Quod Erat Demonstrandum

2008/04/15

和 CDI officers 會議後

Filed under: Teaching — johnmayhk @ 6:08 下午
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8/4 課程發展處(Curriculum Development Institute, CDI)兩名 officers 到校和我們談談新高中數學科的事。因事前沒有 agenda,也沒有要求我們準備什麼的環境下,很奇怪,教師們都或多或少存在一些負面的思想。科主任著我準備 visualizer,電腦等,結果用不著,他們真的來和我們『傾偈』。

他們先問我們對舊課程的意見。如果我們早些準備,可能效果好一些,那天有點隨意『吹水』之感。

科主任對在普通數學科刪除『二分法』(method of bisection) 有點意見,認為這是值得保留。Officer 回應道,她當年也不希望刪,但當時其中有意見認為:做二分法,學生可以『機械』地,『唔知做緊咩』地便能夠取 2 分。另外,用圖像法(graphical method)也能找到方程的根。這也不無道理,但 (1) 算法 (algorithm) 的思想是一個重要的解難工具,二分法就給不修電腦科的學生一個認識算法機會。(2) 圖像法不是不好,看圖解釋是很容易的進路,但,圖像法似乎不能體驗二分法可以『不斷逼近』實根這個概念:只要時間許可,解的精確度可以『要多好有多好』。不用說,圖像法的『成本效益』較二分法低:辛苦地繪了圖,只是看看那個 x 截距(x-intercept)而已。(3) 『送分』給學生,嗯,是好事還是壞事?

有關中四學習的圖像的變換(transformation of graphs),我問:究竟要求我們老師要學生明白當中的道理(例如問題為何 y = f(x – 1) 是把 y = f(x) 的圖像右移一個單位),還是知道這樣的事實(例如知道y = f(x – 1) 是把 y = f(x) 的圖像右移一個單位)?Officer 說是要學生明白。如果是這樣,現行的考核(比如做 MC)根本不能看到這個分別,相信要讓文科的同學解釋(是解釋,不是知道) y = f(\frac{x - 1}{2}) 的圖像如何從 y = f(x) 的圖像獲得,暫時覺得可能性不大(寄望新高中?)。中一至中三對直線方程的著墨較早年少,一到中四,除了二次方程的圖像(Quadratic graphs),更要處理一般的圖像及其變換,也有些難度。Officer 稱,中四開頭不一定要教二次方程,嗯,現行教科書是到中五才教直線方程(和圓形方程一併考慮),如果那時才談二次方程,恐怕在這個考試主導的大環境下,不是太現實。

我亦提出初中的『立體』(three dimensional figures),『空間感』難教(如何論及某個 net 可否變成某個立體),課題也難以延伸(知道正方體有 13 條旋轉對稱軸 axis of rotational symmetry 又如何?用來討論群 (group) 嗎?)是否對中四五的立體幾何真的有幫助?

談到初中,Officer 指出,來年的小六升中生就是受新小學課程的洗禮,新課程(沒)有什麼?他寥舉數例:

(1) 他們處理的分數四則運算,分母不超過 12。
(2) 在每條數式中,只能出現一個小括弧(沒有中括弧,大括弧的概念)。
(3) 運算的步驟數目不能太多(好像只能是 3 或 4 步完成)。
(4) 不懂以短除法求最大公因數,亦沒有質因數連乘的概念。
(5) 沒有繁分數(即多於一條分線的分數)的概念。

當然,圓面積啦,正負數啦,一早已無。質數(prime number)亦將會消失於小學(或/及中學)的課程中。Officer 反問:學質數又有什麼用?我打趣話:可否『和國際接軌』?我這樣說是因為 Officers 稱要引入 transformation (什麼平移啦,反射啦)是有見於別的國家也有這樣的課題,那麼『質數』又在國際初等數學教育的角色如何?(當然,與會人士當我攪 gag 而已。)如果純以『有冇用』來定某些數學課題存在與否,是否容易走上『功利』『實用』主義而忽略課題的文化或美學的價值?大家願見香港走上『印度之路』嗎?(參考:《印度學生怕數學,教育當局廢除數學必考科》)。

我問:課題學少了,是否等於學好了?Officer 稱現在的小學生較已往的更明白為什麼 1 \div \frac{1}{2} 等於 1\times 2,且表達能力更好。這是不錯。但除非在往後的銜接上沒有衝突或接不上,複雜無聊繁瑣的代數運算無疑叫人詬病,但不做相關的運算亦難以看到學生是否『真的明白和掌握』一些數學能力。剛派中二的測驗卷,不少同學寫:

\frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6}

他們不把 \frac{3}{6} 變成 \frac{1}{2},相信有不少原因,但其中一個或許是代數運算不夠靈活吧?他們應該知道為何 \frac{3}{6} 等於 \frac{1}{2},只是寫不到出來。對於(基礎的)代數運算遇上的問題,這個只是冰山一角。除非把課題完全刪去,相信它永遠與我們的學生同在(還好,授課員的飯碗可保)。

