Quod Erat Demonstrandum

2008/06/17

完美矩形與基爾霍夫定律

Filed under: Junior Form Mathematics,Physics,Pure Mathematics — johnmayhk @ 9:59 上午

下圖顯示一個由 9 個不同大小的正方形拼砌出來的矩形(長方形),當中顯示的數字,代表該正方形的邊長。我們稱由 n 個不同大小的正方形拼砌成的矩形為「n 階完美矩形」,可見,下圖是一個 9 階完美矩形。

一些小學生都看懂的數學謎題書,或許也記有上述的題目或結果,故諸君或會不以為然。但對數學有點追求的人,可能會驚訝為何可以「如此漂亮」地找到「剛剛好」拼出矩形的小正方形?還有沒有別的完美矩形?除「靠估」外,有沒有更有系統的方法找尋完美矩形?

原來,我們可以利用電學原理,找到一些解題的線索。電學中,我們認識了 Kirchhoff’s law (基爾霍夫定律),表述如下:

(電流定理)匯集在電路網絡的每個節點上各支路的電流強度的代數和是零。
例如下圖顯示電路中的某節點,流過三條支路的電流強度分別是 i, j-k(設流進節點的電流為正,流出者為負),即有:i + j - k = 0

(電壓定理)網絡中任一回路內,支路電壓的代數和是零。
為方便以後的討論,我們考慮閉回路中的每條導線上電阻值都是 1,則電壓定律可進一步化簡為:網絡中繞任一閉回路的電流強度的代數和是零。例如下圖顯示一個閉回路,各導線上的電阻值均為 1 (ohm, say),電流強度分別為 h, i, j-k (A, say)(設沿順時針方向流動的電流強度為正,逆時針者為負),即有 h + i + j - k = 0

現在考慮導線上的九個單位電阻(電阻值為 1 者),構成一個電路網絡如下:

電流由 A 點流進網絡,在 F 點流出。沿各導線的電流強度大小定為 I_1, I_2, \dots ,I_9,隨意任設方向。由基爾霍夫定律,

考慮節點 B,I_1 + I_4 - I_8 - I_9 = 0
考慮節點 C,I_2 - I_4 - I_5 = 0
考慮節點 D,I_3 - I_6 - I_7 = 0
考慮節點 E,I_5+ I_6 + I_8 = 0
考慮回路 ABC,I_1 - I_2 - I_4 = 0
考慮回路 ACED,I_2 - I_3 + I_5, - I_6 = 0
考慮回路 BEC,I_4 - I_5 + I_8 = 0
考慮回路 BFDE,I_6 - I_7 - I_8, + I_9 = 0

我們得到 8 條 9 變數的聯合線性方程,修純數的同學『知道』可以用 Gaussian Elimination 處理,只要考慮以下對應的矩陣便可。

我 Kai,曾徒手解之,結果算了兩次也計錯(看來『加減數』真的是最深奧的學問),於是轉念,欲找軟件代勞,但無所尋,於是唯有用 excel 半自動地終於解了!得

I_1 = \frac{25}{36}I_9, I_2 = \frac{16}{36}I_9, I_3 = \frac{28}{36}I_9
I_4 = \frac{9}{36}I_9, I_5 = \frac{7}{36}I_9, I_6 = \frac{-5}{36}I_9
I_7 = \frac{33}{36}I_9, I_8 = \frac{-2}{36}I_9

如果設 I_9 = 36,那麼上述答案的數字便會變成漂亮的整數。即
I_1 = 25, I_2 = 16, I_3 = 28, I_4 = 9, I_5 = 7, I_6 = -5, I_7 = 33, I_8 = -2, I_9 = 36

把有關的電路網絡重表如下(負電流者只要改變原先設定方向,電流便變回正):

好了,精采之處來了:利用上面電路網絡,我們可以構作一個完美矩形。諸君請看看下面的圖,盡在不言中。


由 A 點流到三個電阻的電流,對應於三個貼在一起的正方形,其邊長就是電流強度。


C 點流到之下的兩個電阻的電流,對應著『16』正方形之下的兩個正方形『9』和『7』。


同理,E 點流到之下的兩個電阻的電流,對應著『7』正方形之下的兩個正方形『2』和『5』。


最後,電流『28』和『5』匯於 D 點,而 D 下流出電流『33』,對應於『28』和『5』正方形下的『33』正方形。同理,生『36』正方形。隨著電流離開終站點 F,完美矩形也大功告成。

關於完美矩形甚至完美三角形還有很多研究,不過詳情如何我完全不知,見諒。

習題:

1. 試參考下面另一個 9 階完美矩形,繪畫相關的電路網絡。

2. 試證明:『不存在完美立方體』。

延伸閱讀:《數學解題中的物理方法》吳振奎 河南科學技術出版社

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