Quod Erat Demonstrandum

2008/04/09

從握手到不動點(二)

Filed under: Pure Mathematics,Teaching — johnmayhk @ 5:50 下午

早前解答同學問的一道習題,正是有關『不動點』之例。這例子討論的情況是『一維』的,那麼『高維』的情況,有否所謂不動點之現象?答案是肯定的,不過我不能在此給一般的證明,但特別地,對『二維』的情況,讓我在此簡介以接續上一次討論

在平面三角形 \Delta 上,定義連續函數 f : \Delta \rightarrow \Delta(所謂自身映射)。證明:存在『不動點』,即在三角形 \Delta 上,存在一點 X,滿足 f(X) = X

讓我們可以先考慮一個特別的三角形 ABC(見下)

它是三維空間下的正三角形。大家不用害怕,我們熟知的二維空間(平面)座標 (x,y),有兩個 coordinates;至於三維空間內的座標,可表為 (x,y,z),有三個 coordinates 而已。圖中三角形的頂點,座標分別為 A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1),剛好是邊長一個單位的正方體的三個頂點,易知 \Delta ABC 是正三角形。把它放好一點,如下

好了,假設我們已經定義了函數 f,即對 \Delta ABC 上任何一點 V,函數 f 會把它映射到別的一點 W(見上圖),我們可表之曰:W = f(V)

現在我們要證明的是:存在一點 X,使 f(X) = X

要直接找出這個『不動點』 X 是頗困難,因為起碼我們根本不知道具體的 f 是什麼,這時,我們便要運用一種非常厲害的數學『武器』:反證法。即是:假設『不動點不存在』,然後推論出一些矛盾或不可能發生的事情,從而推翻『不動點不存在』這個假設,得出『不動點是存在的』這個結論。

好,現在就假設『不動點不存在』,即對任何 Vf(V) \ne V

還記得上回提及的 Sperner 引理嗎?我們要在三角形上加一些點,再根據一些規則為那些點標上 1,2 或 3 其中一個標號。現在,我們也要為 \Delta ABC 上的點標上 1,2 或 3。不過,我們要定什麼樣的規則,才可滿足 Sperner 引理中對標號的規定,即:頂點分別標為 1,2 及 3;且 V_iV_j 上的點只能標為 ij

原來我們只要如此定規便可:

比方說,\Delta ABC 上某點 V,其座標是

V(0.2,0.3,0.5)

經由函數 f 的變換後,得到 W(即 W = f(V)),其座標為

W(0.6,0.1,0.3)

將『新座標』減『舊座標』,即 W - V,即

(0.6,0.1,0.3) - (0.2,0.3,0.5)
= (0.4,-0.2,-0.2)

看看,第一個出現負數的座標,是 y-座標,即所謂第 2 個座標,這時,我們就把 V,標號為 2。

又例如,X(0.5,0.4,0.1),又假設 f(X) = (0.4,0.3,0.3),則 X 的標號是 3,因為『新座標』減『舊座標』,得 f(X) - X = (0.1,0.1,-0.2),可見,第一個出現的負座標是 z-座標,即第 3 個座標。

關於標號,這裡有兩個問題。

第一:『新座標』減『舊座標』後,是否一定有『負座標』?如何沒有,則上述標號的方法是不良定義(not well-defined)
第二:這種標號法是否配合 Sperner 引理的要求?

要回答上述問題,我們要知道以下事實:

對於三角形 ABC 上的任何一點 V(a,b,c),其座標和必然是 1,即 a + b + c = 1。為何會這樣?已往純數課程有三維座標幾何,相信輕易得到這個結果,現在讓我由零開始地說。

修附加數的同學懂得向量內積(inner product 或 dot product)的運算,比如兩支互相垂直的向量之 dot product 是零,單位向量和它自身的 dot product 是 1,具體如下:

\widehat{i}\centerdot \widehat{i} = 1, \widehat{j}\centerdot \widehat{j} = 1\widehat{i}\centerdot \widehat{j} = 0 從而推出:

