Quod Erat Demonstrandum

2008/05/15

介紹 Gauss Lucas Theorem

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:21 下午

這是有關多項式的東西。

如何製作一條多項式,它的零點(zeros)是 1 + i2 + 3i?非常簡單,就是

P(x) = [x - (1 + i)][x - (2 + 3i)] = x^2 - (3 + 4i)x -1 + 5i

我們可以對 P(x) 求導(differentiate P(x) w.r.t. x),得

P'(x) = 2x - (3 + 4i)

(這裡,讀中學的朋友要接受一下,雖然多項式的系數有複數存在,我們仍可進行求導,只要視那些複數系數是普通常數便可。)

易知 P'(x) 的零點是 \frac{3 + 4i}{2}

現在問:P'(x) 的零點和原先 P(x) 的零點有何關係?

『代數』上說,P'(x) 的零點 = P(x) 的零點的『平均值』(嗯,或曰 sum of roots \div 2)
『幾何』上說,如果把 P(x)P'(x) 的零點畫出來(即把它們表達在阿根圖 (Argand plane) 上,注:聞說 Argand plane 並非 Argand 發明的),易知:P'(x) 的零點是 P(x) 的兩個零點之中點(mid-point)。

現在我們集中看看『幾何』上的意義。如果把問題一般化,即對一般的多項式 P(x),它的零點和 P'(x) 的零點,在『幾何』上有什麼關係?

在 Argand plane 上亂置四點,見下

A, B, C, D 分別對應著以下四個複數 1 + 2i, 2 + 7i, 10 + 9i, 11 - 3i,那麼,我們容易得出以此四個複數為零點的多項式,即

P(x) = (x - 1 - 2i)(x - 2 - 7i)(x - 10 - 9i)(x - 11 + 3i)

嘩,要『爆破』上式也頗煩,幸好我們有 Scilab 等等的工具(看看這個簡介),只要輸入

poly([1+2*%i,2+7*%i,10+9*%i,11-3*%i],’x’)

一按 enter,即可得出

P(x) = x^4 - (24 + 15i)x^3 + (134 + 287i)x^2 + (528 - 1599i)x - 2403 + 679i

P(x) 求導(嗯,我又用 Scilab),得

P'(x) = 4x^3 - (72 + 45i)x^2 + (268 + 574i)x + 528 - 1599i

隨即找 P'(x) 的零點。吓,解這個三次方程?超易,又係 Scilab 代勞,得
8.7237679 + 0.1937342i
7.2813683 + 7.1618971i
1.9948638 + 4.2818371i

把它們表達於阿根圖上,即下圖的點 E, F, G

不難發現,這三個零點完全落在四邊形 ABCD 的內部。

那麼,P'(x) 的零點,是否一定完全落在以 P(x) 的零點為頂點的多邊形內?

嗯,讓我們再試一試,把 P'(x) 繼續求導,得

P''(x) = 12x^2 - (144 + 90i)x + 268 + 574i,其零點為
7.1101839 + 2.4739351i
4.8898161 + 5.0260649i

表在圖上,就是下圖的點 H, I

它們又是完全落在三角形 EFG 中!

這個現象並非偶然,而是所謂 Gauss Lucas 定理。不過我們要調整一些講法:

(Gauss Lucas 定理) P'(x) 的零點完全落在 P(x) 的零點的凸包 (Convex Hull) 中。

所謂零點的凸包,就是包含零點的最小的凸集 (convex set)。即係咩?嗯,用圖便一目了然,參下圖,設 A, B, C, D, E, F 為某方程的零點

以零點為頂點,可以畫出的多邊形可以是

中一同學知道,這圖不是凸 (convex) 的,它不是凸集,所以它不是凸包。

那些零點的凸包,其實是

一個包含所有零點最小的凸集。

為何 P'(x) 的零點完全落在 P(x) 零點的凸包內?下次再說。

2 則迴響 »

  1. 今日上過wiki睇過呢個theorem
    http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Lucas_theorem
    個proof果度好有pmath partial fraction果類野…不過都唔係好睇得明=_=,但係d內容似乎可以整到一條al既pmath題..

    另外有d野都想問下john sir,你以前讀大學係主修邊方面既數學??

    迴響 由 Justin — 2008/05/16 @ 11:00 下午 | 回覆

  2. Justin,我剛剛寫了證明,希望你看得明啦。

    我只係修了基礎的課程:即代數,實分析,複分析,微積分,微分方程,微分幾何,泛函分析,optimization theory…應該還有一些,但忘記了。

    迴響 由 johnmayhk — 2008/05/17 @ 3:48 下午 | 回覆


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