Quod Erat Demonstrandum

2008/11/06

續:零的零次方

Filed under: Fun — johnmayhk @ 6:34 下午
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在本誌「中二數學堂:零的零次方」這個 post 的回應中,Yee 君提出了對 0^0 = 1 的看法,使我獲益不淺。

剛剛在 google 搜尋一下,赫然發覺,原來「0^0 是什麼」這個問題已有 1200 年歷史(再一次證明在下的數學學養之貧乏),當中找到以下資訊:

有名英國的博士聲稱用 Nullity 可以解答這個問題,原來他定義 \frac{0}{0} 為所謂 nullity,他的計算方法竟然是:

0^0
= 0^{(1 - 1)}
= 0^1 \times 0^{-1}
= (\frac{0}{1})^1(\frac{0}{1})^{-1}
= (\frac{0}{1})^1(\frac{1}{0})^{1}
= \frac{0}{0}
= nullity

吓!連博士都寫 0^0 = \frac{0}{0},跟著寫一個不知是何物的符號,稱它為 Nullity 便 OK 了事?

參考

http://www.bbc.co.uk/berkshire/content/articles/2006/12/06/divide_zero_feature.shtml

都是參考以下的最佳解答,好像比較好一點,其意見和 Yee 君談的很類近:

http://ks.cn.yahoo.com/question/1308072900241.html

上文帶出:0^0 並不是 undefined,而是等於 1。

208 則迴響 »

  1. 偶然看到一個叫在台灣討論區討論起0^0來,
    便和好友研究了一個早上,
    發現以下研究0的網頁:
    http://mathworld.wolfram.com/Zero.html

    網頁提到lim_(n->0)n^n=lim_(n->0^+)n^n=lim_(n->0^-)n^n=1. 為一合理猜想,但不應用於複數
    故証明並不完整

    因此認同答案應該看成為計算中的intermediate才有意義

    很難去斷定數學是先有完整定義才有意義
    或是有意義的東西才去定義,這是有落差的

    例如law of indices 的所有rules是在a\ne 0 下才有定義的
    http://www.tutorvista.com/content/math/number-theory/indices/indice.php
    所以先將未定義的東西用公式証明是不恰當的.

    例如yee的証明:
    令 0^0 = x
    對任意數 k,x^k = (0^0)^k – – – (1)
    x^k = 0^{(0 \times k)}
    x^k = 0^0
    x^k = x
    其中 k 可以為負數,此時 0 不是解。- – – (2)
    所以 1 是唯一解,
    意即 1 是 0^0 唯一合理的定義。

    以上(a^0)k = a^{(0 \times k)}
    但是(0^0)k 則不能等於 0^{(0 \times k)} 因為a\ne 0
    故甚至不能寫出該等式

    於中學數學中當然通用,但高階數學便不成立
    通用的數學是有盲點的
    正如你不能解釋足球的4:0
    或是男校中男生:女生數目永不出現於率及比中作教材一樣

    迴響 由 Asathor — 2008/11/07 @ 9:45 上午 | 回覆

  2. 補充網址:
    http://mathworld.wolfram.com/ExponentLaws.html

    迴響 由 Asathor — 2008/11/07 @ 9:47 上午 | 回覆

  3. 那是我回答的啦。

    迴響 由 Yee — 2008/11/07 @ 12:28 下午 | 回覆

  4. 指數律遇到0的負數次方或分母為0時在不適用。
    如果認為底數為0時指數律完全不適用,請問0^2有什麼意義?

    迴響 由 Yee — 2008/11/07 @ 12:45 下午 | 回覆

  5. 指數律遇到0的負數次方或分母為0時才不適用。
    如果認為底數為0時指數律完全不適用,請問0^2有什麼意義?

    迴響 由 Yee — 2008/11/07 @ 12:46 下午 | 回覆

  6. 連博士都犯了0^0=0/0的錯誤。

    迴響 由 Yee — 2008/11/07 @ 12:48 下午 | 回覆

  7. 對,連博士也會錯
    我是說指數運算對base0的指數不適用,不是指數表達不能有base0的符號
    除了law 0: 0^n=0*0*0*0*…..*0通用外,擴展其他公式也要用除零的概念
    正數通用是因為正數在set數字中是很有限的set
    由於初中的教育限制, 書本都迴避問題, 直至高中同學才開始有能力作出猜想
    但擴展至complex no時發覺問題又出來了,
    雖然yee的prove看來很合理,亦于能否定,但其他的推論認為只限real number,
    故我認為在某些限制下成立, 但不應看成mathematical truth比較好
    或者有一天由世界知名的數學家帶頭下定論/否定才可解決爭辯
    一個有趣的話題,結論是沒結論
    這是我和大學的同學研究了半天的總結-_-“

    迴響 由 Asathor — 2008/11/07 @ 2:20 下午 | 回覆

  8. 0^0應該定義為1,這是我的結論。
    只恨我不是知名數學家。

    迴響 由 Yee — 2008/11/07 @ 2:27 下午 | 回覆

  9. 0^2*0^3=0^(2+3)
    (0^2)^3=0^(2*3)
    看不出指數律不適用的理由。

    迴響 由 Yee — 2008/11/07 @ 2:29 下午 | 回覆

  10. 你認為0!=1是事實還是定義?

