), just set z = x - 1 then an equation with roots z_1, z_2, \dots , z_{2006} is

(z + 1)^{2006} + (z + 1)^{2005} + \dots + (z + 1) + 1 = 0
z^{2006} + \dots + 2007 = 0

Since the product of roots of the above equation = 2007,
P_1P_2 \times P_1P_3 \times \dots \times P_1P_{2006} = 2007

Not enough? If you want to know how powerful in using complex numbers for solving elementary mathematics problems, I suggest an old Chinese popular mathematics for your own leisure reading: 神奇的複數─如何利用複數解中學數學難題

I do admire Mr. Siu’s concept : “I don’t teach: I share". Read his blog to learn better English!
http://hk.myblog.yahoo.com/siu82english

2007/12/17

[初中][玩玩] 幾道幾何題

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 3:32 下午

這裡是近日同學問我的初中幾何題。難度當然不能和數學比賽那些同日而語,但總比教科書的 level zero 題目有趣一點,初中的同學,試試看!

Q.1

設 E,F 為線段 BC 上的點。∠B = ∠C = ∠AED = 90∘;若 △AED ~ △FCD,證明 BE = CF。

Q.2

在 △ABC 中,AC = BC,D 為 AB 中點。E,F 及 P 分別在 AC,CB 及 BA 之上。若 ECFP 是長方形,證明 DE = DF。

Q.3

ABCD 是正方形,E 在 BC 上。已知 ∠DCF = 45∘,∠AEF = 90∘,證明 AE = EF。

Q.4

在 △ABC 中,G,H 在 AB 上;F,I 在 AC 上。HI 分別交 BF 及 CG 於點 D 及 E。已知 BG = CF,證明 AH = AI。

[AL][AM] 出卷心『程』

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKALE — johnmayhk @ 2:27 下午

對我來說,出卷也是一個探索過程。

中六的應數試卷,我擬一道有關機率的長題目。是,毫無美感可言(起碼,超炫的組合技巧是不容許在 AL 中看到的。),但比較『容易作』的,因為一旦有了場景,就可以『任意』發揮。那些『男,女,夫婦』的題目,讓我聯想到『葵扇,紅心,??』這時,?? 不如就是一些特別牌,嗯,就 killer 啦。於是,我就以 killer 為場景。一路『老作』,都是環繞上學期學的 conditional probability。 (more…)

2007/12/13

[AL][PM][AM] 以應數技巧解純數中涉及 nCr 的問題

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKALE,Pure Mathematics,Teaching — johnmayhk @ 4:07 下午

在我還是中學生的年代,初等的組合問題在應數及純數科也有涉獵。現在,我們只能在應數科看到,於是只修讀純數的同學,相信必循 C_{r}^{n} 的『定義』出發,解以下問題。

證明

1. C_{r+1}^{n+1} = C_{r}^{n} + C_{r+1}^{n}
2. C_{r}^{m + n} = \sum_{k=0}^{r}C_{r-k}^{m}C_{k}^{n} (r \leq \min (m , n))
3. C_{n+1}^{m+n+1} = \sum_{k=n}^{n+m}C_{n}^{k} (即 1994 年 Paper I Q.7)

讓我以非純數的方式處理。

Q.1 堂上我已提及,由柏斯卡三角的構作方式,已體現了它。再給一法:

在 n + 1 個人中選出 r +1 個,有多少組合方式?答曰:C_{r + 1}^{n + 1}
假設阿 John 是 n + 1 人中的其中一個,那麼,要選出 r + 1 人,我們可以有兩種情況:選阿 John 及不選阿 John。
如果要選阿 John,則我們還要在其他的 n 個人中選出 r 個,組合方式共 C_{r}^{n} 種。
如果不選阿 John,則我們要在其他的 n 個人中選出 r + 1 個,組合方式共 C_{r + 1}^{n} 種。
故在 n + 1 人中選出 r + 1 個的組合方式共 C_{r}^{n} + C_{r + 1}^{n} 種,所以有 C_{r+1}^{n+1} = C_{r}^{n} + C_{r+1}^{n}。清脆利落。

