Quod Erat Demonstrandum

2008/10/07

論商餘(二)

有同學問到綜合除法(synthetic division)之原理,讓我詳述之。

本文共分四部份:
一、算法
二、原理
三、推廣
四、應用

一、算法

初中數學接觸過多項式的除法,比如當 x^3 - x^2 + 5x - 4 除以 (x - 2),其商(quotient)及餘式(remainder)如何?同學大概懂得運用長除法(long division),見下:

得商為 x^2 + x + 7,餘式為 10

利用中四學到的餘式定理(remainder theorem),可以直接找到餘式。

f(x) = x^3 - x^2 + 5x - 4,除以 (x - 2) 後的餘式就是 f(2) = (2)^3 - (2)^2 + 5(2) - 4 = 10,但不能找到商。利用綜合除法,我們不只找到餘式,更可找到商,方法如下:

先把被除式(dividend)的各項按 x 的指數由大至小排好,如上例,x^3 - x^2 + 5x - 4 各項的次序已排好了。把係數列出,如下

要除以 (x - 2),我們便在上表的左列寫上 2 字,即

接著,在第二行補個零,見下

把表內第一行和第二行的數字相加,即 1 + 0 = 1,得

把答案(即是 1)乘以左上角的數字(即是 2),得出的新答案(即是 1*2 = 2)寫在第二行,即

把表內第一行和第二行的數字相加,即 -1 + 2 = 1,得

把答案(即是 1)乘以左上角的數字(即是 2),得出的新答案(即是 1*2 = 2)寫在第二行,即

把表內第一行和第二行的數字相加,即 5 + 2 = 7,得

把答案(即是 7)乘以左上角的數字(即是 2),得出的新答案(即是 7*2 = 14)寫在第二行,即

把表內第一行和第二行的數字相加,即 -4 + 14 = 10,得

好了,上表填滿,算法完成。我們只要看第三行的結果,最右的一個數字,即是 10,就是餘式(即 remainder = 10)。至於第三行的其他數字,即 1, 1, 7,就是商的係數,即是說,商 quotient = x^2 + x + 7。因為被除式是三次的(degree 3)而除式(divisor)是一次的(degree 1),所以商便是二次的(degree 2)。

先溫習一下。看看下表,同學明白表中的數字是如何得出嗎?記住「你加乘」,應該好易明。

其次,同學要懂得把上表「翻譯」成「多項式的語言」,即是:

被除式 = 2x^4 + x^3 + 0x^2 - 4x - 7
除式 = x + 3(最左面的數字是 a,除式就是 x - a
商 = 2x^3 - 5x^2 + 15x - 49
餘式 = 140

同學,我們更可以寫出一條橫式:

2x^4 + x^3 - 4x - 7 \equiv (x + 3)(2x^3 - 5x^2 + 15x - 49) + 140

用長除法試之,結果完全吻合:

(注:上圖為數學授課員常用網上工具之一 http://calc101.com/webMathematica/long-divide.jsp 產生)

綜合除法比長除法優勝,算法簡便。長除法當中的運算利用「減」,綜合除法則用「加」。

有一點要注意,上述幾個例子,除式(即 x - a)的首個係數(leading coefficient)都是 1,如果除式的首個係數不是 1,比如計算

(6x^3 - 2x^2 + 5x - 4) \div (3x + 2)

除式的首個係數是 3,那麼,利用綜合除法求商的時候,答案的係數就是第三行的數字除以 3 後的結果,詳情如下:

最左的數字填上 -\frac{2}{3},其實就是使除式 3x + 2 等於零的 x 值。參考上表,第三行最右的數字,不錯,就是餘式 -10,但商卻不是 6x^2 - 6x + 9。為何?

把上表「翻譯」出來,其實是

(6x^3 - 2x^2 + 5x - 4) \equiv (x + \frac{2}{3})(6x^2 - 6x + 9) - 10

右面要進行通分母,即

(6x^3 - 2x^2 + 5x - 4) \equiv (3x + 2)(\frac{6x^2 - 6x + 9}{3}) - 10
(6x^3 - 2x^2 + 5x - 4) \equiv (3x + 2)(2x^2 - 2x + 3) - 10

我們才可得到商 = 2x^2 - 2x + 3,正是綜合除法表中第三行的數字,除以 3 後的結果,即

一般地,若除式是 ax + b,則商的係數,就是第三行的數字(不計算最右一個,即餘式)除以 a 後的結果。

同學,特別是初中的同學,希望你明白綜合除法的算法過程。雖然綜合除法是「超級快」的方法,但勸大家考試測驗時,都是乖乖地運用長除法吧,因為「求學真是求分數」嘛,老師扣減你的「步驟分」時不要罵我。

二、原理

好了,認真的同學會進一步問:「Why it works?」明明長除法是「減乘」,何解綜合除法是「加乘」?最關鍵的一步是:當除以 (x - a) 時,長除法是「乘 -a,再做減法」,既然「負負得正」,綜合除法便聰明地「乘 a,再做加法」。還不明白?讓我利用「畫公仔畫出腸」教學法。

考慮 (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) \div (x - a),利用長除法,得出:

看到商以及餘式是「加乘」的效果嗎?再看不到,試比較綜合除法的對應運算如下:

第三行的數字,正正是商的係數與餘式。

大家留意,餘式 = D + a(C + a(B + aA)),慢慢把它由內而外「爆開」,得到餘式 = Aa^3 + Ba^2 + Ca + D,豈不就是計算著 f(a) 嗎?其中 f(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D 即被除式。故得"餘式 = f(a)"這個大家熟知的餘式定理(remainder theorem)。