弄通基礎是好,但若在初中數學教育走『數學基礎』之路線,諸如算術基礎、幾何基礎等嚴謹證明,似乎難度更高。又或者,聽新高中講座談到出 integration by parts 的題目,運算步驟也有限制(不能要學生做『太多步』),反而可能把數學『人工』地弄難了。張景中先生《把數學變得容易一些》一文,值得讀讀。

還有一些 SBA(school-based assessment)的東東,累了,不想了。

6 則迴響 »

  1. “Officer 反問:學質數又有什麼用?"

    If I were in the audience, I would ask: have you ever shopped online? Do you know how it works? Do you know why we are safe to shop using our credit cards online?

    If the answer is: no…(to all of them) then I will probably tell the officer and he/she shall never say that prime numbers are useless.

    I would also, add, if you are only thinking about the kind of mathematics that is useful to “you", then I guess 90% of the students in HK do not need to study mathematics after primary schools. The whole curriculum should only center around how to use a calculator. Do you agree?

    As a matter of fact, I think that cutting materials in syllabus is doing more bad than good to the students in Hong Kong…I can probably write pages about why this is the case and I shall probably not dive into this….

    迴響 由 koopa — 2008/04/15 @ 10:51 下午 | 回覆

  2. “(1) 他們處理的分數四則運算,分母不超過 12。
    (2) 在每條數式中,只能出現一個小括弧(沒有中括弧,大括弧的概念)。
    (3) 運算的步驟數目不能太多(好像只能是 3 或 4 步完成)。
    (4) 不懂以短除法求最大公因數,亦沒有質因數連乘的概念。
    (5) 沒有繁分數(即多於一條分線的分數)的概念。"

    難以想像!

    迴響 由 Soarer — 2008/04/16 @ 2:45 下午 | 回覆

  3. Thank you for the sharing from koopa and Soarer, showing their concern in future mathematics education in Hong Kong.

    May be I’d talked too much, just post my old utterance below.

    http://www.hkedcity.net/ihouse_tools/forum/read.phtml?forum_id=27877&current_page=&i=1239569&t=1239569

    迴響 由 johnmayhk — 2008/04/16 @ 5:34 下午 | 回覆

  4. 只是想說一點感受。

    我想作為CDI的官員,其思考方式竟然跟一般人一樣,根據一般人的想法去反問一眾老師學質數有甚麼用,這的確令人非常悲觀。悲觀的是我們改變的權利不在我們手裏。最近直接或間接地遇到太多這樣的人,未免感慨。

    說起小學的數學課程,我想起某日拿起堂妹的數學課本,現在已經淪落到「11」要開一課書教,「12」要開另一課書教。我不懂甚麼教育理論,但這聽起來,實在是荒誕得很。

    偶然在教初中生奧數,今天,我尚可以當他們知道有質數這回事,他們也能數出開首的一些質數,但要判斷一個數是否質數,無論在概念還是算法上,都已經超出他們的能力。我的老師說,十年後,數學能力高的一班學生或許問題還不算太大(假若香港在資優教育方面真的有進展的話),但一般學生,他們在數學上還可以有甚麼「渣那」?

    迴響 由 Marco_Dick — 2008/04/16 @ 8:11 下午 | 回覆

  5. 加插一句…
    現在的學生對數字的感覺極度脆弱

    1) 向中二拔尖班學生問: 可否不用計算機看出1122能被何數整除? 除了2以外,其他答案如3,11,6 等也沒有人答出

    2) 中三補底班學生功課的答案:
    某題目求y
    …….(略)
    到了y/3 = 2/4, 她很"巧妙"地利用了交叉相乘,寫了
    (4)(y)= (2)(3)
    4y = 6
    ….
    (最少,她得到了正確答案)

    難以想像以上措施實行後,學生還能否跟數字建立任何"友好關係"……..

    迴響 由 Daniel — 2008/04/16 @ 10:07 下午 | 回覆

  6. To Marco_Dick

    或許在上的人,他們所顧慮的不單純是數學,還有其他政治考慮,起碼還要考慮社會其他持分者之意見。或許這是『大環境』下的身不由己吧?是妥協的結果?不知道。但如果現在小學把『11』和『12』開兩課書教,相信問題已經到達非常嚴重的境地。

    To Daniel

    更多更奇怪代數運算,在學生的功課測驗『洋洋大觀』。有時我也看的麻木了。一向認為亞洲學生在基礎代數運算能力較國際其他地區為佳,但將來的香港學生還有沒有這個優勢?

    謝謝你們的留言。

    迴響 由 johnmayhk — 2008/04/17 @ 11:11 上午 | 回覆


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