Quod Erat Demonstrandum

2008/08/24

重排 rearrangement (part 3)

Filed under: University Mathematics — johnmayhk @ 1:37 上午

泛泛而談完了,現在認真說。

重排的定義

\sum^{\infty}_{n=1}a_n 為一級數,若 \varphi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} 是一一對應函數(bijection),則級數 \sum^{\infty}_{n=1}a_{\varphi(n)} 稱為 \sum^{\infty}_{n=1}a_n 的一個重排。

絕對收斂和條件收斂的定義

\sum^{\infty}_{n=1}a_n 為一級數。
(一)若 \sum^{\infty}_{n=1}|a_n| 收斂,稱 \sum^{\infty}_{n=1}a_n 是一個絕對收斂級數(absolutely convergent series)。
(二)若 \sum^{\infty}_{n=1}|a_n| 發散且 \sum^{\infty}_{n=1}a_n 收斂,稱 \sum^{\infty}_{n=1}a_n 是一個非絕對收斂或條件收斂級數(conditionally converging series)。

例如

\sum^{\infty}_{n=0}(-\frac{1}{2})^n 是絕對收斂級數。
\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^n}{n} 是條件收斂級數。

Bernhard Riemann 定理

\sum^{\infty}_{n=1}a_n 是一個條件收斂的實數級數,且 -\infty \le \alpha \le \beta \le +\infty。必存在一個重排 \sum^{\infty}_{n=1}a_{\varphi(n)} 使得其部分和(partial sum)所成的數列 \{t_n\}^{\infty}_{n=1} 滿足

\underline{\lim}_{n \rightarrow \infty} t_n = \alpha\overline{\lim}_{n \rightarrow \infty} t_n = \beta

(\underline{\lim}_{n \rightarrow \infty} t_n\overline{\lim}_{n \rightarrow \infty} t_n 分別是數列 \{t_n\}^{\infty}_{n=1} 的下極限和上極限,參考維基吧。)

證明 Bernhard Riemann 定理

\{n \in \mathbb{N} | a_n \ge 0\} = \{n_k | k \in \mathbb{N}\}, n_1 < n_2 < \dots < n_k < \dots
\{n \in \mathbb{N} | a_n < 0\} = \{m_l | l \in \mathbb{N}\}, m_1 < m_2 < \dots < m_l < \dots

\because \sum^{\infty}_{n=1}a_n 是條件收斂的
\therefore 上面兩集皆屬無限集。

對每個 k \in \mathbb{N}l \in \mathbb{N},命 p_k = a_{n_k}, q_l = -a_{m_l},則 p_k \ge 0, q_l > 0

\because \sum^{\infty}_{n=1}a_n 是條件收斂的
\therefore \sum^{\infty}_{k=1}p_k\sum^{\infty}_{l=1}q_l 都是發散。

P_kQ_k 分別表示這兩個級數的第 k 個部分和,則 \lim_{k \rightarrow \infty}P_k = \lim_{k \rightarrow \infty}Q_k = +\infty

其次,選取兩個數列 \{\alpha_n\}^{\infty}_{n=1}\{\beta_n\}^{\infty}_{n=1}
使 \lim_{n \rightarrow \infty}\alpha_n = \alpha\lim_{n \rightarrow \infty}\beta_n = \beta
並且對每個 n \in \mathbb{N},恆有 \alpha_n < \beta_n

\because \sum^{\infty}_{k=1}P_k = +\infty
\therefore \exists k_1 \in \mathbb{N},使 P_{k_1 - 1} \le \beta_1 < P_{k_1}

\because \sum^{\infty}_{k=1}(-Q_k) = -\infty
\therefore \exists l_1 \in \mathbb{N},使 P_{k_1} - Q_{l_1} < \alpha_1 \le P_{k_1} - Q_{l_1 - 1}

k_2, l_2 \in \mathbb{N},其中,k_2 > k_1, l_2 > l_1

P_{k_2 - 1} - Q_{l_1} \le \beta_2 < P_{k_2} - Q_{l_1}
P_{k_2} - Q_{l_2} < \alpha_2 \le P_{k_2} - Q_{l_2 - 1}

