Quod Erat Demonstrandum

2008/09/07

初中數學堂之:正負數加減

Filed under: Junior Form Mathematics,Teaching — johnmayhk @ 2:02 下午

每年,總有學生問:「如何證明一加一等於二?」下面是很久以前在網上找到的文章【為什麼 1 + 1 = 2】,我貼過又貼,未看過的同學,可讀讀黃毅青教授的介紹:

http://intranet.sfxc.edu.hk/it-school/homepage/nwc/temp/1_plus_1_equal_2.pdf

就是一些很基礎的東西,我們往往忘記它的因由,比如,為何會「負負得正」之類。讓我談一些初中數學的東西,希望 refresh 同學的一些記憶。

我教中一同學認識「有向數」(directed numbers,不過,我都是喜歡「正負數」這個說法,因為怕有少少誤導,以為數字是真的有方向。)會用一些教具:「正負粒粒」

同學多數知道口訣:「負負得正」,不過多數是「知其然而不知其所以然」。所以趁中一不是太趕課程,我也會解釋多少(當然,我也不會在堂上花太多時間做一些大部份人認為無聊的東西)。

用「正負粒粒」代表 +3 (正三),見下

用「正負粒粒」代表 -2 (負二),見下

那麼,如何代表 0 (零)呢?可以用「沒有粒粒」代表,也可以用「一個正,一個負」表示,見下

「一個正,一個負」互相抵消,要先和同學弄清楚,因為有些同學看到「一個正,一個負」,隨即背口訣稱:「阿 sir,正負得負 wor,唔係得到負咩?」授課員要為學生「排毒」,就是太多人云亦云,不明所以而生誤解,起碼,著他先忘記一下口訣。另外,下面的情況,「一個正,一個負」互相抵消,統統代表零:

好了,隨即就是正負數的加減。

加,即是「加入」,比如要計算

(+3) + (-2)

首先放 3 顆正粒粒,即

隨即「加入」2 顆負粒粒,即

由於「一個正,一個負」互相抵消,我們可以移走正負粒粒各一,即

只剩下一個正粒粒,見上圖,於是

(+3) + (-2) = +1

同理,以「加入」粒粒解釋「加法」,不難顯示(注,是顯示,不是計出)以下題目的答案:

(-3) + (-2) = ?
(-3) + (+2) = ?

好了,到減法。我們以「移走」粒粒來解釋「減法」。

比如計算

(+3) – (+2)

不難得到以下的表達:

即是說

(+3) – (+2) = +1

又例如要計算

(+2) – (+3)

即是,我們先放 2 顆正粒粒,再移走 3 顆正粒粒。

可是,那裡是沒有足夠的正粒粒給我們移走。這時,我們利用「一個正,一個負,互相抵消,代表零」,我們「加入」適當數目的「零」,把上面的情況變成下面:

這時,我們便可移走 3 個正粒粒,即

餘下了 1 個負粒粒,即是說

(+2) – (+3) = -1

再舉一例,計算

(-2) – (-5)

先放 2 個負粒粒,

再移走 5 個負粒粒,得因為沒有足夠負粒粒提供,我們便適當地「加入」「零」,見下

這時,我們便有足夠 5 顆負粒粒,可供移走,即

可以,剩下來的就是 3 個正粒粒,於是

(-2) – (-5) = +3

之後,我叫同學在 visualizer 上以「正負粒粒」解一些正負數加減的問題給全班看,即時測試一下他們是否真正明白,就這樣完成了一堂數學課。

我相信沒有一種教學法是萬能,起碼要因學生的接受程度來調適,有學生會覺得上述教法可以幫助他明白,也有學生完全唔知我講咩(上法的其中一個難點是:學生會問點解可以無端端加入 D 粒粒?拿,如果學生咁問就好了,這就是電腦呀電子書呀不能取代授課員的理由:即時互動,因材施教,盡管你跟住教的那本書寫得幾好都好,學生都會唔明,他們都想授課員跟他互動講解,嗯,這樣,授課員的飯碗還可保保。)

至於如何教正負數的乘除法,有機會再談(機會唔大),或許可先看「濟濟一堂」的舊文:

http://www.hkedcity.net/ihouse_tools/forum/read.phtml?forum_id=27877&current_page=&i=902461&t=901593&v=t


這是實物教具
注:那天用塗改液匆匆在粒粒上寫上正負號,感覺很 Kai…

5 則迴響 »

  1. This is spectacular! I have to say.

    迴響 由 koopakoo — 2008/09/08 @ 12:29 下午 | 回覆

  2. Nice to know you have your Blog and Webpage Koopa, great! We can learn more (esp. advanced) mathematics then! Thank you!

    迴響 由 johnmayhk — 2008/09/08 @ 2:23 下午 | 回覆

  3. 為什麼不是有向 = =
    數軸?

    迴響 由 Lan — 2011/02/14 @ 7:26 下午 | 回覆

  4. 黃毅青 = 黃毅「英」教授?

    迴響 由 RICKY — 2014/09/10 @ 2:49 下午 | 回覆


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