Quod Erat Demonstrandum

2008/11/05

講座簡報:常見的不等式及奧數解題範例

Filed under: Pure Mathematics,Report — johnmayhk @ 12:32 上午
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昨晚出席了岑嘉評教授主講,題為【常見的不等式及奧數解題範例】的公開講座。原來荃濟的趙老師,帶了廿多位同學一起出席。我就忘了報名,早上急忙傅真報名表,一支公出席。

在教育局九龍塘教育服務中心西座四樓演講廳,可說是座無虛席。

上次聽岑教授演講,是關於「多項式費馬大定理的簡單証明」,但對他的印象,仍然是我當年在中大旁聽他的代數課:Ideal theory。昨晚,他穿黑色西裝,仍然如上次一樣,在巨型螢幕下,手拿長長的白杆做 pointer。今次比上次進步了,有 lazer pointer,只是不是由他,而是由助手控制。

不知怎的,岑教授好像老了,除了有些咳嗽,說話時似乎有點辛苦,慢和重覆。希望他多多保重。

他提了我,「x over y」是讀成「x 騎 y」。

不過,岑教授慢慢說,都是為了台下的中學生聽眾著想,希望他們聽得明白而已。

今次的講題吸引我,因為奧數的不等式題可以是很精采,然而,岑教授舉的範例也是頗舊的題目,很多還是 pure mathematics 中常見的,但連奧數常見的 Jensen 不等式也沒有提及(不過,時間或許不足以談太多),確實有點失望。

其中一道舊題

x = \frac{1}{2}\times \frac{3}{5}\times \frac{5}{7} \times \dots \times \frac{99}{100},證明 x < \frac{1}{10}

方法是,考慮

y = \frac{2}{3}\times \frac{4}{5}\times \frac{6}{7} \times \dots \times \frac{100}{101}

明顯,x < y

即,x^2 < xy

故,
x^2 < (\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}\times \frac{5}{7} \times \dots \times \frac{99}{100})(\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}\times \frac{6}{7} \times \dots \times \frac{100}{101})
x^2 < \frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\times\dots\frac{99}{100}\times\frac{100}{101}


x^2 < \frac{1}{101}

亦即
x < \frac{1}{\sqrt{101}} < \frac{1}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10}

把上限由 \frac{1}{10} 進一步改良,變成另一道奧數題,見下:

證明 \frac{1}{2}\times \frac{3}{5}\times \frac{5}{7} \times \dots \times \frac{99}{100} < \frac{1}{12}

原來是先證

\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}\times \frac{5}{7} \times \dots \times \frac{2n - 1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{3n + 1}}

如果證明?By M.I.,中六同學,當做 AL 題目,試解之。

岑教授有時也頗主觀:

1. 他認為:M.I. 很強,可以用來解奧數題,但學校阿 sir 係唔會教的。
2. 在另一道基本是純數習題的範例,有關 x_1x_2...x_n = 1 的,他對台下的同學說,老師考你們 M.I. 就係出呢 D 技巧,大學入學試都係咁出。(嗯,那不錯是個好技巧,但不一定出的吧?)
3. 談到奧數考的不等式問題時,他稱不等式考極咪 AM >= GM。

在發問環節,有問:「如何想出 \frac{1}{\sqrt{3n + 1}}?」這就是我最想知的,不過岑教授回應是寫多幾項看 pattern。嗯,頗難吧。M.I. 可教,但想出諸如 \frac{1}{\sqrt{3n + 1}} 似乎「不能教」。你說,當我進一步修正上限,比如

\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}\times \frac{5}{7} \times \dots \times \frac{99}{100}< \frac{39794619}{500000000}

那麼,我們又如何從寫多幾項看出 pattern,從而運用 M.I.呢?

今次講座還有一個瑕疵,就是講義太多 typo,很可能幫岑教授打字的朋友不是數學人。

總的來說,講座中,數學方面的得著不多,但近尾聲聽岑教授分享經驗也不錯。

他說要學好數理,有天才不是最重要,緊要的是要有好奇心和不要自滿,也要有信心。當中提到一位數學家,用 30 多年解一個數學問題,其間因沒有得到什麼結果,大學也(打算?)不聘用他,但最後也證明他的研究結果是正確。就是他對自己研究的東西有那份信心。

主持問岑教授,喜歡數學的人給別人的印象是怪人,如何回應?岑教授稱:天才與白痴只差一線。數學家不是故意不與別人溝通,只是他們腦中經常思考著數學,希望別人理解。岑教授指出,這些怪人屬少數;一些出名的數學家,諸如陳省身,華羅庚,蘇步青等等都是擅於溝通,且他們也是寫詩的。很多數理專家,也有很高的文學修養。

好了,實習記者 John Ng 報導完畢。

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