三、推廣

上面討論的除式是一次的,如果除式是二次或以上,仍可運用綜合除法嗎?可以的,方法和之前類似。

比方說,除式為 x^2 - px - q 時,我們把 pq 填在最左面。舉例,(3x^4 - 2x^3 + x^2 - x + 4) \div (x^2 - x + 2),則 p = 1, q = -2,表之為:

繼而在第二和第三行補上四個零,見上。跟著又進行「你加乘」,把第一、二和三行加起,把答案分別乘所謂的 pq,把兩個乘積(product)分別寫在第二及第三行。具體地:


(3 + 0 + 0 = 3)


(3*1 = 3 => 第二行;3*(-2) = -6 => 第三行)


(-2 +3 + 0 = 1)


(1*1 = 1 => 第二行;1*(-2) = -2 => 第三行)


(1+1+(-6) = -4)


(-4*1 = -4 => 第二行;-4*(-2) = 8 => 第三行)


(-1+(-4)+(-2) = -7;4+0+8 = 12)

好了,表中填滿數字,算法完成。

第四行最右面兩個數字:-7 , 12 就是餘式的係數,即餘式是 -7x + 12
第四行其餘的數字:3 , 1 , -4 就是商的係數,即商是 3x^2 + x - 4。(留意,被除式是4次,除式是2次,商便是4 – 2 = 2次了。)

把上表以多項式表達,有

(3x^4 - 2x^3 + x^2 - x + 4) \equiv (x^2 - x + 2)(3x^2 + x - 4) -7x + 12

一般地,若除式為 ax^2 - px - q,則上表之最左,填上的數字便是 \frac{p}{a}\frac{q}{a},而商的係數就是第四行的答案除以 a 而得出。

若除式為三次,x^3 - px^2 - qx - r,循上法,開始算法前只須適當補零如下,「加乘」如舊,見下。

如何解釋上述算法之可行?嗯,同學你又試試以「畫公仔畫出腸」的方式進行長除,明示之。

四、應用

例一:二進制轉十進制

欲把 100101_{(2)} 這個二進制數字轉化成十進制,只要把該數字寫下,利用綜合除法,在最左填上數字 2,見下:

那麼,第三行最右一個數字(即 37),就是答案,也即是說,100101_{(2)} = 37_{(10)}

例二:把多項式寫作另一個多項式之組合

5x^3 + 2x^2 - 3x -4 \equiv A(x - 1)^3 + B(x - 1)^2 + C(x - 1) + D,求 A, B, C, D

不斷進行除以 (x - 1) 的綜合除法,共作 3 次,見下。

那麼,每次得到的餘式,即紅圈者,以及最下一行最左的數字,即藍圈者,依次就是題目要求的係數,即 A = 5, B = 17, C = 16, D = 8。即

5x^3 + 2x^2 - 3x -4 \equiv 5(x - 1)^3 + 17(x - 1)^2 + 16(x - 1) + 8

例三:把多項式拆開(expand)

拆開 3(x + 2)^3 - 2(x + 2)^2 + 4(x + 2) - 5

如例二,不斷進行除以 (x - 2) 的步驟,共做 3 次。

依次寫出上表被圈出的數字,便是「答案」,即

3(x + 2)^3 - 2(x + 2)^2 + 4(x + 2) - 5 \equiv 3x^3 + 16x^2 + 32x + 19

為何上法可行?同學,留給你做習題吧。

習題

1. 試以綜合除法解決初中數學教科書的有關習題。
2. 試以你自己的語言解釋當除式是 ax^2 - px - q,綜合除法的算法原理。
3. 試以你自己的語言解釋應用題的三個例子之背後原理。
4. 本文有太多不完美之處,試以你自己的語言批評之。

後記:希望仍有時間寫「論商餘(三)」。

10 則迴響 »

  1. One more application was added.

    迴響 由 johnmayhk — 2008/10/08 @ 11:14 下午 | 回覆

  2. 好記得F.5時你講過,,呢個方法連考官見到都會好開心…
    我到依家都仲會用呢個方法搵roots,,貪佢夠快…

    迴響 由 lanven — 2008/10/09 @ 2:20 上午 | 回覆

  3. me2…

    我教補習時…. 我都會教學生用依個方法。

    迴響 由 Ricky — 2008/10/09 @ 3:07 上午 | 回覆

  4. lanven & Ricky,作為授課員,看到畢業同學仍然記得自己教過的東西,感覺超級良好。

    迴響 由 johnmayhk — 2008/10/09 @ 10:33 上午 | 回覆

  5. 係唔係打錯左d野呀?

    拆開 …(x+2)…(x+2)…。

    如例二,不斷進行除以(x-2)的步驟,共做 3 次。

    請恕小生冒昧@.@

    迴響 由 F.4E student — 2008/11/01 @ 9:01 下午 | 回覆

  6. F.4E 同學,你嘗試拆開

    3(x+2)^3 -2(x+2)^2 + 4(x+2)-5

    看看答案是否正確。

    迴響 由 johnmayhk — 2008/11/02 @ 10:12 上午 | 回覆

  7. (2×4 + x – 1) ÷ (x2 + 3x + 1)
    可以點除?? (用Synthetic Division)

    迴響 由 Aris — 2009/01/04 @ 8:43 下午 | 回覆

  8. Aris,上文有提及做法,為使你明白,我左手拿手機,右手寫字玩自拍。所以字體草了,見諒。去片

    http://uk.youtube.com/watch?v=x0OcB6wwGkM

    迴響 由 johnmayhk — 2009/01/04 @ 9:54 下午 | 回覆

  9. That’s my first time to read this blog,the appilcations of synthetic division are really useful.

    Thx a lot !!!!!

    迴響 由 4D student — 2010/06/11 @ 12:46 下午 | 回覆


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