Q.2 C_{r}^{m + n} 就是在 m + n 人中選出 r 個的組合方式之數目。現在考慮 m + n 人內有 m 男 n 女。於是,要選出 r 人,可以是

r 男 0 女,共 C_{r}^{m} \times C_{0}^{n} 種組合,或
r – 1 男 1 女,共 C_{r - 1}^{m} \times C_{1}^{n} 種組合,或
r – 2 男 2 女,共 C_{r - 2}^{m} \times C_{2}^{n} 種組合,或

0 男 r 女,共 C_{0}^{m} \times C_{r}^{n} 種組合。

於是,在 m + n 人中選出 r 個的組合方式數目,就是上述各組合方式之總和,亦即 C_{r}^{m + n} = \sum_{k=0}^{r}C_{r-k}^{m}C_{k}^{n}

Q.3 在純數課中,我們可以考慮 (1+x)^n + (1+x)^{n+1} + ... + (1+x)^{m+n+1} 及 G.P. sum 便可解之。但我們也可用應數中的『概率』解之如下:

考慮正整數 1,2,3,…,m + n + 1。
我們從這 m + n + 1 個數字隨意取 n + 1 個。
設 P(k) = 這 n + 1 個數字中,最大者為 k + 1 的概率。

嗯,幫幫同學,舉實例。比如在 1 至 30 中,任取 10 個數,問 P(19)。即這 10 個數,最大的一個是 20,那麼其餘的 9 個,就要在 {1,2,3,…,19} 中選取,我們才有『最大的一個是 20』這個效果,即 P(19) = \frac{C_{9}^{19}}{C_{10}^{30}}

以同樣想法,我們不難得到 P(k) = \frac{C_{n}^{k}}{C_{n + 1}^{m + n + 1}} (n \leq k)。那麼,考慮最大數的『所有可能性』,即 k = n , n + 1 , n + 2 , … , m + n,有

P(n) + P(n + 1) + P(n + 2) + … + P(n + m) = 1

立即推出 C_{n+1}^{m+n+1} = \sum_{k=n}^{n+m}C_{n}^{k}

純數應數如何分?嗯,數學本一家嘛。

無聊分享

Filed under: Life — johnmayhk @ 12:58 上午

無意間聽到『十七年華』這歌,因我已和本地樂壇隔絕久良(我還停在 80 或 90 年代吧),今天才知道這歌的存在。大家試聽聽:

http://www.hkedcity.net/ihouse_tools/forum/read.phtml?forum_id=27877&current_page=&i=1242566&t=1242566

近日的那宗『18 歲孝子為照顧家庭,難抵生活壓力自縊身亡』;及較早前『天水圍母親子女三人墮樓亡』,諸如此類的社會問題,起初,它們是閒話家常的『話題』,很快,在忙亂的生活下,我們極其量可以把它們『符號化』,以『悲劇』名之,就此了結。

然而,透過音樂,或許替這些遲早被沖刷的記憶,添上丁點感性的提示吧。

『十七年華』這類題材並不陌生,可能只是相對較少吧。還記得 SARS 及至對政府表達很多不滿那段期間,網上多了一些針對時弊的歌。但『十七年華』以 Rap 形式,從『新聞標題』跳到『死者死前第一身的自述』,再帶出『第三身的新聞內容報導』,頗為特別。尾段『沒人理會這新聞』是寫得很有意思,對這段的感覺,立時讓我聯想到一首我極之喜愛的歌:『十個救火的少年』。潘源良的詞加上黃耀明的演繹,再加上當年的社會背景,令此歌成為不可多得的佳作。『在理論裡沒法滅火跟煙』『葬身於這巨變』『大眾議論到這三位少年,亂說亂說,愈說只有愈遠。』歌詞信息頗沉重,但歌曲的旋律卻是輕快,非常特別。我非專業寫詞人,但相信填 Rap 的詞比較易,因為沒有旋律的『包袱』,自由度大。無論如何,『十七年華』令一個對時下樂壇脫節的人把它聽了又聽,相信已是非常厲害了。

2007/12/11

[AL][PM][U] 比較複數的大小?

