Quod Erat Demonstrandum

2008/06/18

附加數題之最大四邊形

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE — johnmayhk @ 4:03 下午

這是一道中四附加數學題。(相信這樣的好題,在將來的公開試會漸漸式微。)它的根本要問的是:一個固定四邊長度的四邊形,在什麼情況下面積最大?題目在教科書可找,詳表如下:

ABCD is a quadrilateral where AB = a, BC = b, CD = c and DA = d.
(a) Express the area K of ABCD in terms of a, b, c and d and the angles A and C.
(b) Using the cosine formula, express the length of BD in two ways in terms of a, b, c, d and the angles A and C.
(c) Show that
16K^2 + (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2 = 4(a^2d^2 + b^2c^2) - 8abcd\cos(A + C).
(d) If the four sides of a quadrilateral are fixed in length but the shape of the quadrilateral varies, show that the area is a maximum when it is cyclic. Hence, find the maximum area in terms of a, b, c, d.

Part (a) 的答案一看便知 K = \frac{1}{2}(ad\sin(A) + bc\sin(C))

Part (b) 已經明言用 cosine formula,相信不難得到
BD = \sqrt{a^2 + d^2 - 2ad\cos(A)} = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc\cos(C)}

Part (c) 比較煩,但由 part (b) 的結果出發,squaring,再移項及利用 compound angle formula,進行一輪代數運算,便可以得出結果,中四的同學請試試。

Part (d) 就是最終結果:原來一個固定四邊長度的四邊形,以圓內接四邊形面積最大。這是由 part (c) 的結果看出:把 K 做 subject,則 RHS 的一切東西都是固定值,除了 A + C。要 -\cos(A + C) 最大,即 A + C180^o,亦即是說,ABCD 要是圓內接四邊形。

最後一部分,推導出一條,相信沒有幾個香港中學生知道的『圓內接四邊形面積公式』。即

圓內接四邊形面積 = \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}
其中 s = \frac{a + b + c + d}{2}

多漂亮的式子!有點像 Heron’s formula 吧,但比它更『對稱』。

故事未完,其實我想講:這題可以一兩步 KO 的。不過,我們先要知道『等周定理』。

所謂『等周定理』,大概說,在周界固定的平面封閉曲線中,以圓的面積為最大。例如,假設下面的三個平面圖形的周界都相等,即面積最大者是圓形。

如何證明『等周定理』?嗯,忘了,只記得在複分析和變分法的課遇過,詳情已經『還給 professors』了。讓我用它來解決那道附加數題目。


考慮圓內接四邊形,其邊長分別是 a, b, c 和 d(即左邊的圖)。
紅色部分題示圓和四邊形之相差的弓形(segment)。
現在想像這些弓形,好像小朋友玩的砌圖板,移動(但不可分離)這些砌圖板,可以產生不同的形狀,比如右邊的圖。
雖然形狀有別,但圖形的周界終於不變。
由『等周定理』,知面積最大者是圓;
從而,四邊形面積最大者,是左圖題示的那個,
這是因為紅色砌圖板的面積亦是不變的。

證畢。

完全沒有繁瑣的附加數學運算,乾淨俐落。

習題

1. 以『等周定理』推導的過程中,要不要考慮四邊形是凹(concave)還是凸(convex)?
2. 可否把類似結果推廣到 n(n > 4)邊形?
3. 試『直接』推論圓內接四邊形面積公式:\sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}

後記:我是用 Geogebra 畫圖的,嗯,也要花點時間。

2 則迴響 »

  1. part c 那個應是cos(a+c)嗎?

    迴響 由 Ringo — 2008/06/20 @ 11:34 下午 | 回覆

  2. Yes, thank you Ringo.

    迴響 由 johnmayhk — 2008/06/21 @ 12:04 上午 | 回覆


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