Quod Erat Demonstrandum

2008/08/20

重排 rearrangement (part 1)

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 4:34 下午

1 + 2 + 3 等於多少?6 也。

如果把上述 3 個數字『重排』(rearrange),比如

2 + 1 + 3 又等於多少?吓,無聊透吧,不也是 6 嗎?

這裡,『重排』不會影響『答案』,常識也。嗯,數學人知我想說什麼了,就是當項數是無限時,小心,有時『重排』的確可以影響『答案』的,且看以下經典例子,它往往以謎題的形式出現:

x = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \dots

修 Pure Mathematics 的同學,我們知道上式表達了一個無窮級數(infinite series),且可以證明,x = ln2(或曰,該無窮級數收歛於 ln2),大家試試證之。

好,現在進行以下的重排。

x
= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \dots
= (1 - \frac{1}{2}) - \frac{1}{4} + (\frac{1}{3} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{8} + \dots
= \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \dots
= \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots)
=\frac{1}{2}x

那麼,我們豈不是得到

x = \frac{1}{2}x

吓,咁即係話

1 = \frac{1}{2}

嗯,未算奇,我們還有

x
= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \dots
= (1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{9} + \frac{1}{11} - \frac{1}{6}) + \dots
[即是每兩個正項,配一個負項。這是一種重排是也。]
= (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8}) + \dots
[即每括弧的尾項一分為二,再一減一加地插入雙數項。]
= (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{8}) + \dots
= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \dots + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{8}) + \dots
= x + \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots)
= x + \frac{1}{2}x = \frac{3}{2}x

嗯,這豈不是說

x = \frac{3}{2}x

即係

1 = \frac{3}{2}

Oops。未算離奇,還有以下,不過先做一些預工。對任意正整數 n,恆有

\frac{1}{2^n + 1} + \frac{1}{2^n + 3} + \dots + \frac{1}{2^{n + 1} - 1} > \frac{1}{4}

同學留意,2^n + 1, 2^n + 3, \dots 2^{n + 1} - 1 乃連續奇數,即這數列是個 A.S. (Arithmetic Sequence),其公共差(common difference)是 2,所以我們很容易找出這數列的總項數(total number of terms),即

\frac{2^{n + 1} - 1 - (2^n + 1)}{2} + 1 = 2^{n - 1}

[嗯,中二的同學,試證明上式的 L.H.S. = R.H.S. ]

即這個數列有 2^{n - 1} 項。那麼

\frac{1}{2^n + 1} + \frac{1}{2^n + 3} + \dots + \frac{1}{2^{n + 1} - 1}
\ge \frac{1}{2^{n + 1} - 1} + \frac{1}{2^{n + 1} - 1} + \dots + \frac{1}{2^{n + 1} - 1} [Pure Mathematics 常用技巧之一:調整分母]
= \frac{2^{n - 1}}{2^{n + 1} - 1} [因為上面話該數列共有 2^{n - 1} 項嘛]
> \frac{2^{n - 1}}{2^{n + 1}} [又進行調整分母的工作]
= \frac{1}{4}

於是乎,

\frac{1}{3} > \frac{1}{4}
\frac{1}{5} + \frac{1}{7} > \frac{1}{4}
\frac{1}{9} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{15} > \frac{1}{4}
\dots

好了,預工完成,回頭再看(微微燈光…sor,突然想唱歌)

x
= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \dots
= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{9} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{15} - \frac{1}{8}) + \dots
> \frac{1}{2} + \frac{1}{12} + (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{8}) + \dots
[看看預工吧。]
>  \frac{1}{2} + \frac{1}{12} + (\frac{1}{12}) + (\frac{1}{12}) + \dots
[因為,前一條式的第一個括弧是 \frac{1}{12},跟著的每個括弧都大於 \frac{1}{12}。]

因為係咁加 \frac{1}{12},易知上式的『值』趨向正無窮。即

x \rightarrow +\infty

Oops,咁究竟 xln2 還是 +\infty 還是什麼其他數字?

在基礎的數學分析課中,我們知道無窮級數的收歛,有條件收斂和絕對收斂之分,就是因為本文考慮的是條件收斂的級數,便出現這個現象。其實,當無窮級數是所謂條件收斂時,它可以收斂到任意一個實數,甚至可以發散到正無窮(如上例),為何會這樣?讓我留待下次才談一談證明。

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