Filed under: HKALE,Pure Mathematics,University Mathematics — johnmayhk @ 6:27 下午
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以下是中七同學 Justin 早前的留言。

John sir早前上堂提到 complex number: i 和 0 大小比較的問題

當時的內容:
i > 0, then i^2 > 0,則 -1 > 0, contradiction。反之設 0 > i, 亦生矛盾。


">"關係能滿足以下四個性質:
1)對任何兩個不同的數 a,b; a > b or b > a 不能同時成立
2)if a > b,b > c then a > c
3)if a > b then a + c > b + c
4)if a > b, c > 0 then ac > bc

現設 i > 0
by 4) i^2 > 0, -1 > 0
書中提到此未能導致矛盾(*)
(因為”>”不一定是實數中規定的含義)←這和阿sir上堂提到的問題有分別。
繼續:
利用剛得到的 -1 > 0,by 4), both sides time -1 then (-1)^2 > 0, 1 > 0
(這裏並未有將inequality sign倒轉),這裡是否和(*)所提到的有關?
we have -1 > 0
by property 3), add 1 into both sides
-1 + 1 > 0 + 1,then 0 > 1
by from above, 0 > 1 and 1 > 0,which contradicts property 1)
then we can conclude that i is not > 0
反之 0 > i 也有同樣結果

然而,我的問題是:inequality sign 的使用層面 or 定義有沒有特定規限?因為 (*)

感謝同學指出我的錯誤。我以『-1 > 0』證明『複數不能比較大小』是太快得到結論。讓我趁機又吹吹水。

小孩初接觸自然數,

1,2,3,…

自然地為數字『排序』, 1 先,之後是 2,之後是 3,如此類推。及後,我們引入『不等式』符號 <,得到

1 < 2 < 3 < …

代表著一種『序』(order),也方便我們把兩個自然數比較大小,諸如 3 比 5 小,記之曰 3 < 5。

數學上,我們有辦法定義其他不同的『序』,比如,我們真的可以有

1 > 2,2 > 3 等等(參考 order dual)

那個符號『>』,就不是我們一般的大於(not in usual sense),而是符合某些條件的一種『序』。

對於 complex numbers,我們可否定義出一種『序』?

可以,最常用的是『字典排序』(lexicographic order),即是把字編入字典的方法,比如编 happy 先於 harass,因為我們由左至右比較字母,頭兩個也一樣,直至發覺 p 先於 r,便規定 happy 先於 harass。不妨記之曰 happy < harass。

對 complex number,我們不妨定

a + bi < c + di 當且僅當 a < c 或 (a = c 及 b < d)

(當心,在 A-level 千萬不可出現 a + bi < c + di 等等的式子,老師會二話不說給你零蛋。我們現在討論的是一種『序』,隨便你用什麼符號,但用『<』,是讓我們有一種熟悉的感覺而已,它不一定是一般的不等式符號,它只用來表達熟先熟後的標記。所以 Justin 可以放心,在中學,『<』這個符號一定是代表『嚴格小於』,只是到了大學,就要看情況了。)

由上述定義,我們有

3 + 100i < 4 + 2i
5 + 6i < 5 + 7i
8 – 2i < 8
等等。

(大家領略到好像『查字典』的感覺嗎?)

那麼,任何兩個 complex numbers,我也可以『知其先後』。
但,我們一般不會稱:任何兩個 complex numbers 都可『比較大小』。

其實,何謂『序』?數學上,『序』是一種關係(relation),起碼包括以下三種:

1. 偏序(partial order):亦可再細分為弱偏序及嚴格偏序
2. 線序(linear order)或稱全序(total order)
3. 良序(well order)

先談偏序。

設 A 是一個集。如果存在一種關係,姑且稱之曰 \leq,滿足以下 3 個特性

(自身性 reflexivity)對所有 a \in A, 恒有 a \leq a。
(反對稱性 antisymmetry)對所有 a , b \in A, 若 a \leq b 及 b \leq a,則 a = b。
(傳遞性 transitivity)對所有 a , b , c \in A, 若 a \leq b 及 b \leq c,則 a \leq c。

我們稱滿足上述 3 個條件的關係 \leq 為偏序。存在這種偏序的集,稱為偏序集(partially ordered set,或稱 poset)。只要考慮一般意義下的不等式 \leq,整數集明顯地是偏序集。

