Quod Erat Demonstrandum

2008/04/20

從握手到不動點(三)

Filed under: Pure Mathematics,University Mathematics — johnmayhk @ 3:36 上午
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上次的討論,我們以所謂『新減舊後第一個負座標』來標號,滿足 Sperner 引理的標號要求。現在進入『最後階段』。

直觀而粗略地,我們知道『三角化』的過程可以製作出非常細的小三角形。精確一點,我們起碼存在以下一種『三角化』的過程,使所有細三角形的邊都『要幾細,有幾細』。只要每一步,把細三角形的邊取半便可,情況如下:

第一步

設大三角邊長為 L,則細三角邊長 = \frac{L}{2}

第二步

細三角邊長 = \frac{L}{4}

如此類推,在第 n 步,細三角的的邊長 = \frac{L}{2^n}。可見,只要步驟夠多(即 n 足夠大),細三角形的邊長可以愈來愈少(\frac{L}{2^n} \rightarrow 0 as n \rightarrow \infty) – – – – – – (*)

設每一步,我們用所謂『新減舊後第一個負座標』,替加進去的點標號。那麼,由 Sperner 引理,必存在以『123』為頂點的小三角形。

現在構作一個點列(Sequence of points)如下:

在第一步中,找其中一個以『123』為頂點的細三角形,稱該頂點『1』為 v_1
在第二步中,找其中一個以『123』為頂點的細三角形,稱該頂點『1』為 v_2

在第 n 步中,找其中一個以『123』為頂點的細三角形,稱該頂點『1』為 v_n

如此,我們製作了一個點列 {v_n}。

問:這個點列是收歛於一點(converges to a point)嗎?不一定。但一定存在一個收歛的子列(convergent subsequence)。嗯,讓我為中學的同學解釋一下。

設一數列 {x_1, x_2, \dots x_n, \dots},所謂子列,就是 {x_1, x_2, \dots x_n, \dots} 的子集 (subset),比如 {x_2, x_4, \dots}。

在數學分析中,我們有一個很初等的定理:存在於某閉區間內的數列 {x_n}(即 {x_n} \subset [a,b])必然存在收歛的子列。

比如 {(-1)^n} 這個數列,存在於閉區間 [-1,1] 內。明顯,該數列本身並不收歛,但它卻存在收歛的子列,就是 {1,1,1,…} 和 {-1,-1,-1,…},它們分別收歛於 1 和 -1。

把『存在收歛子列』這事實,由數列擴充到點列的情況,就是說,上圖(紅色的)點列存在於大三角 ABC 中,這大三角是個閉而有界的集(closed and bounded set),我們便知存在收歛的子點列 {w_1, w_2, \dots} \subset {v_1, v_2, \dots}(為何會存在收歛子點列?大概可以想,紅點列的各座標不過是數列,即存在收歛的 x-座標子數列,考慮這個 x-座標子數列對應的 y-座標數列,也存在收歛的 y-座標子數列,於是 {v_n} 存在收歛的子點列也。)

好了,既知點列 {w_1, w_2, \dots} 收歛,設 \lim_{n \rightarrow \infty}w_n = w^*

為清楚起見,把 w_nw^* 的三個座標寫出,即設

w_n = (w_{n1},w_{n2},w_{n3})w^* = (w^*_1,w^*_2,w^*_3)

還記得 w_n 是什麼嗎?它其實是某個以『123』為頂點的細三角形標號為『1』的那頂點,不要忘記,我們還有在該三角形標號為『2』和『3』的頂點,分別稱該兩點為

s_n = (s_{n1},s_{n2},s_{n3})
t_n = (t_{n1},t_{n2},t_{n3})

n 接近無窮大,細三角形的邊長接近零 (by (*)),即

\lim_{n \rightarrow \infty} w_n = \lim_{n \rightarrow \infty} s_n = \lim_{n \rightarrow \infty} t_n = w^*

f 是連續函數,故此

\lim_{n \rightarrow \infty} f(w_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} f(s_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} f(t_n) = f(w^*)

