Quod Erat Demonstrandum

2008/04/10

Applied Math 小談:互斥事件@濟濟一堂

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKALE,Teaching — johnmayhk @ 12:05 下午

派了中六的測驗,有人差兩分爆燈,有人卻只得 1 分。最低分的同學的卷是寫了很多東西,只可惜…

當中有一個誤計,在此談談。

阿甲和阿乙比賽,共 5 場;每場,阿甲也有相同的勝利的概率 0.25,設各場互相獨立,問阿甲勝 2 場或以上的概率。

該同學答:0.25^2

他的解釋是,0.25^2 即是阿甲勝了 2 場,其他場如何不用理會,那麼,阿甲勝 2 場或以上之概率便是 0.25^2 了。

我可以舉出正確做法,但授課員最好『有破有立』,即是也要向同學解釋,為何他的做法是錯,這個往往不是太易。

錯誤的關鍵在於:

0.25^2 代表甲勝『某』2 場之概率。
0.25^2 並不代表『有』2場是甲勝之概率。

比如 5 場中,問甲勝第 1 場和第 4 場的概率,就是 0.25\times 0.25 = 0.25^2。又或甲勝第 3 和第 5 場,計法無異,答案都是 0.25^2

但原問題是問:甲勝 2 場或以上。直觀想,『甲勝 2 場或以上』比『甲勝第 1 場和第 4 場』的可能性多,亦即是說『甲勝 2 場或以上』比『甲勝第 1 場和第 4 場』的機會高,所以原問題的答案應該不是 0.25^2

正確做法

這其實是一道基礎題,一般做法是

P(甲勝 2 場或以上)
= 1 – P(甲勝 0 場) – P(甲勝 1 場)
= 1 - 0.75^5 - C^5_1(0.25)(0.75)^4

延伸閱讀:順便在此舊帖重貼,同學也請看看:

張貼時間:2004-06-24 21:16:19

盒中有黑球 1 個,白球 4 個。每次隨機地抽出一球,再放回盒中。若共抽出球 10 次,問最少抽出 5 次黑球之機率何如?

這是一種常見的概率問題,可歸類於「二項分佈」(Binomial distribution)。

上述問題的答案如下:

但同學甲提出:何必這麼煩,答案不就是 嗎?
問之,曰:「啊,因為「最少有 5 次抽黑球」,我們只需考慮,在 10 次中,有某 5 是抽黑球,機率為 (\frac{1}{5})^5,其他可以是黑、可以是白 ,無需理會;另外,在 10 次中,選 5 次是黑球,可能情況有 C^{10}_5 個,所以答案是 。」

同學,在繼續之前,你先想想這說法的問題在哪?

同學甲的說法是有問題的,致命關鍵是:互斥事件(或不相容事件 mutually exclusive events)。

參看正確答案的 6 項,

它們分別代表著以下 6 個「互斥事件」的機會:

有 5 次黑球,5 次白球
有 6 次黑球,4 次白球
有 7 次黑球,3 次白球
有 8 次黑球,2 次白球
有 9 次黑球,1 次白球
有 10 次黑球,0 次白球

因為它們是「互斥」(即沒有「重疊」事態)的,我們才可運用「加」這個動作,把機會率加起來,得出最終答案。

但看同學甲給出的答案:

其實代表著

問題是,這 C^{10}_5 項是否代表著 C^{10}_5 件互斥事件呢?

究竟 (\frac{1}{5})^5 是什麼?

正如同學甲說,(\frac{1}{5})^5 是代表某 5 次抽出黑球的機會。比如在

第 1,2,3,4,5 次抽出黑球,以圖表之:

出現上述情況的機率,不錯是 (\frac{1}{5})^5

除了上述情況,某 5 次出現黑球,可以是在
第 1,2,3,5,6 次抽出黑球,以圖表之:

出現上述情況的機率,不錯是 (\frac{1}{5})^5

上面只是其中兩種情況,那總共有多少不同情況?答:在 10 個位置找出 5 個放下黑球, 即 C^{10}_5,把 C^{10}_5(\frac{1}{5})^5 加起,所求機率豈不是 嗎?錯!因為在這個情況,我們不能進行「加」這個運算,理由是,這C^{10}_5 個情況根本不是互斥的,它們實在有太多「重疊」了。

因為我們只考慮某 5 次的情況,餘下的 5 次卻不作考慮,那麼,比方說,以下兩個情況


所包含的事態,便有重疊的可能,例如:

既非互斥,便不能用「加」了!

3 則迴響 »

  1. 概率和Counting是一些看似容易,但其實很艱深的課題。我的學生也覺得它們難於理解。

    迴響 由 Kam — 2008/04/10 @ 9:58 下午 | 回覆

  2. 真系好難,但不放棄

    迴響 由 JAMES — 2008/06/16 @ 9:54 下午 | 回覆

  3. […] 誠如之前寫過,授課員向學生展示正確做法不難,如本例 […]

    通告 由 小心重覆數算 « Quod Erat Demonstrandum — 2009/11/26 @ 11:53 下午 | 回覆


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