讓我給一個非不等式的例子。

例如


a = {1}
b = {2}
c = {3}
d = {1,2}
e = {1,3}
f = {2,3}
g = {1,2,3}

設 A = {a,b,c,d,e,f,g}

我們很容易為 A 定義一種偏序,就是所謂 set inclusion。即

x \leq y iff x \subseteq y

見上例,因 a \subseteq d,有 a \leq d。又例如,b \subseteq d 而 d \subseteq g,有 b \subseteq g;亦表示 b \leq d,d \leq g,有 b \leq g。

因為 \subseteq 存在自身性,反對稱性和傳遞性,立知 \leq 亦符合這 3 個條件,即 \leq 是偏序。

Justin 給的序和偏序差不多,即是所謂嚴格偏序(strict order)。

設 A 是一個集。如果存在一種關係,姑且稱之曰 <,滿足以下 3 個特性

(非自身性 irreflexivity)對所有 a \in A, 無 a < a。
(非對稱性 asymmetry)對所有 a , b \in A, 若 a < b,則無 b < a。
(傳遞性 transitivity)對所有 a , b , c \in A, 若 a < b 及 b < c,則 a < c。

稍微推論一下,我們可以由『傳遞性』及『非自身性』推出『非對稱性』,那麼嚴格偏序的條件可減少到 2 個。

相對於嚴格偏序,有人稱前一種偏序為弱偏序。

單有偏序,足夠嗎?不,起碼,偏序不能滿足我們習以為常的一種認為:任何兩個數都可以『比較』。

舉例,我們在正整數集上定義這樣的一種偏序:若 a 整除 b,則定義 a \leq b。例如

2 \leq 6 [因 2 整除 6]
5 \leq 20 [因 5 整除 20]

只要稍微檢查,可知這種序滿足偏序的三個要求:自身性,反對稱性和傳遞性。然而,對於某對正整數,諸如 4 和 5,因 4 不整除5 及 5 也不整除 4,故我們既無 4 \leq 5 亦無 5 \leq 4。這就是所謂不能『比較』了。

那麼,我們只要在嚴格偏序條件上加多一個:所謂『三分律』或『三一律』,即集合中任何兩個元素必有『三種關係』的其中一種,即

(三分律 trichotomy)對所有 a , b \in A, 必有 a < b, b < a 或 a = b。

滿足非自身性,非對稱性,傳遞性再加上三分律這四個條件的偏序,稱為線序或全序。

『線』者,取其把所有『元素』都可如『數線』,按序排列。
『全』者,即謂『全部』元素都可知其先後。

稍微檢查一下,複數集上定義的『字典排序』:a + bi < c + di 當且僅當 a < c 或 (a = c 及 b < d)
是全序,故複數集是所謂全序集。

如果複數集只是盛載著複數的集合,沒有任何運算發生的話,這個數學物體可說是沒有價值。但當我們在這個集合賦予了一些運算,諸如加減乘除,我們彷彿把這個死物『有機化』,滿注『生命力』。當複數集定義了『加法』和『乘法』後,這個東西不單是複數集,數學上,我們可稱它為複數域(field)。

如果有個域 F(簡單說,就是可以在 F 當中定義『加法』和『乘法』兩種運算),一旦存在全序 < 滿足額外的兩個要求:

(1)對所有 a , b , c \in F,若 a < b,則 a + c < b + c。
(2)對所有 a , b \in F,若 0 < a 及 0 < b,則 0 < ab。

我們稱 F 為全序域。這個『<』更進一步符合我們慣常意義下的不等式之要求。

那麼,複數域是全序域嗎?Justin 的留言已經說明了,複數域不是全序域。讓我也不厭其煩,重述之。

我們用前述的『字典排序』,有 0 < i。
假如複數域是全序域,由條件(2),得 0 < i^2
得 0 < -1
有違『字典排序』,生矛盾。

好,若我們在複數域上定義另外的全序(不用『字典排序』),表之曰⊿。由全序定義,我們必有
0 ⊿ i 或 i ⊿ 0 或 i = 0(不合)

