Quod Erat Demonstrandum

2008/04/26

有關某圓形特性的逆命題

Filed under: HKCEE — johnmayhk @ 8:33 下午

中四五的同學應該知道:『圓心角是圓周角的兩倍』(angle at centre twice angle at circumference),即是說,若 O 是下圖圓形的圓心,則有 \angle BOC = 2\angle BAC

反過來說,參下圖,假如知道 \angle BOC = 2\angle BAC,是否表示,存在圓心是 O 的圓形,穿過 A, B, C

稍微一想,知道這個是不一定的,看看下圖:

明顯,穿過 A, B, C 這三個 (不共線的) 點的圓形只有一個,即對應的圓心亦只有一個;但在圓孤 BOC 上任取一點,比如說 O',也有 \angle BO'C = \angle BOC,即 \angle BO'C = 2\angle BAC。明顯,這個可變動的 O' 未必是穿過 A, B, C 的圓形之圓心。

有一些關於圓幾何特性的所謂逆命題是成立的,比如『同弓形內的圓周角』(angle in the same segment)。即是說,下圖中,設 P 為可動點,

若知道 \angle APB 是常數,則 P 走出來的軌跡是圓 (弧)。

如何證明?
修 general mathematics 的同學可用 “converse of angle in same segment";
修 additional mathematics 的同學可用 “\tan\theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}|" 來找 locus;
修 pure mathematics 的同學可用 complex numbers 來找。

上面的結果也頗直觀,這裡想說一個較為不太直觀的。

在圓上任畫一弦(chord),

它與圓周夾的兩角是相等的(這裡說的夾角,是指弦和該弦與圓周交點處引出的切線之夾角,唔明?見下圖一目了然),即下圖的兩個綠色角是大小相等的。

不論弦畫在哪裡,『弦周角』(打打下,突然發明了這個詞,即指弦和圓周的夾角)都相同,見下。

如何證明?在 HKCEE 的數學課,一言以敝曰:"property of tangent"

好了,現在要問:它的所謂逆命題正確嗎?

即是問,今有一平面曲線,不知其狀,

只知它具有類似圓形的所謂『弦周角』的特性,即是說,隨意在其上畫弦,此弦和曲線的兩隻(處於弦的同一邊的)夾角相等,見下圖,所指的就是兩隻綠色的角相同。

那麼,這個曲線會否一定是圓形?

告訴你:是。

這裡提供一個證明,你也可找別的證明。

參考下圖,我們在不知名的曲線上任意找三點:A, B, C,連接它們,生三條弦:AB, BC, CA

分別在 A, B, C 引出切線 (tangents),由此曲線之『弦周角』特性,知對應的綠色夾角兩兩相等,把角設之曰:\theta, \phi, \delta。剩下的紅色角,設為:\alpha, \beta, \gamma(見上圖)。

所有標示的角度總和是三個 180^o,即

\alpha + \beta + \gamma + 2(\theta + \phi + \delta) = 3(180^o)

\alpha + \beta + \gamma = 180^o,得

\theta + \phi + \delta = 180^o,於是

\alpha = 180^0 - (\delta + \theta) = \phi

\alpha = \phi"就是關鍵!試想想,我們固定點 B 和點 C,卻沿曲線改變點 A 的位置, 那麼,\phi 仍然不變,由剛剛得的結果,即 \angle BAC = \phi,亦即無論 A 在哪裡,\angle BAC 皆是常數,那麼,由之前提過的『同弓形內的圓周角』的逆命題,知點 A 走出的軌跡是圓 (弧)。作一些推論,便知這個不知名的曲線,的確是圓形。

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