Quod Erat Demonstrandum

2008/07/27

送你一條鏈,馬可夫鏈

Filed under: Additional / Applied Mathematics — johnmayhk @ 12:19 上午

約廿年前,在 hku 某 O-camp 中,組長帶了一些消磨時間的遊戲。其中一個,嗯,都是叫阿仔同大家玩,準備好未?


「呢個係 fundamental。」


「呢個係零。」


「呢個係二。」


「呢個係三。」


「呢個係五。」


「咁請問呢個係幾多?」

不知道現在的 O camp 還會否玩如此 Kai game?可能我真的比較 Kai,當晚很快便看出那個 rule 了。

先開估,阿仔問的問題,答案是「四」。因為,剛剛在前一個手勢中,阿仔豎起了「四」隻手指。答案只和剛剛對上一個狀態(state)有關,和再之前那些情況毫無關係。這樣,使我聯想到馬可夫鏈(Markov Chain),或馬可夫過程。

作為起點,所謂馬可夫鏈,其實是一個隨機變數的序列(sequence of random variables)X_0, X_1, X_2, ...(設它們的值域,或稱狀態空間為 S,即是說 X_i 可於 S 中取值),滿足

P(X_{n+1} = x_{n+1} | X_0 = x_0, X_1 = x_1, X_2 = x_2, ... , X_n = x_n)
=  P(X_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n)

其中 x_0, x_1, ..., x_{n+1} \in S

上述表達的不過是第 n+1 個隨機變量 X_{n+1},只是和之前一個隨機變量 X_n 相關,和之前的 X_0, X_1, ..., X_{n-1} 是無關(或稱獨立於之前的隨機變量)。

馬可夫過程,即馬可夫鏈變化的過程,是其中一個著名的數學模型,用作解釋一些現實情況,諸如基因變異、族群滅絕,又或在財務數學中的分析預測云云。有興趣的同學可看看以下介紹:

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_09_3_08/index.html

這條有用的鏈子,就送給同學作為暑期禮物吧。

注:原來「輪迴」都有數學的定義:P_y(T_y < \infty) = 1 是也。不看文章,真是給它嚇一嚇。

1 則迴響 »

  1. […] = = (看看如何和前一代的情況有關,體現上回提及的馬可夫鏈吧。) […]

    通告 由 中華民族會滅亡嗎? « Quod Erat Demonstrandum — 2008/07/29 @ 3:46 上午 | 回覆


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