先考慮 i ⊿ 0
由全序域的條件(1),得 i + (-i) ⊿ 0 + (-i)
即 0 ⊿ -i
由全序域的條件(2),得 0 ⊿ (-i)(-i)
即 0 ⊿ -1 ———————————- (*)
再由全序域的條件(2),得 0 ⊿ (-1)(-1)
即 0 ⊿ 1
由全序域的條件(1),得 0 + (-1) ⊿ 1 + (-1)
即 -1 ⊿ 0 ———————————– (**)
由 (*) 及 (**) 可見,⊿ 已不符合全序的其中一個條件:三一律,所以我們不能在複數域上定義這種滿足全序域的序 ⊿。

類似地,若考慮 0 ⊿ i,我們也可推導出 ⊿ 有違全序的條件,諸君不妨一試。這樣,正是這個原因,我們會(粗疏地)說『兩個複數可排序但不能比較大小』。

總結

複數集是全序集,但
複數域不是全序域。

至於第三種序:良序。對歸納法之所以可行和研究無限集序數等有重要意義,但和本篇主題不太相關,就此在結。

2007/12/03

[PM] Solving inequality with absolute signs

Filed under: Pure Mathematics,Teaching — johnmayhk @ 3:27 下午

Solve |x - 1| + |x - 2| \geq 5

解上題要分 cases 嗎?唔駛。

題目即是問數線上哪些點和 1 的距離加上它和 2 的距離大於或等於 5。

姑且考慮等於 5 時。

設點和 1 的距離 = a。

如果它在 1 右邊,則它在 2 的右邊距離 5 – a,所以 1 + a = 2 + (5 – a) => a = 3。
即是說,當 x = 1 + 3 = 4 時,它和 1 的距離加上它和 2 的總距離剛剛是 5。
那麼,要總距離大於 5,可以把點向右推移,即取更大的 x 值。
故我們有其中一個可能解:x \geq 4

如果它在 1 左邊,則它在 2 的左邊距離 5 – a,所以 1 – a = 2 – (5 – a) => a = 2。
即是說,當 x = 1 – 2 = -1 時,它和 1 的距離加上它和 2 的總距離剛剛是 5。
那麼,要總距離大於 5,可以把點向左推移,即取更小的 x 值。
故我們有其中一個可能解:x \leq -1

綜合上述,我們得

x \geq 4 or x \leq -1

上法是講座中林老師引大陸數學書的方法。不過,某程度上,這也算分類 cases 吧。

Also read
http://www.hkedcity.net/ihouse_tools/forum/read.phtml?forum_id=27877¤t_page=&i=960310&t=960310

2007/12/02

[初中] Identities

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 4:22 下午

The following is a level zero question in F.2 math textbook.

Determine whether 4(3x + 1) = 2(6x + 2) is an identity.

Being a math teacher, I must suggest the following solution.

L.H.S.
= 4(3x + 1)
= 12x + 4

R.H.S.
= 2(6x + 2)
= 12x + 4

\because L.H.S. = R.H.S.

\therefore 4(3x + 1) = 2(6x + 2) is an identity.

Everything fine.

But we may have alternative ways.

One student, Lam, gave

L.H.S.
= 4(3x + 1)
= 2\times 2(3x + 1)
= 2(6x + 2)
= R.H.S.

Quite good.

For discussion purpose, I gave two more ways.

Method 1

4(3x + 1) = 2(6x + 2)
12x + 4 = 12x + 4
0 = 0

Do you accept this solution? Why or why not?

Method 2

When x = 0,
L.H.S. = 4(3(0) + 1) = 4
R.H.S. = 2(6(0) + 2) = 4
L.H.S. = R.H.S.

When x = 1,
L.H.S. = 4(3(1) + 1) = 16
R.H.S. = 2(6(1) + 2) = 16
L.H.S. = R.H.S.

Hence 4(3x + 1) = 2(6x + 2) an identity.

What is your comment on Method 2? For me, it is OK!

