Quod Erat Demonstrandum

2008/02/06

數學應用題:拍賣

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 12:55 上午
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太太常以數學(普)書作我的(例如生日)禮物。其中一本是《數學謎工》(The Puzzler’s Elusion)作者是 Dennis Shasha。書面有宣傳句:『最靈活的數學題型,挑戰基本學力測驗』,或許將來的數學考題,比如 SBA(如有的話)可能也偏向這些形式,讓我抄一道題供大家參考。

【場景】

有兩家公司,A 和 B,生產類似的競爭產品。雖然 A 公司是比較小的公司,但市場佔有率正在擴大。A 公司的產品需要用到某種機器,其每月的月產量只有6 部,A 公司的陳生每個月必須採購 2 部。

這種機器透過一般的英式公開拍賣會銷售,價錢從某個設定的底價開始往上加。出價的規則是每次增加 1000 美元,而且出價不可超過自己的財務負擔能力。

直到不久前,陳生都是唯一的出價者,所以能夠以最低價錢每部 5000 美元投得。然而,B 公司也打算開始加入競標,據說是為了牽制陳生。因為陳生是個好客戶,他享有優先出價的特權,所以問題的重點圍繞在每次拍賣會上B 公司願意投注多少錢,與多少錢才足夠完全阻止陳生,假設 B 公司的高層只有這個目的。

【問題】

1. 假設陳生代表的 A 公司只有 10 萬美元可以用於競價,而且需要 2 部機器。若市場上只有 3 部機器求售,那麼 B 公司需要多少錢才能阻止陳生買齊 2 部機器?
(ANS: 102000 美元)

2. 假設陳生只有 10 萬美元可以用於競價,而市場上有 6 部機器求售。設 B 公司的預算只有 20 萬美元,問陳生可否確保競投到 2 部機器?

3. 假設陳生只有 10 萬美元可以用於競價,而市場上有 10 部機器求售。設 B 公司的預算只有 20 萬美元,問陳生可否確保競投到 3 部機器?

4. 假設 B 公司願意付任何價錢去阻止陳生買到 6 部機器中的 2 部,但卻不確定陳生擁有多少錢作競價之用,只知道總額不超過 10 萬美元。你能否替 B 公司找出最佳競標公式,能夠確保花費比知道陳生預算的情形下不超過 10 萬美元?如果不能,那麼 B 公司需要多花多少錢?如何可以,那麼 B 公司能否用較少的代價達到目的?

這題不用什麼微積分啦,三角幾何啦,也沒有如『火星文字』的數學符號,考的是一般公眾人士認為的『基本數學能力』。同學,你會怎樣回答?

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