Quod Erat Demonstrandum

2008/09/22

論商餘 (一)

Filed under: HKCEE,Junior Form Mathematics,Pure Mathematics — johnmayhk @ 10:34 下午
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所謂「商」「餘」乃 quotient 及 remainder 是也。這個 post 只是一些有關除法的簡單討論。

「長除法」是頗漂亮的算法,但願將來仍可保留在中小學的課程中。

中四談到數系(number system),同學應該知道:

「有限小數(terminating decimal)和循環小數(recurring decimal)」必然是「有理數(rational number)」(其實即是分數,fraction)

為何?因為「有限小數和循環小數」總有方法轉化成分數,比如,0.3 即是 \frac{3}{10}0.333... 即是 \frac{1}{3}

接著,同學認識到

「無窮非循環小數(non-terminating and non-recurring decimal)」不是「有理數」。

比如,

x = 0.10110111011110...(每補一個 0,1 的數目比之前增加 1 個)

不是有理數,而是無理數(irrational number)。

但為何「無窮非循環小數」是無理數?因為它不能轉化成分數嘛。但為何它不能轉化成分數呢?是我們不懂如何轉化,還是根本不能轉化?

讓我以最低層次的邏輯表述如下:

如果「x 是有限小數或循環小數」則「x 是有理數」。

上述是真命題,但它的否命題(inverse),即

如果「x 既非有限小數,亦非循環小數」則「x 不是有理數」。

是否真命題?我們要額外証明,不能直接由原命題推論出。我們嘗試考慮上述命題的逆反命題(contrapositive),即

如果「x 是有理數」則「x 是有限小數或循環小數」。

只要証明上述命題為真,便知「無窮非循環小數不是有理數」。如何証明?就是用長除法了。

有理數,即是分數,即是一個整數除另一個整數。把分數轉小數,用長除法是也。舉例,把 \frac{1}{7} 轉成小數,有

於是 \frac{1}{7} = 0.1428571428571...,是一個循環小數。大家留意到,上述算式以紅圈圈著的數字,即 1,3,2,6,4,5,1,… 其實是某數被 7 除後的餘數(remainder),比如 3 就是 10 除以 7 的餘數,2 就是 30 除以 7 的餘數等等。(小心,10 「除以」 2 即 10 \div 2;但 10 「除」 2 即 2 \div 10

易知,某整數除以 7 後,餘數只可以是 0,1,2,3,4,5 或 6 這 7 個可能性。那麼,在這樣的長除法的算法中,如果某一步遇到餘數是 0,即長除法算法「做完」了,導致得出的「答案」是有限小數。如果遇不到 0,長除法便不斷進行,產生的「答案」就是無窮小數(如上例的 0.1428571428571...)問題是,這樣的無窮小數為何一定是循環小數?理由很簡單,就是如果長除法不斷無了期地進行下去,但是得出的餘數(即上例紅圈圈著的數字)卻只有有限個選擇(被除數是 n 便只有 n – 1 個選擇),那麼到某一步,某個餘數便會再次出現;如上例

第一步得餘數 1;
第二步得餘數 3;
第三步得餘數 2;
第四步得餘數 6;
第五步得餘數 4;
第六步得餘數 5;
第七步得餘數 1;< – – – 重複出現了
第八步得餘數 3;< – – – 自然地,跟著出現的會是 3

當某餘數重覆出現,接下來的餘數也一個跟一個重覆再出現,那麼對應著的「答案」之小數位數,也重覆出現,因此,答案就是循環小數了。此之謂「長除法」可推論「無窮非循環小數是無理數」也。

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