Quod Erat Demonstrandum

2008/07/29

中華民族會滅亡嗎?

中華民族會滅亡嗎?放心,這裡不談政治,不存在政治正確與否的問題。我只希望利用數學處理這個問題。想證明,如果「一孩政策」長此下去,並落實在全球華人群族中,則問題的答案是肯定的。嗯,這似乎是頗「常識」的,但我始終想借其他東西包裝一下數學。

對某族群,命

X_n = 第 n 代成員的數目。
Z_i^{(n)} = 第 n 代第 i 個成員的「子女」(offspring)數目。

我不知道第一個中國人是誰,但可以假設,存在唯一一個所謂中華民族的始祖,即 X_0 = 1。亦有 X_1 = Z^{(0)}_1

另外,第 n + 1 代的成員數目,就是第 n 代各成員的子女數目之總和,即

X_{n+1} = Z^{(n)}_1 + Z^{(n)}_2 + \dots + Z^{(n)}_{X_n}

注意,這裡有兩類隨機變量,分別是成員數目和子女數目(所謂 XZ),其狀態空間(值域)為 \{0, 1, 2, \dots\}

現在假設,同一代的成員,他們子女的數目彼此獨立(mutually independent)。另外,不難想像,第 n + 1 代成員的數目,直接和第 n 代成員的數目相關,即 X_{n+1}X_{n} 有關,卻和之前的 X_{0}, X_{1}, \dots, X_{n-1} 無關(或曰獨立於之前的 n 個隨機變量)。這樣,序列 \{X_n : n \ge 0\} 便是所謂的馬可夫鏈 。

現在,把「某族群會否滅亡?」這個問題改善一下,可以問「某族群會滅亡的機會率如何?」。如何尋找「滅亡的機會率」?我們可以利用概率母函數(Probability Generating Function, PGF,另有稱之曰概率生成函數),讓我簡單介紹一下。

對隨機變量 X,若它可取值 0, 1, \dots ,n, \dots,則函數
F(s) = P(X = 0) + P(X = 1)s + P(X = 2)s^2 + P(X = 3)s^3 + \dots( 取 |s| \le 1
稱為 X 的概率母函數。

從 PGF 的定義可看出 PGF 的一些特性如下:
1. 要求 X 等於 r 的機會,即是求 s^r 的系數(coefficient);
2. F(1) = 1 (概率總和是一);
3. F'(1) = 1\times P(X = 1) + 2\times P(X = 2) + \dots = E(X)
4. Var(X) = F''(1) + F'(1)(1 - F'(1))(這個是 Applied Mathematics (II) 的習題,有關同學試證明之。)
5. 設隨機變量 X, Y 的 PGF 分別為 FG,則 X + Y 的 PGF 就是 F\times G。(嗯,證明也不難,大家試試。)

好了,所謂「族群最終會滅亡的機會率」,其實就是 \lim_{n \rightarrow \infty}P(X_n = 0),若我們能找出 X_n 的 PGF F_{n}(s),那麼「族群最終會滅亡的機會率」亦即是 \lim_{n \rightarrow \infty}F_{n}(0)(想一想)。

但要憑空地具體的寫出 X_n 的 PGF F_n(s),近乎沒有可能。我們退而求其次,先看看 F_{n+1}(s)F_n(s) 可什麼關係。

F_{n+1}(s)
= \sum_{k=0}^{\infty}s^kP(X_{n+1} = k)
= \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}s^kP(X_{n+1} = k | X_{n} = j)P(X_n = j)
(看看如何和前一代的情況有關,體現上回提及的馬可夫鏈吧。)

再詳細一點表達上式,得

\sum_{k=0}^{\infty}s^k\{\delta_{k0}P(X_n = 0)
+ P(Z^{(n)}_1 = k)P(X_n = 1)
+ P(Z^{(n)}_1 + Z^{(n)}_2 = k)P(X_n = 2)
+ P(Z^{(n)}_1 + Z^{(n)}_2 + Z^{(n)}_3 = k)P(X_n = 3)
\dots\}

其中,\delta_{k0} = \{\begin{array}{ccc}0 & for & k \ne 0\\1 & for & k = 0\end{array}

進一步得

P(X_n = 0)
+ P(X_n = 1)\sum_{k=0}^{\infty}s^kP(Z^{(n)}_1 = k)
+ P(X_n = 2)\sum_{k=0}^{\infty}s^kP(Z^{(n)}_1 + Z^{(n)}_2 = k)
+ P(X_n = 3)\sum_{k=0}^{\infty}s^kP(Z^{(n)}_1 + Z^{(n)}_2 + Z^{(n)}_3 = k)
\dots

假設所有 Z^{(n)}_i 來自相同的分佈(distribution),從而他們有著相同的 PGF,記之曰 f(s)。即

f(s) = \sum_{k=0}^{\infty}s^kP(Z^{(n)}_1 = k) = \sum_{k=0}^{\infty}s^kP(Z^{(0)}_1 = k) = \sum_{k=0}^{\infty}s^kP(X_1 = k)

最後一個等式說明,f(s) = F_1(s)

由上文有關 PGF 的特性 5,知 Z^{(n)}_1 + Z^{(n)}_2 + \dots + Z^{(n)}_j 的 PGF 就是每個 Z^{(n)}_i 的 PGF 之乘積,即 \{F_1(s)\}^j,綜合上式,得

