Quod Erat Demonstrandum

2007/12/17

[AL][AM] 出卷心『程』

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKALE — johnmayhk @ 2:27 下午

對我來說,出卷也是一個探索過程。

中六的應數試卷,我擬一道有關機率的長題目。是,毫無美感可言(起碼,超炫的組合技巧是不容許在 AL 中看到的。),但比較『容易作』的,因為一旦有了場景,就可以『任意』發揮。那些『男,女,夫婦』的題目,讓我聯想到『葵扇,紅心,??』這時,?? 不如就是一些特別牌,嗯,就 killer 啦。於是,我就以 killer 為場景。一路『老作』,都是環繞上學期學的 conditional probability。

題目的其中一部分:葵扇及紅心樸克牌共 26 張,分給 15 個小朋友,作玩 killer 之用,拿『公仔牌』(即 J,Q,K)者稱之為 killer。分牌後,知只有 2 個小朋友是 killers,問小朋友共取了 8 張紅心牌之條件概率是多少。

為幫學生,我一步步引導,先求

P(8 張紅心牌 | killers 是葵扇 J 及紅心 Q) = ?

答案是 \frac{105}{323}。再稍為一般化,問

P(8 張紅心牌 | killers 是 1 葵扇公仔牌及 1 紅心公仔牌) = ?

起初,不以為然,因為葵扇及紅心公仔牌各有 3 隻,誤以為,要求的概率是

C_1^3 \times C_1^3 \times \frac{105}{323}

結果出事,上式會計出大於 1 的數值。

導致這個錯誤思想,主要是我們常處理以下運算,設 A , B 為互斥事件(exclusive events),易知

P(A \cup B | E) = P(A | E) + P(B | E)

不錯,上題有 C_1^3 \times C_1^3 = 9 兩兩互斥事件(mutually exclusive events),但要求的東西卻不是 P(A \cup B | E),而是 P(E | A \cup B)

這逼我再小心想清楚。一般做法,以條件概率公式試之。

P(killers 是 1 葵扇公仔牌及1 紅心公仔牌) = \frac{C_{13}^{20} \times C_{1}^{3} \times C_{1}^{3}}{C_{15}^{26}}

P(『小朋友一共只有 8 紅心』及『killers 是 1 葵扇公仔牌及 1 紅心公仔牌』) = \frac{C_{6}^{10} \times C_{7}^{10} \times C_{1}^{3} \times C_{1}^{3}}{C_{15}^{26}}

於是,要求的概率 = P(8 張紅心牌 | killers 是 1 葵扇公仔牌及 1 紅心公仔牌) = \frac{C_{6}^{10} \times C_{7}^{10} \times C_{1}^{3} \times C_{1}^{3}}{C_{15}^{26}} \div \frac{C_{13}^{20} \times C_{1}^{3} \times C_{1}^{3}}{C_{15}^{26}} = \frac{C_{6}^{10} \times C_{7}^{10}}{C_{15}^{13}} = \frac{105}{323}

咦?這不就是上一部分的答案!莫非我們有更直接的方法計算?

嗯,不如先看看,對互斥事件 A 和 B, P(E | A \cup B) 是什麼。只要稍稍推論,得

P(E | A \cup B) = P(E | A)\frac{P(A)}{P(A \cup B)} + P(E | B)\frac{P(B)}{P(A \cup B)} – – – (*)

現在,建基於『killers 取了 1 隻葵扇公仔牌和 1 隻紅心公仔牌』這條件,我們可細分為 C_1^3 \times C_1^3 = 9 個兩兩互斥事件,又因這 9 件事件在地位上是公平的(發生機會相等),所以有

\frac{1}{9}
= P(killers 是葵扇 J 及紅心 Q | killers 是 1 葵扇公仔牌及 1 紅心公仔牌)
= P(『killers 是葵扇 J 及紅心 Q』及『killers 是 1 葵扇公仔牌及 1 紅心公仔牌』)/P(killers 是 1 葵扇公仔牌及 1 紅心公仔牌)
= P(killers 是葵扇 J 及紅心 Q)/P(killers 是 1 葵扇公仔牌及 1 紅心公仔牌)

由公式 (*),我們得

P(8 張紅心牌 | killers 是 1 葵扇公仔牌及 1 紅心公仔牌)
= \frac{105}{323} \times \frac{1}{9} + \dots + \frac{105}{323} \times \frac{1}{9} (共 9 項)
= \frac{105}{323}

其實,我們可以簡單理解為何

P(8 張紅心牌 | killers 是 1 葵扇公仔牌及 1 紅心公仔牌)
= P(8 張紅心牌 | killers 是某葵扇公仔牌及某紅心公仔牌)

關鍵是涉及的互斥事情發生之概率均等。讓我再以簡單情況類比之。

有 10 個編號為 1 至 10 的盒子。各盒子分別有 2 白球 1 黑球。今取盒子一個,再取一球。那麼易知

P(黑球 | 第 2 個盒) = \frac{1}{3}
P(黑球 | 第 4 個盒) = \frac{1}{3}
P(黑球 | 雙數編號盒) = \frac{1}{3}
P(黑球 | 奇數編號盒) = \frac{1}{3}
P(黑球) = \frac{1}{3}

希望同學看明。

差點忘記給答案:
P(8 張紅心牌 | 2 個小朋友是 killers) = \frac{1869}{6460}

這道題其實幾失敗,因為只是停留在『派牌』階段,小朋友還未真正進入玩 killers 的時間,就已經出了 15 分。另一道有關 DE 的長題目,亦是屬老作之作,是有關『污泥處理』。雖然自己『假假地』都修過土木工程之類的課,但我對這些『現實問題』的現實情況所知甚微,盛老師也質疑我如果確保『殺菌速度和其濃度成正比』這個數學模型的合理性?我立即吹水答:『嗯,想像有某種輻射作用在 sludge holding tank,故濃度愈高,細菌死得愈多』云云。呢 D 就係所謂 applied math?!唉,我自慚,又令我想起給學生痛罵『不學無術』的場景。

1 則迴響 »

  1. […] Applied Mathematics 卷難出,是因為自己的見識實在膚淺,不是這題我也不知堅尼系數的定義,更遑論以此作為出題的起點。Applied […]

    通告 由 Gini coefficient « Quod Erat Demonstrandum — 2008/04/16 @ 6:34 下午 | 回覆


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