[AL][PM][U] 比較複數的大小？

以下是中七同學 Justin 早前的留言。

John sir早前上堂提到 complex number: i 和 0 大小比較的問題

當時的內容：
設 , then ,則 , contradiction。反之設 , 亦生矛盾。

＂＞＂關係能滿足以下四個性質:
1)對任何兩個不同的數 ; or 不能同時成立
2)if , then
3)if then
4)if , then

現設
by 4) ,
書中提到此未能導致矛盾(*)
(因為”>”不一定是實數中規定的含義)←這和阿sir上堂提到的問題有分別。
繼續：
利用剛得到的 ,by 4), both sides time then ,
(這裏並未有將inequality sign倒轉),這裡是否和(*)所提到的有關？
we have
by property 3), add 1 into both sides
,then
by from above, and ,which contradicts property 1)
then we can conclude that is not
反之 也有同樣結果

然而，我的問題是：inequality sign 的使用層面 or 定義有沒有特定規限？因為 (*)

感謝同學指出我的錯誤。我以『-1 > 0』證明『複數不能比較大小』是太快得到結論。讓我趁機又吹吹水。

小孩初接觸自然數，

1,2,3,…

自然地為數字『排序』， 1 先，之後是 2，之後是 3，如此類推。及後，我們引入『不等式』符號 <，得到

1 < 2 < 3 < …

代表著一種『序』（order），也方便我們把兩個自然數比較大小，諸如 3 比 5 小，記之曰 3 < 5。

數學上，我們有辦法定義其他不同的『序』，比如，我們真的可以有

1 > 2，2 > 3 等等（參考 order dual）

那個符號『>』，就不是我們一般的大於（not in usual sense），而是符合某些條件的一種『序』。

對於 complex numbers，我們可否定義出一種『序』？

可以，最常用的是『字典排序』（lexicographic order），即是把字編入字典的方法，比如编 happy 先於 harass，因為我們由左至右比較字母，頭兩個也一樣，直至發覺 p 先於 r，便規定 happy 先於 harass。不妨記之曰 happy < harass。

對 complex number，我們不妨定

a + bi < c + di 當且僅當 a < c 或 (a = c 及 b < d)

（當心，在 A-level 千萬不可出現 a + bi < c + di 等等的式子，老師會二話不說給你零蛋。我們現在討論的是一種『序』，隨便你用什麼符號，但用『<』，是讓我們有一種熟悉的感覺而已，它不一定是一般的不等式符號，它只用來表達熟先熟後的標記。所以 Justin 可以放心，在中學，『<』這個符號一定是代表『嚴格小於』，只是到了大學，就要看情況了。）

由上述定義，我們有

3 + 100i < 4 + 2i
5 + 6i < 5 + 7i
8 – 2i < 8
等等。

（大家領略到好像『查字典』的感覺嗎？）

那麼，任何兩個 complex numbers，我也可以『知其先後』。
但，我們一般不會稱：任何兩個 complex numbers 都可『比較大小』。

其實，何謂『序』？數學上，『序』是一種關係（relation），起碼包括以下三種：

1. 偏序（partial order）：亦可再細分為弱偏序及嚴格偏序
2. 線序（linear order）或稱全序（total order）
3. 良序（well order）

先談偏序。

設 A 是一個集。如果存在一種關係，姑且稱之曰 ，滿足以下 3 個特性

（自身性 reflexivity）對所有 a A, 恒有 a a。
（反對稱性 antisymmetry）對所有 a , b A, 若 a b 及 b a，則 a = b。
（傳遞性 transitivity）對所有 a , b , c A, 若 a b 及 b c，則 a c。

我們稱滿足上述 3 個條件的關係 為偏序。存在這種偏序的集，稱為偏序集（partially ordered set，或稱 poset）。只要考慮一般意義下的不等式 ，整數集明顯地是偏序集。

讓我給一個非不等式的例子。

例如

命
a = {1}
b = {2}
c = {3}
d = {1,2}
e = {1,3}
f = {2,3}
g = {1,2,3}

設 A = {a,b,c,d,e,f,g}

我們很容易為 A 定義一種偏序，就是所謂 set inclusion。即

x y iff x y

見上例，因 a d，有 a d。又例如，b d 而 d g，有 b g；亦表示 b d，d g，有 b g。

因為 存在自身性，反對稱性和傳遞性，立知 亦符合這 3 個條件，即 是偏序。

Justin 給的序和偏序差不多，即是所謂嚴格偏序（strict order）。

設 A 是一個集。如果存在一種關係，姑且稱之曰 ，滿足以下 3 個特性

（非自身性 irreflexivity）對所有 a A, 無 a a。
（非對稱性 asymmetry）對所有 a , b A, 若 a b，則無 b a。
（傳遞性 transitivity）對所有 a , b , c A, 若 a b 及 b c，則 a c。

稍微推論一下，我們可以由『傳遞性』及『非自身性』推出『非對稱性』，那麼嚴格偏序的條件可減少到 2 個。

相對於嚴格偏序，有人稱前一種偏序為弱偏序。

單有偏序，足夠嗎？不，起碼，偏序不能滿足我們習以為常的一種認為：任何兩個數都可以『比較』。

舉例，我們在正整數集上定義這樣的一種偏序：若 a 整除 b，則定義 a b。例如

2 6　［因 2 整除 6］
5 20　［因 5 整除 20］

只要稍微檢查，可知這種序滿足偏序的三個要求：自身性，反對稱性和傳遞性。然而，對於某對正整數，諸如 4 和 5，因 4 不整除5 及 5 也不整除 4，故我們既無 4 5 亦無 5 4。這就是所謂不能『比較』了。

那麼，我們只要在嚴格偏序條件上加多一個：所謂『三分律』或『三一律』，即集合中任何兩個元素必有『三種關係』的其中一種，即

（三分律 trichotomy）對所有 a , b A, 必有 a b, b a 或 a = b。

滿足非自身性，非對稱性，傳遞性再加上三分律這四個條件的偏序，稱為線序或全序。

『線』者，取其把所有『元素』都可如『數線』，按序排列。
『全』者，即謂『全部』元素都可知其先後。

稍微檢查一下，複數集上定義的『字典排序』：a + bi < c + di 當且僅當 a < c 或 (a = c 及 b < d)
是全序，故複數集是所謂全序集。

如果複數集只是盛載著複數的集合，沒有任何運算發生的話，這個數學物體可說是沒有價值。但當我們在這個集合賦予了一些運算，諸如加減乘除，我們彷彿把這個死物『有機化』，滿注『生命力』。當複數集定義了『加法』和『乘法』後，這個東西不單是複數集，數學上，我們可稱它為複數域（field）。

如果有個域 F（簡單說，就是可以在 F 當中定義『加法』和『乘法』兩種運算），一旦存在全序 滿足額外的兩個要求：

（1）對所有 a , b , c F，若 a b，則 a + c b + c。
（2）對所有 a , b F，若 0  a 及 0 b，則 0 ab。

我們稱 F 為全序域。這個『』更進一步符合我們慣常意義下的不等式之要求。

那麼，複數域是全序域嗎？Justin 的留言已經說明了，複數域不是全序域。讓我也不厭其煩，重述之。

我們用前述的『字典排序』，有 0 i。
假如複數域是全序域，由條件（2），得 0
得 0 -1
有違『字典排序』，生矛盾。

好，若我們在複數域上定義另外的全序（不用『字典排序』），表之曰⊿。由全序定義，我們必有
0 ⊿ i 或 i ⊿ 0 或 i = 0（不合）

先考慮 i ⊿ 0
由全序域的條件（1），得 i + (-i) ⊿ 0 + (-i)
即 0 ⊿ -i
由全序域的條件（2），得 0 ⊿ (-i)(-i)
即 0 ⊿ -1 ———————————- (*)
再由全序域的條件（2），得 0 ⊿ (-1)(-1)
即 0 ⊿ 1
由全序域的條件（1），得 0 + (-1) ⊿ 1 + (-1)
即 -1 ⊿ 0 ———————————– (**)
由 (*) 及 (**) 可見，⊿ 已不符合全序的其中一個條件：三一律，所以我們不能在複數域上定義這種滿足全序域的序 ⊿。

類似地，若考慮 0 ⊿ i，我們也可推導出 ⊿ 有違全序的條件，諸君不妨一試。這樣，正是這個原因，我們會（粗疏地）說『兩個複數可排序但不能比較大小』。

總結

複數集是全序集，但
複數域不是全序域。

至於第三種序：良序。對歸納法之所以可行和研究無限集序數等有重要意義，但和本篇主題不太相關，就此在結。