Quod Erat Demonstrandum

2008/08/23

重排 rearrangement (part 2)

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:18 上午

要解釋上次介紹有關重排的「怪」現象,讓我由小學生也可能接觸過的

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …

開始。之前在下也討論過,現在集中看有關重排的討論。

如果我們不理會無限和有限的分別,把上式的 1 和 -1,隨便重排後進行「運算」,我們很容易得到一些「戲劇效果」,比如

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …可以「等於」

(1 + 1 – 1) + (1 + 1 + 1 – 1) + (1 + 1 + 1 + 1 – 1) + …

因為有無限多個 1 任君使用,我們便可以
在第 1 個括弧放 2 個 1 及 1 個 -1;
在第 2 個括弧放 3 個 1 及 1 個 -1;
在第 3 個括弧放 4 個 1 及 1 個 -1;
如此類推,那麼我們豈不是有

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …
= (1 + 1 – 1) + (1 + 1 + 1 – 1) + (1 + 1 + 1 + 1 – 1) + …
= 1 + 2 + 3 + …
\rightarrow +\infty

類似地,我們也可以「造出」以下結果

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …
\rightarrow -\infty

同學,不妨試試。

當然,上述兩式明顯是錯。因為 1 – 1 + 1 – 1 + … 本身不是收斂級數,不存在極限值,所以寫諸如「1 – 1 + 1 – 1 + … 等於(或趨近)一個數」之類的陳述已經是錯了。

相信大家初步領略,涉及無限項的運算(例如 1 – 1 + 1 – 1 + …)和只有有限項的運算(例如 1 + 2 + 3)最大分別是,在無窮級數裡,有無限量的數字(比如無限多個 1)任君使用。

上次談到的

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \dots

就是用類似手法把它「作大」,皆因這裡同樣有無限多個正項(1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \dots)任君使用,而且,因為 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} \rightarrow +\infty (why?),所以,在這些正項中,只有拿取足夠多項,它們的總和便可以「要多大,有多大」。上次,在下只考慮大於 \frac{1}{4} 的情況,即是

\frac{1}{3} > \frac{1}{4}
\frac{1}{5} + \frac{1}{7} > \frac{1}{4}
\frac{1}{9} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{15} > \frac{1}{4}
\dots

於是,1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \dots 總可以被重排成

(留意,我話「被重排成」,而唔係話「等於」;寫「等於」是錯的,正是上次出現「怪」現象的致命傷,因為重排後可能變成另一樣東西,不一定「等於」。)

(\Box - \frac{1}{2}) + (\Box - \frac{1}{4}) + (\Box - \frac{1}{6}) + (\Box - \frac{1}{8}) + \dots

只要在方格 \Box 內填入適當的正項(1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \dots)和,理論上可以使每括弧內的總和大於某數(上次在下用 \frac{1}{12}),諸如

(\underline{1} - \frac{1}{2}) + (\underline{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4}) + (\underline{\frac{1}{5} + \frac{1}{7}} - \frac{1}{6}) + (\underline{\frac{1}{9} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{15}} - \frac{1}{8}) + \dots

> \frac{1}{2} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \dots

\rightarrow +\infty

(在下不厭其煩講多句,是這樣的重排後得出來的東西趨向正無窮,而不是原來的級數 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \dots 趨向正無窮!原先的級數確實趨於 ln2)

好了,除了「作大」,大家應該可以把該級數「作細」,試試把上述級數重排,使它趨向負無窮吧。

但是,如何把該級數「作」到趨向任意一個實數?即是,對於任何一個實數 \alpha,上述級數可否被重排成另一個級數,使它收斂於 \alpha

可以的。方法如何?不要忘記:

一. 除了有無限量的正項,級數中還有無限量的負項(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{6}, -\frac{1}{8}, \dots)任君使用。
二. 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \dots 本身是收斂的。

為方便表達,
正項 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \dots 分別記為 p_1, p_2, p_3, \dots
負項 -\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{6}, \dots 分別記為 -q_1, -q_2, -q_3, \dots

在下先極粗疏地表達一下做法,嚴格的證明還是留待下次。

如何製作一個收斂於實數 \alpha 的級數?

我們可以先找若干的正項,其總和大於 \alpha,即
z_1 = p_1 + p_2 + \dots + p_{k_1} > \alpha

接著找若干的負項,使
z_2 = z_1 - (q_1 + q_2 + \dots + q_{l_1}) < \alpha

再找若干正項,使
z_3 = z_2 + (p_{k_1 + 1} + p_{k_1 + 2} + \dots + p_{k_2}) > \alpha

再找若干負項,使
z_4 = z_3 - (q_{l_1 + 1} + q_{l_1 + 2} + \dots + q_{l_2}) < \alpha

如此,我們可以製作一個數列 z_1, z_2, z_3, z_4, \dots 有時大於 \alpha,有時小於 \alpha。而且,因為原來級數收斂,即 p_nq_n 都可以愈來愈接近零,從而,理論上,我們可以取 z_n 愈來愈接近 \alpha。再推論多一些,我們就可以理論上,經由適當的重排而製造一個收斂於 \alpha 的無窮級數。

這裡只給大家一個初步印象,數學人一定不滿在下寫得太粗糙,不嚴謹。

給在下一點時間,下次再交待。

4 則迴響 »

  1. 我是路過的,但你的解析很有趣。

    我覺得問題不在於重排,而是重排的時候有沒有考慮到數量的對應,舉列說,$\sum (a_k+b_k+c_k) = \sum (a_k+c_k+b_k)$ 但是就不能和 $\sum (a_k + a_(k+1) + b_k + c_k$ 相等,所以在重排前要先定義series的summation term,再在summation term底下作重排甚或其他的轉化,但如果不能從固定的summation term內進行轉化,則等式不可能成立,畢竟無限是個概念不是數字。

    迴響 由 Adrian Tam — 2008/08/24 @ 4:42 上午 | 回覆

  2. 就是因為 summation sign 下 series sum to infinity 會出現不同的答案..
    所以就會出現了對 absolute 同 conditionally convergence 的討論呢。

    迴響 由 Ricky — 2008/08/25 @ 4:27 上午 | 回覆

  3. 謝謝 Adrian Tam 君的留言。對 1 – 1 + 1 – 1 + … 那個例,不錯,問題不在重排,因為它本身已是發散,一寫等於一個數字即錯。但對條件收斂級數,重排確是問題。那麼所謂「數量的對應」,對於絕對收斂級數,就算所謂「數量不對應」都不會影響其極限值。

    迴響 由 johnmayhk — 2008/08/27 @ 8:13 下午 | 回覆

  4. 嘆為觀止,令在下得益不少!

    迴響 由 Ringo Cheung — 2010/10/19 @ 11:29 下午 | 回覆


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 變更 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 變更 )

Facebook照片

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 變更 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 變更 )

連結到 %s

在 WordPress.com 建立免費網站或網誌.

%d 位部落客按了讚: