Quod Erat Demonstrandum

2008/08/06

Painter’s paradox

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:10 上午

放榜日,註冊時,準中六生 Hoover 問我一個積分的問題,那似乎是一個很著名的 Paradox:painter’s paradox

有看數普材料的諸君不會陌生,這 paradox 的大意是,數學世界存在一個奇怪的喇叭,它的容量有限,但其內壁的表面面積卻是無限。詳情可看看維基的介紹:

Gabriel’s Horn (also called Torricelli’s trumpet)

在《葛老爹的推理遊戲》中(這小書是多年前朋友送我的生日禮物,原名:Riddles of the Sphinx: And Other Mathematical Puzzle Tales,作者:美國著名的創作謎題專家 Martin Gardner) 作者以另一個方式包裝這個謎題,略表如下。

不用喇叭,作者改用無限多個正方盒子,見下

盒子邊長分別是 \frac{1}{\sqrt{1}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{3}},…

不難看出,所有盒子的總容量是

\frac{1}{1\sqrt{1}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{3}} + \dots

(無聊一注:我不寫分數指數,或許可看看我之前無聊寫的分數指數(一)(二)再談分數指數

上述級數是收斂的,即所有盒子的總容量是有限的。為何上述級數是收斂?嗯,不過是 AL Pure Mathematics 的習題。易證 y = \frac{1}{x\sqrt{x}} 的圖像是遞減的(decreasing),得下圖。

考慮圖中所有顯示的長方形之面積(即寫在長方形上的數值),必不大於曲線下由 x = 1x = \infty 圍出來的面積(area under the curve),即

\frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{4\sqrt{4}} + \dots
\le \int_1^{\infty}\frac{dx}{x\sqrt{x}}
= 2

可見所有盒子的總容量不超過 3

但,所有盒子內壁的總面積卻是無限大,因為單單考慮每個盒子其中一面的面積,已經是

\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots

這是修 AL Pure Mathematics 熟知(但願如此)的發散級數(divergent series),其值趨向無窮大。在 AL 課程中,起碼介紹了兩個方法。其一是證明上式大於 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots;其二是考慮上式必大於 \int_1^{\infty}\frac{dx}{x}。另外還有一個「超快」方法。設該級數收斂,從而絕對收斂,那麼重排不影響其極限值。那麼

L
= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots
> (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + \dots
= L (impossible) Q.E.D.

不厭其煩地重申,這 paradox 是:我們想像,用油漆傾注入所有盒子,可以把盒子填滿,但奇怪地,拿油漆塗在盒子內壁,卻沒有辦法塗滿它。

是,這些都是很舊的東西。寫,只為未聽聞的同學,作些介紹,請高手見諒。

1 則迴響 »


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 變更 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 變更 )

Facebook照片

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 變更 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 變更 )

連結到 %s

在 WordPress.com 建立免費網站或網誌.

%d 位部落客按了讚: