Quod Erat Demonstrandum

2008/07/25

簡易經濟題

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 12:01 上午

讓我又借用其他東西包裝一下數學。

下圖是某貸物之單價和該貸物的需求數量之關係,此乃線性的需求曲線(linear demand curve)。藍線上某點 (q , p) 代表,當價位是 p,需求的數量是 q,若把所有貨物賣出,則總收入(Revenue)是 pq

定價太高,需求減少,收入受影響;定價太低,不錯需求量大了,但收入卻未必高。
那麼,定什麼價錢,才可得到最大的總收入?

這是一道非常簡單的數學問題,但我想不經由『計數』解之。

總收入是 pq,圖像的意思,就是(虛線)長方形面積(見上圖)。所以,要求最大的總收入,即是求最大的長方形面積。

參下圖,設黃色長方形的面積為 R(這是可變動的值,是變數),三角形 OAB 的面積為 T(這是固定的值,是常數)。

大家可否想像到,黃色長方形的面積,肯定不能大於半個大三角形 OAB的面積?(即 R \le \frac{1}{2}T

為何?

想像一下把上圖右下角那個三角形向左摺,得下圖:

上圖顯示,黃色長方形被藍色線分成兩部分,分別是上面一個小三角形和下面一個梯形。
明顯地,黃色小三角形,和它上面的藍色三角形面積一樣。
而黃色梯形,一定不大於它右面的米色三角形。(看看摺了過去的部分。)
所以,黃色長方形的面積 \le 藍色和米色三角形的面積總和,嗯,圖像地:

讓我添加多一個黃色長方形進去,從而得:

所以,兩個黃色長方形,一定不大於一個大三角形。即
2R \le T
R \le \frac{1}{2}T

那麼,在什麼情況下,R = \frac{1}{2}T

好簡單,就是剛剛好把右下角的三角形,摺疊到長方形處,使頂點疊頂點,見下圖。

這時,長方形的面積最大,剛好是大三角形 OAB 面積的一半。

如果 B 點代表單價 P 元,一看上圖便知,我們應該把貨物的單價定在 \frac{P}{2} 元(即最高價的一半),我們便得到最大的總收入。

當然,如果你是中四或以上的理科生,很可能會聊笑上述又長又囉唆的做法,但我是故意的,目的在於嘗試不寫那麼多數學符號以解決數學問題,不知這個實驗是否成功。

3 則迴響 »

  1. 我總覺得這種「又長又囉唆的做法」很有某些pure math試題的味道

    迴響 由 rai — 2008/07/26 @ 3:51 上午 | 回覆

  2. This is excellent.

    迴響 由 koopa — 2008/07/26 @ 12:55 下午 | 回覆


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