Quod Erat Demonstrandum

2008/09/24

比較係數

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 10:05 下午
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以下是一道簡單的短題。

f(x) = ax^2 + bx + ca \ne 0),滿足 f(f(x)) \equiv f^2(x),求 a, b, c 的值。

教科書給出的解如下

f(f(x)) \equiv f^2(x)
f(y) \equiv y^2 (let y = f(x))
ay^2 + by + c \equiv y^2
\therefore a = 1, b = c = 0

最後一步是由所謂「比較係數」(comparing coefficients)完成。

大家覺得上述方法有沒有問題?或許有些東西要弄清楚。上述的

ay^2 + by + c \equiv y^2

其實是什麼意義?如果是以下的意義

ay^2 + by + c = y^2 \forall y \in \mathbb{R}

即是我們一般認為的恆等式之意義(對於所有實數 y,L.H.S. 也等於 R.H.S.),則易知 a = 1, b = c = 0

但上式根本不是這個意義,因為 y 的定義域(domain)D 不是 \mathbb{R},而是

D = \{y : y = ax^2 + bx + c, x \in \mathbb{R}\}

如上例,f(x) \equiv x^2,即 D = [0,+\infty)

對於某些定義域 D,縱使有

ay^2 + by + c = y^2 \forall y \in D

也不一定保證 a = 1, b = c = 0,比如

D = \{1 , 2\}

ay^2 + by + c = y^2 \forall y \in \{1 , 2\}

那麼,(a, b, c) 就不一定是 (1, 0, 0),而是有無限可能性,比如 (a, b, c) = (2, -3, 2)

通常研究多項式 p(x),會說 polynomial over a (scalar) field K,記曰 p(x) \in K[x]。即是說,p(x) 的所有係數,都屬於集合 K。代數學上的所謂 field(體)K,粗糙意思是,集合 K 內的任何兩個元素,皆可進行加減乘除四則運算。於是,p : K \rightarrow K 是有定義的(well-defined)。中學時,必然考慮 K = \mathbb{R}

上例的 D = [0 , +\infty) 就不是 field。不過這不是大問題,函數 p 的定義域為 D,可視之為定義域為體 K 的一個 restriction p|_D

就算定義域真的是一個體,也不能保證「比較係數」可行。比如,費馬小定理告訴我們:對任何素數 pa^p \equiv a (mod p),那麼設 K = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} (ring of integers modulo p)那麼定義在這個體 K 上的多項式 p(x) = x^p - x。必有

x^p - x = 0 \forall x \in K

然而 p 的係數並非全零。可見零函數(即 p(x) = 0 \forall x \in D)並不一定是零多項式(即 p(x) 的所有係數皆零)。

好了,談回原初問題。不同於剛剛的例子,定義域 D = [0 , +\infty) 是無限集,我們總可找出三個不同的 y 值:y_1, y_2, y_3 滿足

ay^2 + by + c = y^2

即是說 y_1, y_2, y_3(a - 1)y^2 + by + c = 0 的根。

擴充定義域到 \mathbb{R},由於 y_1, y_2(a - 1)y^2 + by + c = 0 的根。我們有

(a - 1)y^2 + by + c \equiv (a - 1)(y - y_1)(y - y_2)

上式代入 y = y_3,得

(a - 1)y_3^2 + by_3 + c = (a - 1)(y_3 - y_1)(y_3 - y_2)
0 = (a - 1)(y_3 - y_1)(y_3 - y_2)
a - 1 = 0(因為 y_1, y_2, y_3 是相異的。)

類似地,可證 b = c = 0

其實,這不過是「n 次多項式等式若有多於 n 個相異根,即該多項式之所有係數皆零」的證明手法。

無聊透了,就此擱筆。

習題

1. 原題目有一個條件:a \ne 0,但在上述所謂「教科書給出的解」有沒有用到這個條件?如果題目沒有那個條件,又如何?

2. 有同學給了以下的一個「超快」的解

f(f(x)) \equiv f^2(x)
Let y = f(x), then
f(y) \equiv y^2
\therefore f(x) \equiv x^2
Hence, a = 1, b = c = 0

如果你是改卷的老師,你會如何批改上述的解答?

3 則迴響 »

  1. >>即是說 y_1, y_2, y_3 是 (a – 1)y^2 + by + c = 0 的根。
    在考試中能夠做到這一步的話,可以直接引用那個定理就收工了
    (要汲取某一年的教訓呢…)

    「n 次多項式等式若有多於 n 個相異根,即該多項式之所有係數皆零」

    當然想對該定理加以證明是一個好好的練習
    另外對於n=2的情況下,除了在文章中以多項式作為處理手法外
    還可以使用另一課書學到的知識去解決
    (那是什麼? 大家慢慢想吧,那也是近年來很冷門的東西
    但希望學生真是能想到是什麼,以免再度被考評局屈機)

    迴響 由 rai — 2008/09/26 @ 12:26 上午 | 回覆

  2. […] 上次討論過,不贅。 […]

    通告 由 又來比較係數 « Quod Erat Demonstrandum — 2010/12/28 @ 11:43 下午 | 回覆


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