如此類推,可得一個 \sum^{\infty}_{n=1}a_n 的重排,形式如下:

p_1 + p_2 + \dots + p_{k_1} - q_1 - q_2 - \dots - q_{l_1} + p_{k_1 + 1} + \dots + p_{k_2} - q_{l_1 + 1} - \dots - q_{l_2} + \dots

x_ry_r 分別表示這個重排中末項分別為 p_{k_r}q_{l_r} 的部分和,則依前面的說明,

x_r - p_{k_r} \le \beta_r < x_r,  |x_r - \beta_r| \le p_{k_r}
y_r < \alpha_r \le y_r + q_{l_r}, |y_r - \alpha_r| \le q_{l_r}

\because \sum^{\infty}_{n=1}a_n 是條件收斂的
\therefore \lim_{r \rightarrow \infty}p_{k_r} = \lim_{r \rightarrow \infty}q_{k_r} = 0

於是

\therefore \lim_{r \rightarrow \infty}y_r = \lim_{r \rightarrow \infty}\alpha_r = \alpha
\therefore \lim_{r \rightarrow \infty}x_r = \lim_{r \rightarrow \infty}\beta_r = \beta

t_n 表示這個重排的第 n 個部分和,則

\alpha \ge \underline{\lim}_{n \rightarrow \infty} t_n
\overline{\lim}_{n \rightarrow \infty} t_n \ge \beta

更進一步,

k_r + l_{r - 1} \le n \le k_r + l_r,則 y_r \le t_n \le x_r
k_r + l_r \le n \le k_{r + 1} + l_r,則 y_r \le t_n \le x_{r + 1}

因此,

\underline{\lim}_{n \rightarrow \infty} t_n \ge \lim_{r \rightarrow \infty} y_r = \alpha
\overline{\lim}_{n \rightarrow \infty} t_n \le \lim_{r \rightarrow \infty} x_r = \beta

亦即

\underline{\lim}_{n \rightarrow \infty} t_n = \alpha\overline{\lim}_{n \rightarrow \infty} t_n = \beta

Q.E.D.

那麼,什麼情況下可以保證重排不會影響無窮級數的收斂的值?就是該無窮級數是絕對收斂的,見下面定理

Peter Lejeune-Dirichlet 定理

\sum^{\infty}_{n=1}a_n 為一級數,則它的每個重排都收斂的充要條件是 \sum^{\infty}_{n=1}a_n 是絕對收斂級數。在這個情況下,每一個重排的和都與原級數的和相等。

證明 Peter Lejeune-Dirichlet 定理

(必要性)即 Bernhard Riemann 定理。

(充分性)設 \sum^{\infty}_{n=1}a_n 為絕對收斂級數,\varphi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} 為一一對應函數。命 s_nt_n 分別表示 \sum^{\infty}_{n=1}a_n\sum^{\infty}_{n=1}a_{\varphi(n)} 的部分和。

\forall \varepsilon > 0

\because \sum^{\infty}_{n=1}|a_n| 為收斂級數

\exists m \in \mathbb{N} 使得當 n \ge m 時,

|a_{n+1}| + |a_{n+2}| + \dots + |a_{n+p}| \le \varepsilon

對每個 p \in \mathbb{N} 都成立。

其次,選取一個 n_0 \in \mathbb{N},使得

\{1, 2, \dots ,m\} \subset \{\varphi(1), \varphi(2), \dots, \varphi(n)\}n_0 > m

則當 n \ge n_0 時,令 m + p 表示 \{1, 2, \dots , n\} \cup \{\varphi(1), \varphi(2), \dots, \varphi(n)\} 中最大值,則

|s_n - t_n| \le |a_{m+1}| + |a_{m+2}| + \dots + |a_{m+p}| \le \varepsilon

\therefore \lim_{n \rightarrow \infty} t_n = \lim_{n \rightarrow \infty} s_n = s,即 \sum^{\infty}_{n=1}a_{\varphi(n)} 是收斂級數且其和與 \sum^{\infty}_{n=1}a_n 的和相等。

Q.E.D.

趙文敏教授著的《無窮級數》提及,上述定理分別於 1865 和 1837 年所發表的。Emile Borel 也曾研究什麼樣的重排不會改變條件收斂級數的和。Wastaws Sierpinski 在 1911 年證明了:要將一個條件收斂級數重排,使新級數的和比原級數的和小,只需將該級數的正項加以重排,而所有負項的位置及次序都保持不變。《無窮級數》一書還記載了另一些有關重排的定理,有興趣找找看吧。

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