Quod Erat Demonstrandum

2008/11/02

不能秒殺的提問:餘式定理

Filed under: HKCEE — johnmayhk @ 4:53 下午
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教了餘式定理,隨便亂出題:設 f(x) 是多項式,已知

f(x) \div (x - 1),餘式為 3
f(x) \div (x - 2),餘式為 5

那麼,當 f(x) \div (x - 1)(x - 2) 時,餘式是什麼?

同學秒殺之,答案是 2x + 1,毫無難度。但有 4E 同學提出他的解法如下:

由題意,易知

f(x) \equiv (x - 1)Q_1 + 3 – – – – – – (1)
f(x) \equiv (x - 2)Q_2 + 5 – – – – – – (2)

那麼,我們有

(x - 1)Q_1 + 3 \equiv (x - 2)Q_2 + 5

代入 x = 2,得

Q_1 + 3 = 5
\therefore Q_1 = 2

由 (1),得到 2x + 1

這就是餘式了。

大家可能看出上法不妥之處,第一,(1) 和 (2) 中的 Q_1Q_2 應該是多項式 Q_1(x)Q_2(x)。第二,就算 Q_1 真是 2,用 (1) 計出的 2x + 1 都應該是 f(x),而不是餘式。

但問題是,4E 同學用這個方法,確實可以解決其他類似的題目。

作為授課員,最高興就是這個時候:破解疑問。惜當天是放學時間,在下也想得不夠快,不能秒殺之。

4E 同學的方法,如果用來做多項選擇題,是不錯的方法!

在 (1),(2) 式中,若當中的 Q_1Q_2 被視為常數,即我們「老屈」f(x) 是一次多項式(polynomial of order 1),那麼,既然 f(x) 是一次的,當它除以 (x - 1)(x - 2) 這個二次的多項式,餘式自然就是 f(x) 本身,即

f(x) \equiv (x - 1)(x - 2) \times 0 + (2x + 1)

[注:用整數的情況類比,例如 3 \div 10,餘數就是 3 本身,即 3 = 10 \times 0 + 3]

所以,寫 f(x) \equiv (x - 1)Q_1 + 3,無非表示 f(1) = 3,又因 f(2) = 5,立即得,(2 - 1)Q_1 + 3 = 5,可見,Q_1 = 2,從而 f(x) \equiv 2x + 1,當它除以 (x - 1)(x - 2),餘式便是 f(x) 它自己,即 2x + 1 了。

若我們並不關心 f(x) 的 degree,4E 同學的方法是可行的。

縱使 f(x) 並非一次,只要稍微推論,也得到4E 同學的方法之所以可行的解釋:

f(x) \equiv (x - 1)(x - 2)Q(x) + Ax + B

分別把 Ax 一項變成 A(x - 1)A(x - 2),得

(x - 1)(x - 2)Q(x) + A(x - 1) + A + B \equiv (x - 1)(x - 2)Q(x) + A(x - 2) + 2A + B – – – – – – (*)

f(1) = 3, f(2) = 5,知 A + B = 3; 2A + B = 5

那麼 (*),可變成

(x - 1)(x - 2)Q(x) + (x - 1)Q_1 + 3 \equiv (x - 1)(x - 2)Q(x) + (x - 2)Q_2 + 5

(不過是稱 A 這個常數為 Q_1Q_2 而已。)

可見,上式代入 x = 2,便可找到 Q_1,那麼,餘式是 (x - 1)Q_1 + 3,即 2x + 1 是也。

到這裡,我估計同學會問:這個方法在考試測驗時可否使用?強烈建議:否,因為改卷員會以為你概念不清,扣步驟分。

Also read

https://johnmayhk.wordpress.com/2008/09/20/find-remainder-by-interpolation/

2 則迴響 »

  1. 好暈, 睇完當冇睇反而心安理得

    迴響 由 F.4E student — 2008/11/03 @ 7:30 下午 | 回覆

  2. 當我冇寫過。

    迴響 由 johnmayhk — 2008/11/04 @ 8:07 上午 | 回覆


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