[初中] Factorization

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 3:50 下午
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The following is a question in the uniform test.
Factorize 12xy - 6x^2.
One student, Lai, gave the solution as
12xy - 6x^2
=12x(y - \frac{x}{2})
If you were a teacher, will you give marks?
Well, you may have the “correct answer" in your mind, it should be 6x(2y - x), right? But why the answer given by Lai was not an answer? More, if somebody gives the following, what is your comment?
12xy - 6x^2
= 24x^3y(\frac{1}{2x^2} - \frac{1}{3xy})
Urm, let me further my discussion by giving two more examples.
Many students know how to factorize x^2 - y^2, that is
x^2 - y^2
= (x + y)(x - y)
Urm, can I further my calculation in writing something like
x^2 - y^2
= (x + y)(x - y)
= (x + y)(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})
Do you think the above is an answer to the factorization problem?
Some may say we cannot factorize x^2 + 1, but after introducing the complex numbers, can we say
x^2 + 1
= (x + i)(x - i) where i^2 = -1
is a process of factorization?
All in all, the above may force us to think about what do we mean by factorization exactly?

小報告

Filed under: Report — johnmayhk @ 2:25 下午

步行籌款後,我在荃灣三聯買了《數學高手特訓班》一書,作者是 Steve Olson。在導讀中認識了游老師,以下是他網誌的文章:

『代課一星期』
http://www.wretch.cc/blog/giawgwan&article_id=7005300

游老師的其他數學文章見下。特別看看有關 2006 數學奧林匹克的,游老師是預選題的擬題者之一(好羨慕呀!)
http://www.wretch.cc/blog/giawgwan&category_id=169115

星期六早上出席一個有關 2007 年數學/附加數/純數/數學與純計公開試表現的座談會。

早到,聽某年長老師說:『我都要學寫 Blog 了,下年可以開始,政府畀錢的!』(無言)

及後見舊同學,她稱在 2007 年附加數改卷員的會議上,某老師認為某題目評分標準太低,嫌太容易取分,於是氣沖沖拍桌子離場!(大人啦,還是小朋友嗎?)

第一節是講 2007 年 pure math。兩位中學教師出卷員(正路,他們是不能公開這個身份的;但主持人『此地無銀』的介紹叫人心領神會。)想提一下第二位。他說:『我經常取笑同事用兩個月教 coordinate geometry,還要學生補課。』(但,為何要取笑?)不錯,近年這個課題頂多出一條 long question 及一條 short question。他稱 paper 2 可放棄 coordinate geometry,paper 1 則可放棄 complex numbers。談到 2006 年 paper 2 的第一題(有關 limit),當年很多學生取零分。他問我們『用什麼教科書?』再問『你地究竟點教?』從而帶出他從不用教科書。話說回來,那題的技巧在一般教科書也有提,或許是學生的表現差強人意吧?他『訴苦』地說:『我改成 800 份 pure 卷,拿著 800 份卷是搭唔到 lift 的!』(我反而想問:改 800 份卷可賺多少錢?)問:『現在 additional mathematics 的內容被刪了很多,pure math 如何配合?』他第一答:『我有份刪的。』他指出 2007 年有很多是抄 2006 年的。他指出沒有幾個學生用 alternative methods,是埋怨學生還是出卷會議?他也質疑為何學生想不到出卷員出題的心思,只要沿著出卷員的思路,便可解題。(嗯,這個可能性高嗎?)有一樣東西我要思考:他教 applied math (II),他要同學在 8 月放榜後立即回校補課,是補教有關在 additional mathematics 被刪去的知識,如 method of substitution,那麼 9 月上課教 DE 便順利了。

第二節是講 2007 年 additional mathematics。感恩,是聖言的徐副校。他舉了幾道題(我高興看到)是要考『基本功』的,但學生反而做得差。他要我們老師不要只讓學生死操數而忽略一些基本的定義。而操數也要選一些成本效益高的題目,例如近年的 curve sketching 題目已經『過時』,若還要學生花很多時間做這類『過時』的數,學生會忽略其他熱門的題目。他也不用教科書的。有在坐老師問他會否教 method of substitution,他說會在一班特別班教,這班招呼的不一定是數學成績最好的同學,反而是有興趣學習的同學。(咦,不錯的選擇!)老師問若用小階字母代表向量(vector),一定要加箭咀符號嗎?徐答:『一定,但國際的標準是用深色的小階字母,只是考生較難用深色,便以箭咀示之。』如不提一提,我也忽略了要把公開試題目送國際學術組織審閱這一關。所以單位寫 ms^{-1}m/s 也要小心吧。

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