Quod Erat Demonstrandum

2008/01/04

[AL][PM] Primitive mth root of unity (1 的 m 次本原根)

Filed under: HKALE,Pure Mathematics,Teaching — johnmayhk @ 5:55 下午
Tags:

剛派中七純數測驗卷,其中有(簡化了的)長題目如下:

(a) 求 \lim_{x\to 1}\frac{x^{27} - 1}{x - 1}

(b) 證明 \sin\frac{\pi}{27}\sin\frac{2\pi}{27}\sin\frac{3\pi}{27}\times\dots\times \sin\frac{13\pi}{27} = \frac{3\sqrt{3}}{2^{13}}

(c) A primitive m^{th} root of unity is a root \alpha of the equation x^m = 1 such that \alpha^h \neq 1 for any factor h of m where 1 \leq h < m. Expand \prod_{i=1}^{n}(x - \alpha_{i}) where \alpha_1, \alpha_2, \dots \alpha_{n} are all primitive 27^{th} roots of unity. 

基本上,(a) 和 (b) 都沒有太大問題,但到 (c),因為同學應該未接觸過 primitive root 之類的東西,所以不太知如何面對。且這部分和之前的 (a),(b) 沒有多太關係 (sorry 呀),純粹要砌出長題目的 15 分。現在詳細說明,希望同學理解。

易解出 z^6 = 1 的根,詳列如下:

\omega_0 = 1
\omega_1 = \omega (where \omega = \cos(\frac{2\pi}{6}) + i\sin(\frac{2\pi}{6}))
\omega_2 = \omega^2
\omega_3 = \omega^3
\omega_4 = \omega^4
\omega_5 = \omega^5

每個 \omega_{i} 都是所謂 1 的 6 次根(6^{th} root of unity)。以其中一個根 \omega_2 為例,我們知道 \omega_2^6 = 1 (當然啦),但這個根不用去到 6 次方,答案才是 1,因為 \omega_2^3 = (\omega^2)^3 = \omega^6 = 1,即是說 \omega_2 的 3 次方已經是 1 了。除了 \omega_2\omega_3 也出現這個『現象』,即不需去到 6 次方,答案已經是 1,因為 \omega_3^2 = (\omega^3)^2 = \omega^6 = 1,即是 2 次方已經夠了。那麼 \omega_4 呢?它都有這個現象,因為 \omega_4^3 = (\omega^4)^3 = (\omega^6)^2 = 1^2 = 1。當然還有 \omega_0 啦,它的 1 次方已經是 1 了。但其餘的 2 個根:\omega_1\omega_5 就沒有這個『現象』了,它們一定要去到 6 次方,答案才是 1。如此,我們可以把 1 的 6 次根分成兩類:

第一類:1, \omega_2, \omega_3, \omega_4
第二類:\omega_1, \omega_5

我們稱第二類的根為 primitive roots,即是它們一定要去到 6 次方,答案才是 1。說得詳細些:

\omega_1, \omega_5 是 1 的 6 次本原根(primitive 6^{th} roots of unity)。而 1, \omega_2, \omega_3, \omega_4 就不是 1 的 6 次本原根

一般地,\omega 是 1 的 m本原根(primitive m^{th} root of unity)即是說

\omega^m = 1 and
\omega^h \neq 1 for any positive integer h less than m

為方便同學,題目給了一個等價的描述:

\omega^m = 1 and
\omega^h \neq 1 for any factor h of m (1 \leq h < m)

為何上述兩個描述是等價?同學試證明一下吧。

再觀察上述所謂『第一類』的根(即不是 1 的 6 次本原根者),它們分別是以下方程的根

z^2 = 1
z^3 = 1

注意:2 和 3 皆是 6 的真因子。凡不屬上述兩式的 1 的 6 次根,即是 1 的 6 次本原根

好了,現在大家對本原根或有點了解,再看看原來的題目。首先,有多少個 1 的 27 次本原根?只要考慮 27 的真因子:3, 9。那麼,以下式子的根,就不是本原根了:

z^3 = 1
z^9 = 1

比方說,\alphaz^9 = 1 的其中一個根,即 \alpha^9 = 1,從而 \alpha^{27} = (\alpha^9)^3 = 1^3 = 1,即 \alpha 是 1 的其中一個 27 次根,但 \alpha 不是 1 的 27 次本原根,因為 \alpha 的 9 次方已經是 1 了。

另外,滿足 z^3 = 1 的根,自動也滿足 z^9 = 1;所以 z^9 = 1 的根,就是所有不是 1 的 27 次本原根了。而 z^9 = 1 共有 9 個根,即有 9 個不是 1 的 27 次本原根。因 z^{27} = 1 有 27 個根,當中有 9 個不是 1 的 27 次本原根,所以餘下的 27 – 9 = 18 個根就是 1 的 27 次本原根。亦即 n = 18

注意到

x^{27} - 1 = (x^9)^3 - 1^3 = (x^9 - 1)(x^{18} + x^9 + 1)

所以那 18 個 1 的 27 次本原根,其實就是

x^{18} + x^9 + 1 = 0 的根,所以

\prod_{i=1}^{18}(x - \alpha_{i}) = x^{18} + x^9 + 1

SBA 時間:對於正整數 m,試找出 1 的 m 次本原根之數目。(答 \phi(m),其中 \phi 是歐拉函數 Euler’s totient function

寫後記:可笑,我就是可以把本來一兩句說完的話以長篇大論之,唉,這是中學授課員也,悲。

2 則迴響 »

  1. (a)和(c)都能解出,但不知道為甚麼解不出(b), 可以解釋下嗎?

    迴響 由 NT — 2010/08/11 @ 4:55 下午 | 回覆

    • It is easy to have

      x^{27} - 1 \equiv (x - 1)\displaystyle \prod_{k = 1}^{13}(x^2 - 2x\cos\frac{2k\pi}{27} + 1)

      then

      \frac{x^{27} - 1}{x - 1} = \displaystyle \prod_{k = 1}^{13}(x^2 - 2x\cos\frac{2k\pi}{27} + 1) for x \ne 1

      now taking x \rightarrow 1, and by (a), result follows.

      迴響 由 johnmayhk — 2010/08/14 @ 1:23 下午 | 回覆


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 變更 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 變更 )

Facebook照片

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 變更 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 變更 )

連結到 %s

在WordPress.com寫網誌.

%d 位部落客按了讚: