Say something about series in Applied Mathematics (II)

Here is just a typical question in AL Applied Mathematics (II).

For natural numbers ().

Let , evaluate .

The technique is all about series.

On expanding , the coefficient of is .

On the other hand,

Hence the coefficient of in the series above is

Yields,

Use exactly the same technique, I set up the following as a question in a quiz

Let , evaluate .

Using the fact that , I gave the following answer:

.

But most of students gave a clean expression by usual practice: differentiation.

Hence, to a certain extent, my question was not well set.

Urm, well, at least I’d created an additional mathematics question:

Prove that, for natural number ,

.

*******************************

Just for reference of my students, here is a re-post of a discussion on textbook question about series.

(a) By expanding the integrand as a series of powers of and integrating term by term, find the series for , assuming the method to be valid provided that .

(b) Write down the series for and hence obtain the series of .

(c) Hence calculate with accuracy for 5 decimal places, given that .

下文原貼於 2004-10-07 濟濟一堂學術討論區

Part (a) Trivial.

Part (b) 答案是

– – – – – – (*)

Part (c) 尋求 ，並要求準確程度達小數點後 5 位。理論上，我們要先找出所謂 error term ，再設 ，來找出對應的 ，才知道要加多少項。但這題給了一個 Hint：，為何用之？如何用之？

稍稍利用計數機，立即知 。

若單純地設 ，從而得出 。

但若把 代入上式 (*)，你會發覺計算了很多項，也未能接近 2.079441542 這個數字（用 excel 試 ，要到第 22 項才可確定準確程度為小數點後 5 位的答案 2.07944），粗略地說，這是因為代入 ，這個數字比較接近 1，那麼 (*) 中涉及 的項，要相當大的 ，才可以使 接近 0，換言之，代入 便會使 (*) 收斂得比較慢。

幸好，題目給了 這個資料，因為 所以，只要知道 ，便知 了。

今設 ，易得 。這便會使 「快」一些接近零。即 (*) 可以快一些到達要求的準確程度。

試試看：

– – – – – – (1)
– – – – – – (2)
– – – – – – (3)

於是 （只要用 3 項，便有這個準確程度了，不似之前要 20 多項）。

因為題目沒有嚴格要求同學進行誤差評估，所以，處理這題，我們只要像中五時處理 method of bisection 般（注：現在已不在會考課程內），不停做 iteration， 當取小數點後某個位而答案不變時，則停止 iteration。

當然，我們可以進行誤差評估，步驟如下：

Let

其中

計一計 的導數，

故

觀眾可以注意到，取 愈接近 0， 便愈「快」接近 0。

當 時，

要求小數點後 5 位的準確程度，我們只需設：

如何解出上式？trial and error 吧，但非常容易地試出 ，換言之，當 ，(*) 只要兩項，便達到所需的準確程度，所以，我們可以在式子 (2) 停下來，放心寫出 這個答案。