(a\widehat{i} + b\widehat{j})\centerdot (c\widehat{i} + d\widehat{j}) = ac + bd

現在擴充到三維的情況:引入指向正 z-軸 (z-axis) 的單位向量 \widehat{k},得出

\widehat{i}\centerdot \widehat{i} = 1, \widehat{j}\centerdot \widehat{j} = 1, \widehat{k}\centerdot \widehat{k} = 1, \widehat{i}\centerdot \widehat{j} = 0, \widehat{j}\centerdot \widehat{k} = 0\widehat{k}\centerdot \widehat{i} = 0,從而推出:

(a\widehat{i} + b\widehat{j} + c\widehat{k})\centerdot (d\widehat{i} + e\widehat{j} + f\widehat{k}) = ad + be + cf

公式類似二維的情況。

有了這個公式,我們可以證明,對於三角形 ABC 上的任何一點 V(a,b,c),恆有 a + b + c = 1

首先,三角形的頂點,諸如 A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) 明顯滿足 a + b + c = 1。現在看下圖,

V(a,b,c)\Delta ABC 上的一點。故

\overrightarrow{OV} = a\widehat{i} + b\widehat{j} + c\widehat{k}
\overrightarrow{AV}
= -\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OV}
= (-\widehat{i} + 0\widehat{j} + 0\widehat{k}) + (a\widehat{i} + b\widehat{j} + c\widehat{k})
= (a - 1)\widehat{i} + b\widehat{j} + c\widehat{k}

現在,考慮由 O(0,0,0) 連到對面頂點 D(1,1,1) 的一支向量 \overrightarrow{OD},不難想像
\overrightarrow{OD} 垂直平面 \Delta ABC,即
\overrightarrow{OD} 垂直平面 \Delta ABC 上任何一條直線,即
\overrightarrow{OD} 垂直 \overrightarrow{AV},即
(\widehat{i} + \widehat{j} + \widehat{k}) \centerdot ((a - 1)\widehat{i} + b\widehat{j} + c\widehat{k}) = 0,即
(a - 1) + b + c = 0,故
a + b + c = 1

如此,所謂『新座標減舊座標』就一定有負座標出現。因為,設舊座標 V(a,b,c),新座標為 W(d,e,f),則新座標減舊座標是 (a-d,b-e,c-f)。因假設『不存在不動點』,故 a-d,b-e,c-f 這三個量不能同為零。另外,(a-d,b-e,c-f) 的座標和:(a-d)+(b-e)+(c-f) = (a+b+c)-(d+e+f) = 1 - 1 = 0,所以 a-d , b-e , c-f 這三個量不能同為非負數。即是說,該三個量之中,一定有負數,即負座標一定出現,亦即前述的標號方法是有定義的(well-defined)。

另外,我們要關心的是前述的標號方式,是否滿足 Sperner 引理的要求,即

(1) 大三角形的頂點分別標為 1,2 及 3。
(2) 在大三角形的邊 V_iV_j 上的點,只能標號為 ij

我們先拿頂點 B(0,1,0) 為例,假設它經 f 映射到新點 (a,b,c),那麼,新座標減舊座標,得 (a-0,b-1,c-0),由於 a,b,c 非負,且 a + b + c = 1,所以,第一個出現的負座標是 b-1,即是 y-座標,故 B(0,1,0) 被標號為 2。類似地,A(1,0,0), C(0,0,1) 分別標號為 1 及 3。滿足了要求 (1)。

另外,我們拿線段 AB 上的點為例,它們要被標號為 1 或 2。能夠嗎?能。因為 AB 上的任何點,其 z-座標一定是零(再看看上圖吧),那麼『新座標減舊座標』後,第一個負座標肯定不會出現在 z-座標(第 3 個座標),即該點只能標號為 1 或 2,不能標為 3。類似地,線段 BC 上的點必被標號為 2 或 3;線段 CA 上的點必被標號為 3 或 1。如此,要求 (2) 也可滿足了。

嘩,原來已經寫了如此多廢話,都是下次再談。

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  1. […] Filed under: Pure Mathematics, University Mathematics — johnmayhk @ 3:36 am 承上次的討論,我們以所謂『新減舊後第一個負座標』來標號,滿足 Sperner […]

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