Quod Erat Demonstrandum

2008/02/29

Taylor’s polynomials@濟濟一堂

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 3:14 下午

From『濟濟一堂學術討論區』2003-11-05 09:28:45

因 2005 年以前在我的舊論壇『濟濟一堂學術討論區』張貼的東西已不能直接連結,幸好我還有 backup,雖然不是什麼好東西,但相信對中學的同學也有一丁點的幫助吧。但不幸地,backup 不能顯示作者名稱,所以忘記問者,只記得答者是在下。

溫下AS A.Maths..發覺不對… Taylor’s polynomials。只是把一點造成好接近,卻不能把polynomials扮成好似個curve,咁個error應該是超大ga wo! d exmaples都是不是太大。如果error超大的話,我們是要找另一點再扮?定有其他方法?

Whether an error is “large" is not a mathematical problem but a value judgement, which depends on the purpose of your approximation. If the error converges, the approximation will become more accurate as more Taylor’s terms are added.

先理解一下,把一個 function 展開的意思。舉例,我們寫

其意思是說,對於固定的 x,以下數列

會收歛於 sin(x),可記為



〔注:這種收歛方式稱為逐點收歛(pointwise convergence)。〕

問題是,是否任何點 x = x_0,我們都有以下的情況呢?

有的話,我們只要加足夠多的項(sufficient number of terms),便可不斷地接近 sin(x_0) 的值,其誤差可以「要幾細,有幾細 」。

對於 sin(x),我們可證明,對於任何實數 x,恆有


一般地,我們有所謂 Taylor Series Theorem,陳述如下:

Taylor Series Theorem

f:(a , b) rightarrow mathbb{R}f 是無限可導(infinitely differentiable),對某個在 (a , b) 中的 c,若存在正數 Malpha,使


證明

由 Taylor’s theorem (見文末的附錄),

(讀 pure math 的同學,試證之!)再由「三文治」,得

換言之,

證畢。

現在看回 sin(x) 這個函數。設 f(x) = sin(x),我們易知

應用 Taylor Series Theorem,立即知,

又例如,我們寫

是否可以說

呢?只要應用 Taylor Series Theorem,便知這是可以的。設 f(x) = e^x on (-r , r),有

另外,

由 Taylor Series Theorem,我們有

因 r 是任意的正數,則

順帶一提:
Taylor Series Theorem 的逆命題是不對的。例如

我們可把它用 Talyor Series 沿 x = 0 展開成

但卻沒法找到所謂的正數 Malpha,使

(自行驗證吧。)

順帶二提:
上面曾出現的例子,例如 sin(x),其 Taylor Series 就等於其函數本身。但 不是所有函數的 Taylor Series,都等於該函數!讓我舉出一個常見的例:

可證明,

故此 f(x) 的 Taylor Series 是

然而, ≡ 0 ne f(x)

可見,當我們需要把一個函數 f(x) 展開成 Taylor Series,往往「不理三七廿一」,即寫 f(x) = …(該 Taylor Series),這個做法可能會出現問題的!^_^

順帶三提:
用 Taylor Series 去逼近一個函數 f(x),其限制很大,起碼該函數需要「無限可導」這個強烈條件。對一些「不太好」的函數,Taylor Series 根本找不出來,無能為力;但感謝數學家(Weierstrass),使我們知道,縱使函數 f(x) 「不太好」,只要它是連續的話,我們都可找到一列的多項式(a sequence of polynomials),逐步逼近 f(x)。其陳述如下:

(Weiestrass Approximation Theorem)

f(x) : [0 , 1] rightarrow mathbb{R} 是連續函數,對任意正數 varepsilon,我們總能找到多項式 P(x),以致對於所有在 [0 , 1] 中的 x,恆有 |f(x) - p(x)| < varepsilon

(白話解就是說 f(x)p(x) 可以「想幾接近就有幾接近」。專業些說就是 p(x) 在 [0 , 1] 上一致收歛於 f(x)。「一致收歛」(uniform convergence)有別於之前提及的「逐點收歛」。

證明?現在太累,不打了,有同學要求才給大家吧。

= = = = = = 附錄 = = = = = =

欲證 Taylor’s theorem(泰勒定理),先證 Rolle’s theorem(洛爾定理),再證 Generalized Mean
Value theorem(一般的中值定理) ,讓我簡介一下。

Rolle’s theorem

f 是 [a , b] 上的連續函數,且在 (a , b) 上可導,則存在 使 f'(c) = 0。(證明太易,從略。)

Generalized Mean Value theorem

f, g 是 [a , b] 上的連續函數,且在 (a , b) 上可導,則存在 使

(注:取 g(x) = x 時,上式化約為我們熟悉的中值定理。)

證明

巧妙地,設

易知 F(a) = F(b),故可應用 Rolle’s theorem,即存在 使 F'(c) = 0,即

好了,主角出場!

Taylor’s theorem

f : (a , b) rightarrow mathbb{R}f(a , b) 上是 n 次可導(n times differentiable),則對於任何 ,存在一個介乎於 xc 的數 xi,使

證明

I 是以 xc 為端點的閉區間(closed interval),對某

定義
 及 

由 Generalized Mean Value theorem,我們有


(同學,想一想便知了!),得

證畢。

後記,嘩!forum 的東西是不能『直接』貼於此 blog,尤其本篇涉及很多圖檔,要弄很久才可把東西在 blog 中乖乖顯示,死,這裡只是一篇,我還有六百五十幾篇舊文,orz!還是待我有非常充裕的時間才做這個『移植』的工作吧。

2 則迴響 »

  1. 好佩服john sir 教書之餘仲係網上分享教學心得, @@不過睇黎我都係無咩可能睇到你個blog 1/10內容=.= 更莫講話以前forum d post 啦..

    迴響 由 ll — 2008/02/29 @ 9:38 下午 | 回覆

  2. 我不時想 delete blog。究竟寫這些東西幹嘛?

    曾聽過『芝麻街』的比喻。大概意思是:『芝麻街』為了教英文嗎?但懂得英文的小朋友根本不是看『芝麻街』來學英文的。不懂英文的嬰孩,看也無用。哪『芝麻街』幹嘛?

    這 Blog 有類似的『功能』吧?

    對我來說,寫 Blog 當玩 online game 外,還有一個自私的理由。

    嗯,打個比喻:若一般無聊的在課程內的中小學的數學是『地獄』,那麼有趣的在課程外的甚至大專以上的數學就是『天堂』的話,這個 Blog 就好像『煉獄』,我就在這個無間煉獄猶如無主孤魂般上下尋索;天堂有很多深刻的珍寶,然而不透過在煉獄磨練一下曾經鋒利的神兵利器,我會極容易墮落(BA 用語)到地獄,(注:這比喻並不代表本人信仰立場)我認為是一種可惜。

    另外,這 Blog 亦可提供給數學高手們一些找錯處或暗笑的主題,不要忘記『芝麻街』也有娛樂性呀!

    但如果幸運到有人從中學習到十分一或千分一的數學或相關的東西,甚至對數學產生微量興趣,那便真的要哈利路亞!

    這裡不是天堂,但在這個煉獄裡,我會極力告訴大家:天堂很美,天外有天。

    迴響 由 johnmayhk — 2008/02/29 @ 11:47 下午 | 回覆


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