F_{n+1}(s)
= P(X_n = 0) + P(X_n = 1)F_1(s) + P(X_n = 2)F_1^2(s) + P(X_n = 3)F_1^3(s) \dots
= F_{n}(F_1(s))

這個遞歸關係說明,要求下一代成員數目的 PGF,只要把 F_1(s) 代入這一代成員的 PGF 中。不斷運用上式,得

F_2(s) = F_1(F_1(s)) – – – – – – (1)

F_3(s) = F_2(F_1(s))
= F_1(F_1(F_1(s))) [by (1)]
= F_1(F_2(s)) [by (1) again] – – – – – – (2)

F_4(s) = F_3(F_1(s))
= F_2(F_1(F_1(s)))
= F_1(F_1(F_1(F_1(s))))
= F_1(F_1(F_2(s))) [by (1)]
= F_1(F_3(s)) [by (2)]

歸納地,我們得

F_{n+1}(s) = F_1(F_{n}(s))

好了,我們所關心的「族群最終滅亡之機會率」,就是 \lim_{n \rightarrow \infty}F_n(0),如果極限存在的話,透過上式,取其極限,理論上我們似乎可以解出答案。但修讀 Applied Mathematics (II) 的同學,可能察覺到,在數值方法(Numerical method)一課,我們處理過這樣的遞歸方程,透過所謂 fixed-point iteration 解:

x_{n+1} = F_1(x_{n}),還記得方程有解的條件嗎?

忘了?不要緊,我們就著本例考慮。

首先,我們先證明 \lim_{n \rightarrow \infty}F_n(0) 存在。

由於當第 n 代滅亡,第 n + 1 代當然也必滅亡;也即是「第 n 代滅亡」這事件是「第 n + 1 代滅亡」這事件的子集;從而有 F_{n}(0) \le F_{n+1}(0) \le 1,即遞增序列 \{F_{n}(0)\} 有上界,即 \lim_{n \rightarrow \infty}F_{n}(0) 存在。

其次,因 F_1(s) 在 [0 , 1] 連續(因為它不過是 power series,而考慮 0 1 區間是因概率只在當中取值),於是在 F_{n+1}(0) = F_1(F_{n}(0)) 這個關係取極限,可得

\lim_{n \rightarrow \infty}F_{n+1}(0) = \lim_{n \rightarrow \infty}F_1(F_{n}(0))
\lim_{n \rightarrow \infty}F_{n+1}(0) = F_1(\lim_{n \rightarrow \infty}F_{n}(0))
\alpha = F_1(\alpha)

其中 \alpha 就是 \lim_{n \rightarrow \infty}F_n(0)

明顯地,\alpha 可以等於 1(因為 F_1(1) = 1,參考上文 PGF 特性 2),這不就是說明 \lim_{n \rightarrow \infty}F_n(0) = 1 嗎?即是說族群最終肯定滅亡嗎?還未,因為 \alpha 除了是 1,有沒有可能是其他少於 1 的數,同樣滿足 \alpha = F_1(\alpha)?所以,我們還欠一步,證明在 (0 , 1) 內,再無別數可以滿足 x = F_1(x)

如果強制實行一孩政策,即是說,不論哪一代哪一個成員,其子女數目的期望值是 1,符號記之曰
E(Z^{(n)}_i) = 1 for any n and i
E(Z^{(0)}_1) = 1 = E(X_1) = F_1'(1) (請參考上文 PGF 的特性 3)

由 PGF 的定義,不難看出,對於 s > 0, 恆有 F_1'(s) > 0F_1''(s) > 0,從而,F_1'(s) 是嚴格遞增(strictly increasing)。

那麼,對所有 s \in (0 , 1),考慮中值定理(Mean Value Theorem),有

\frac{F_1(1) - F_1(s)}{1 - s} = F_1'(\beta) for some \beta \in (0,1)
\frac{F_1(1) - F_1(s)}{1 - s} < F_1'(1) (因 F_1'(s) 嚴格遞增)
\frac{F_1(1) - F_1(s)}{1 - s} < 1 (一孩政策嘛)
\Rightarrow s < F_1(s) \forall s \in (0 , 1)

也就是說,在 (0 , 1) 內的所有數,都有 s < F_1(s);亦即在 (0 , 1) 內,再無別的數滿足 s = F_1(s),所以只有 \alpha = 1,即是說明了,如果強制實行一孩政策,中華民族最終肯定滅亡。

非常感謝你看到這裡,多有耐性呀!作為中學數學授課員,我只能泛泛而談,進一步的當然是看參考書,這裡給你的延伸閱讀:

孫榮恆教授著的《隨機過程及其應用》

後記

上面推論中,出現
F_{n+1}(s) = F_1(F_n(s))
求導得
F_{n+1}'(s) = F_1'(F_n(s))F_n'(s)
代入 s = 1,得
F_{n+1}'(1) = F_1'(F_n(1))F_n'(1)
F_{n+1}'(1) = F_1'(1)F_n'(1)
E(X_{n+1}) = E(X_1)E(X_n)
也做出一個遞歸關係,故有
E(X_n) = E^n(X_1)
由一孩政策,即 E(X_1) = 1,那麼不就是說 E(X_n) = 1,感覺有點奇怪嗎?

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