Quod Erat Demonstrandum

2008/03/08

1 – 1 + 1 – 1 + … = ? @ 濟濟一堂

Filed under: Junior Form Mathematics,Pure Mathematics — johnmayhk @ 4:08 下午

今早,帶同學往培正參加培正數學邀請賽決賽,因 500 名參賽者比賽後,大會隨即在頒獎禮中宣佈結果,要花點時間計分。在計分時間,培正中學的葉校長和台下師生『玩遊戲』,問九章算術的問題,台下同學也踴躍參加,答對有 past paper 送。最後,因大會仍未可公佈分數,於是葉校長再問一道相信是臨時題目:1 – 1 + 1 – 1 + … 有多少個答案?其實問題未界定清楚,如果『答案』是指那個無限級數(infinite series)的極限值,這題是沒有答案的,皆因這無限級數是發散(divergent)的。但如果假設級數收斂(convergent),那麼我們可以『計』出多少個『答案』?係無限個。

From 『濟濟一堂學術討論區』2004-01-20 03:19:32

這問題常以「謎題」形式來把玩,原因是同一式子,竟可「運算」出 0,1,0.5 等不同數值,「算法」如下:

(一)
1 – 1 + 1 – 1 + …
= (1 – 1) + (1 – 1) + …
= 0 + 0 + …
= 0

(二)
1 – 1 + 1 – 1 + …
= 1 – (1 – 1) – (1 – 1) – …
= 1 – 0 – 0 – …
= 1

(三)
設 S = 1 – 1 + 1 – 1 + …
S = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + …)
S = 1 – S
2S = 1
S = 0.5

除了得出以上三個值,我們還有第四種「算法」,讓我們「隨心所欲」地「運算」出分子分母皆是單數的任何分數(fractions )。

「運算」過程將會涉及 sum of G.P. 的公式,故在此先溫習一下:

For x ≠ 1 ,

考慮 | x | < 1 及 n → ∞ 時,有所謂 sum to infinity 的公式

好了,讓我「證明」 1 – 1 + 1 – 1 + … = 3/7 吧。

利用上述「方法」,我們可以「證明」1 – 1 + 1 – 1 + … = P/Q,其中 P,Q 可以是任何大於 1 的單數。當然,這荒謬的結果,只是謎題吧了,沒有什麼大不了。

Also read

http://www.hkedcity.net/ihouse_tools/forum/read.phtml?forum_id=27877¤t_page=&i=1239628&t=1239628

3 則迴響 »

  1. 您好,我看了你的WP已有一段時間了,今次見到你講的東西碰巧和我最近看的數學資料有點關係,所以在這裏留言,希望交流一下。

    這個series正如你所說是發散的,是沒有答案的。不過如果考慮一個叫Cesaro Sum的東西,用英文可以說這個數列是Cesaro summable to 1/2的。關於Cesaro sum的資料可以查 http://en.wikipedia.org/wiki/Ces%C3%A0ro_summation

    迴響 由 Marco_Dick — 2008/03/17 @ 3:42 下午 | 回覆

  2. Dear Marco_Dick

    您好,感謝您提供的資料,讓我立即聯想到,在自然數集任取一數,運算出 P(奇數) = 1/2 的其中一個方法,就是

    \lim_{n \rightarrow \infty}P_n 其中,P_n := 在 1 至 n 中任取一數,它是奇數的機會。

    告訴您,我也是您們 mathdb 的忠實 fans,不過只是做 CD-Rom 的,我還記得 3 月 14 日是您們的開幕大日子!(\pi 之日)感謝您們為香港數學教育作出的貢獻!

    迴響 由 johnmayhk — 2008/03/17 @ 5:32 下午 | 回覆

  3. […] 開始。之前在下也討論過,現在集中看有關重排的討論。 […]

    通告 由 重排 rearrangement (part 2) « Quod Erat Demonstrandum — 2008/08/23 @ 12:25 上午 | 回覆


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