亦即

\lim_{n \rightarrow \infty} f(w_{n1}) = f(w^*_1)
\lim_{n \rightarrow \infty} f(s_{n2}) = f(w^*_2)
\lim_{n \rightarrow \infty} f(t_{n3}) = f(w^*_3)

w_n, s_n, t_n 分別標號為『1』,『2』和『3』,故

w_{n1} > f(w_{n1})
s_{n2} > f(s_{n2})
t_{n3} > f(t_{n3})

n \rightarrow \infty,並由 f 的連續性,得

\lim_{n \rightarrow \infty} w_{n1} \ge f(\lim_{n \rightarrow \infty} w_{n1}) \Rightarrow w^*_1 \ge f(w^*_1)
\lim_{n \rightarrow \infty} s_{n2} \ge f(\lim_{n \rightarrow \infty} s_{n2}) \Rightarrow w^*_2 \ge f(w^*_2)
\lim_{n \rightarrow \infty} t_{n3} \ge f(\lim_{n \rightarrow \infty} t_{n3}) \Rightarrow w^*_3 \ge f(w^*_3)

又因在 \Delta ABC 上的任何一點,其座標和是 1,故

w^*_1 + w^*_2 + w^*_3 = 1f(w^*_1) + f(w^*_2) + f(w^*_3) = 1

(w^*_1 - f(w^*_1)) + (w^*_2 - f(w^*_2)) + (w^*_3 - f(w^*_3)) = 0

上式三括弧都是非負量,立即知道

w^*_1 = f(w^*_1), w^*_2 = f(w^*_2), w^*_3 = f(w^*_3)

換句話說,

f(w^*) = w^*

和原設定『不存在不動點』有矛盾,亦即不動點確實存在。

只要知道 \Delta 同構於 B^2 (2 維球體) ,我們便推出著名的不動點定理:設連續函數 f:B^2 \rightarrow B^2,則 fB^2 上存在不動點。

SBA 時間:

(1)試具體地定義一個非常的連續函數 f: \Delta \rightarrow \Delta 並找出一個不動點。
(2)試具體地定義一個函數 f: \Delta \rightarrow \Delta 使不動點不存在。

參考資料及延伸閱讀:
1.《Sperner 引理及其應用》潘建強及邵慰慈
2.《世界數學名題欣賞:不動點定理》張奠宙及顧鶴榮
3. http://www.hkedcity.net/ihouse_tools/forum/read.phtml?forum_id=27877¤t_page=&i=913725&t=913723
4. 印象中還有一篇是張景中院士的短文,題目好像是『老鼠不能逃避貓』云云,也是討論有關不動點的特例。

好像有點草草收場,都是說到這裡,有機會再談多些。

2 則迴響 »

  1. 你好,John Sir…
    唔知我係邊個都冇問題…
    上面既一切我都唔識…
    不過只係想俾你睇D野…
    睇過都冇咩所謂…
    ____is better than the god. (____比上帝更好。)

    ____is worse than the evil. (____比恶魔更坏。)

    if you eat____,you will die. (如果你吃____,那么你就会死!)

    (三个空格必须是同一个字)

    没有人答的出来

    结果。。。。。。
    有一个数学老师用数学的方法解出来了 :
    设上帝之善是+∞

    恶魔之恶是-∞

    令所求为x

    则 x>+∞ x<-∞

    ∴x属於空集合

    ∴x=nothing

    answer:

    nothing is better than the god.(没有什么比上帝更好。)

    nothing is worse than the evil.(也没有什么比恶魔更坏。)

    if you eat nothing,you will die(如果你什么也没有吃,那么你就会死!)

    迴響 由 路人鏗 — 2008/04/20 @ 10:25 下午 | 回覆

  2. To 路人鏗

    雖然我已看過你貼的內容,再看一次也無妨,這是好的提醒。

    同學看不明我說什麼,代表我的學力和表達力有待改進,我會努力的。好奇問問:你是『濟記人』嗎?

    迴響 由 johnmayhk — 2008/04/21 @ 10:51 上午 | 回覆


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