Quod Erat Demonstrandum

2008/11/04

at 17

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 3:22 下午
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其實是 center at 17,大家先看看下表:

看到什麼規律沒有?其實上表是以 17 為中心,順時針地把之後的整數,一個個寫出,見下。

還看出什麼規律沒有?幫幫你,看看對角線:

紅色的數字有何特別?就是,它們皆是質數。

不難把紅色數列

17,19,23,29,…

的通式寫出

19 = 17 + 2 \Rightarrow 19 - 17 = 2
23 = 19 + 4 \Rightarrow 23 - 19 = 4
29 = 23 + 6 \Rightarrow 29 - 23 = 6

a_n = a_{n - 1} + 2n \Rightarrow a_n - a_{n - 1} = 2n (這裡,設 a_0 = 17。)

加起上面的 n 條式,得

a_n - 17 = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n
a_n = 17 + 2(1 + 2 + 3 + \dots + n) = 17 + n(n + 1)

問:用上述方法產生的數列 17,19,23,29,… 全都是質數嗎?

否,明顯地,因

a_n = 17 + n(n + 1)

n = 16 時,

a_n = 17 + 16(17) = 17(1 + 16) = 17^2 非質數也。

可見,at 17 又好,at 19 又好,用上法生產出來的數列,肯定沒有可能全是質數。(即 a_n = p + n(n + 1),則 a_{p - 1} = p^2,非質數出現。)

如果我問,要在對角線上,連續地得到最多質數,中心應該 at 什麼?暫時提議 at 41,不知諸君意下如何?

5 則迴響 »

  1. 經過運算後..
    在1-10000中..中心at 41的確能連續得到最多質數
    相信at 10000之後的數..也不會比41多吧..

    迴響 由 4E student — 2008/11/04 @ 9:38 下午 | 回覆

  2. 4E student 果然認真,不錯不錯!

    "在1-10000中..中心at 41的確能連續得到最多質數"你是寫電腦程式檢驗的嗎?

    n^2 + n + 41 其實大有文章,它是由 18 世紀瑞士數學家歐拉發現,堪稱「質數製造機」的多項式,因為,雖然它不能產生所有質數,但在 n = 0 至 一千萬中,它可產生近 1/3 的質數!有空再談(不過,怕又開空頭支票…)。

    迴響 由 johnmayhk — 2008/11/04 @ 9:49 下午 | 回覆

  3. 對..是用dev c++寫的..
    本來以為可以計出一個比41還要多的數..
    怎料…

    迴響 由 4E student — 2008/11/04 @ 10:03 下午 | 回覆

  4. 我只知 at 41 能產生很多質數,但要「連續地」產生最多的質數,我不知是否還是 at 41?

    迴響 由 johnmayhk — 2008/11/04 @ 10:13 下午 | 回覆

  5. […] 同學也曾聽聞 是所謂「質數製造機」吧(代入 得出的值全是素數),這裡多介紹四個: […]

    通告 由 閒談小學數 « Quod Erat Demonstrandum — 2009/06/18 @ 6:50 下午 | 回覆


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