Quod Erat Demonstrandum

2008/09/06

純數習題:代數數

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 1:04 上午

中六純數課,談了 proof by contrapositivity 和 proof by contradiction 的分別,再談證明「質數有無限多個」的簡單方法(同學,另外一些證明方法可見舊文:數學閒聊:素數有無限多個)以顯示反證法之威力。隨即,做習題,其中有一題是證明

\sqrt{2} + \sqrt{3} 是代數數(algebraic number)。

根據該中學課本,代數數有如下定義:

\alpha 是某整數係數多項式等式的根(root of a polynomial equation with integral coefficients),則 \alpha 是代數數。(或許應說 \alpha is an algebraic number over \mathbb{Q}

我舉例說

\sqrt{2} 是代數數,因為它是 x^2 - 2 = 0 的根。
\sqrt{3} 是代數數,因為它是 x^2 - 3 = 0 的根。

隨之,戴同學說:「如果兩個代數數和也是代數數,不是已證明完嗎?」我說:「是呀,但為何『兩個代數數和也是代數數』?無論如何,這是不錯的猜想呀!」(當然,這不是猜想,而是定理:若 \alpha, \beta 是代數數,則 \alpha +  \beta, \alpha- \beta, \alpha \times \beta\alpha \div \beta (\beta \ne 0) 都是代數數。)

如何證明『兩個代數數和也是代數數』?修大學代數的同學,當然可以兩三步 KO,但對中學的同學,可以如何初等地處理?

嗯,回頭處理原初問題。設

x = \sqrt{2} + \sqrt{3}
(x - \sqrt{2})^2 = 3
x^2 + 2 - 3 = 2\sqrt{2}x
(x^2 - 1)^2 = 8x^2
x^4 - 10x^2 + 1 = 0

即,\sqrt{2} + \sqrt{3}x^4 - 10x^2 + 1 = 0 的一個根,也即是說 \sqrt{2} + \sqrt{3} 是代數數。

我對戴同學說,嘗試想想一個簡單情況:設 \alpha, \beta 是代數數,且 f(\alpha) = 0, g(\beta) = 0(其中 f(x), g(x) 是二次整數係數多項式),試證明 \alpha + \beta 是代數數。

這裡無聊地寫一個證明。

\alpha 是某二次整數係數多項式等式的根,則存在整數 a, b, c 使 a\alpha^2 + b\alpha + c = 0。由配方法(completing square),上式可變成 (\alpha + r_1)^2 = s_1 其中 r_1, s_1 是有理數。

同理,我們有 (\beta + r_2)^2 = s_2 其中 r_2, s_2 是有理數。

好了,只要倣效證 \sqrt{2} + \sqrt{3} 是代數數的方法,我們也可證 \alpha + \beta 是代數數。設

x = \alpha + \beta
(x - \alpha + r_2)^2 = (\beta + r_2)^2
(x + r_2 + r_1 -(\alpha + r_1))^2 = s_2
(x + r)^2 - 2(x + r)(\alpha + r_1) + (\alpha + r_1)^2 = s_2 (where r = r_1 + r_2)
(x + r)^2 + s_1 - s_2 = 2(x + r)(\alpha + r_1)
((x + r)^2 + s)^2 = 4(x + r)^2s_1 (where s = s_1 - s_2) – – – – – – (*)

\alpha + \beta 是 (*) 的根,而 (*) 是一個四次多項式等式,且它的係數全是有理數(因為 r, s, s_1 皆是有理數)。很容易地,可以把 (*) 變成整數係數的多項式等式,因為,式子的各係數皆是有理數,只要把式子兩邊同時乘上這些有理數的分母之 L.C.M. 便可。於是,\alpha + \beta 就是代數數了。

注一:上面只考慮 f(x), g(x) 是二次多項式,對一般情況,上面的初等方法似乎用途不大。

注二:修代數的同學熟知"set of all algebraic numbers is the algebraic closure of \mathbb{Q} and an algebraic closure of a field is also a field"那麼,一步便 KO 所有情況。)其實在下已把抽象代數的學問忘記到近乎零的地步了,上面有說錯的話,請高手指正,謝謝!

注三:有關證明一些數字是無理數的方法,濟記同學可到學校內聯網討論區的數學區(中四或以上)中,由 2003-04-08 發佈的文章「2的平方根不是有理數的一個有趣證法」開始看看。

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