Quod Erat Demonstrandum

2008/02/09

[PM] Fixed point (不動點)

Filed under: Pure Mathematics,Teaching — johnmayhk @ 3:16 上午

年三十,湛同學回校問數:設 f 是『自己打自己』的連續函數,證明 f 存在不動點。

這是純數補習習作某題,詳表如下:

Let f : [a , b] \longrightarrow [a , b] such that f(x) is continuous on [a , b]. Prove that there exist c\in [a , b] such that f(c) = c

這是經典且漂亮的習題。

f 的值域(range of f)為 [a , b],故

對所有在 [a , b] 內的 x,恆有 a \le f(x) \le b

g(x) = f(x) - x,則

g(a) = f(a) - a \ge 0 – – – (1)
g(b) = f(b) - b \le 0 – – – (2)

若 (1) 的等號成立,取 c 為 a。
若 (2) 的等號成立,取 c 為 b。
若 (1) 及 (2) 的等號皆不成立,即 g(a)g(b) < 0
由於 g(x) 在 [a , b] 上連續,
故區間 (a , b) 內必存在 c,使 g(c) = 0
亦即 f(c) = c

有修 Applied Mathematics (II) 的同學應該對此法不會陌生,記得 Fixed point iteration 嗎?那個證明的開端就是這個。

還有很多關於『不動點』的東西想說,但,我實在太累了,還在生病中。

3 則迴響 »

  1. 很美麗的證明,就像重溫了一些很久沒有接觸的東西。我現在主力教AMaths,也沒有做過這些了。有機會讓我們看多一些「不動點」的東西吧。希望你在開課前痊癒。

    迴響 由 Kam — 2008/02/09 @ 11:26 下午 | 回覆

  2. 謝謝 Kam sir 關心。我剛從山東回來,當地氣溫雖屬零下,但感恩地,我身體反而好了些。

    偶爾也讀貴網誌,感到你也是願意分享所思所感的人,非常難得,望繼續努力以餐讀者!

    祝教安

    迴響 由 johnmayhk — 2008/02/16 @ 10:36 上午 | 回覆

  3. […] 從握手到不動點(二) Filed under: Pure Mathematics, Teaching — johnmayhk @ 5:50 pm 早前解答同學問的一道習題,正是有關『不動點』之例。這例子討論的情況是『一維』的,那麼『高維』的情況,有否所謂不動點之現象?答案是肯定的,不過我不能在此給一般的證明,但特別地,對『二維』的情況,讓我在此簡介以接續上一次討論。 […]

    通告 由 從握手到不動點(二) « Quod Erat Demonstrandum — 2008/04/09 @ 5:51 下午 | 回覆


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