    迴響 由 Yee — 2008/11/07 @ 3:56 下午 | 回覆

  11. factorial exist among all real number
    i remember there exist fractional / negative factorial interpretation in gramma’s equation
    and factorial make sense only in real number set
    so zero factorial should be befined among whole set

    but index involved complex number
    so we should not defined something only vaild on several subset

    In mathematics,
    many things in true but not going to define

    e.g.
    足球的4:0
    男校中 女生:男生的 n:0
    both of them are undefined
    0:4 and 4:0 are both make sense
    那麼 0:4 define, 4:0 undefined?
    我認為定理需有其通用性,
    如果某情況可以,另一些不行的話,會令人無所適從
    故兩者皆不可, 而不是凡能表達的東西都應加以定義

    故引用http://www.tutorvista.com/content/math/number-theory/indices/indice.php
    a =/= 0 時,
    law of indices 中加那個可以,減不可以,定理來說是不嚴謹的
    故a=0的通用性對定理來說是不成立的
    只可說是看法而不能是truth
    想必許多數學家也是這樣難下定論吧

    如果你的proof是完整的,解決了1200年的問題,應該可以得獎吧

    p.s 感謝john創了這麼一個blog~,我也準備當老師了~你的分享很有用呢~~~

    迴響 由 Asathor — 2008/11/07 @ 4:37 下午 | 回覆

  12. 在複數域裡,遇到0的負數或虚數次方或分母為0時指數律不適用。
    這樣也就沒有矛盾了。
    如果你認為在複數域裡會有問題,能不能把問題講得明確一點?
    你用Gamma function來說明0!是事實,但這並不足以說0^0=1不是事實。
    我舉了兩個例子,就足以說明0^0=1是事實,否則一個例子也找不到。

    迴響 由 Yee — 2008/11/07 @ 6:31 下午 | 回覆

  13. 理論都是人定出來的,一個定理的適用性當然是讓它越廣越好,底數為0時指數律仍可能適用才合理。

    迴響 由 Yee — 2008/11/07 @ 6:33 下午 | 回覆

  14. 請教 Yee,都是關於之前你提供的證明。以下一步可行嗎?

    y = 0 \Rightarrow y^{-1} = 0^{-1}

    起初我覺得不行,所以我認為下一步

    x = 0^0 \Rightarrow x^k = (0^0)^k \forall k \in \mathbb{R}

    有問題,因為當中有一個未知是否為零的東西 0^0,於是我建議證明要分 cases(其實應該分 x > 0x \le 0)。

    但若承認「未定義的量是唯一的」,那麼

    y = 0 \Rightarrow y^{-1} = 0^{-1}

    便沒有問題。

    又或寫 \frac{1}{0} = \frac{2}{0} 也沒有問題。

    注:我不是要推翻 0^0 = 1,只是請教而已。

    @Asathor

    感謝你的留言和提供參考資料,順帶一問,你將會是在台灣、香港還是別的地方當教師呢?

    迴響 由 johnmayhk — 2008/11/08 @ 10:44 上午 | 回覆

  15. 這個問題我在前一篇有提過,我一開始並沒有假設它不為0,但關鍵是指數律仍然適用,
    (0^0)^(-1)=0^(0*(-1))=0^0
    所以0自然不是解。
    至於指數律為什麼還可以適用?因為沒有遇到不適用的情形,所以繼續適用。
    如果你還覺得難以接受,我只好說,0^0=0的假設在其它領域找不到印證,所以不採用;至於0^0=1在組合數學中還找得到印證。

    迴響 由 Yee — 2008/11/08 @ 12:41 下午 | 回覆

  16. 不,我並不是難以接受 0^0 = 1,也不是(亦不懂)推翻 0^0 = 1,我只是想請教 Yee,比如我想知:

    \frac{1}{0} = \frac{2}{0}

    的寫法是否有問題?

    可能有意見認為有問題,因為這步會導致

    \frac{1}{0} \times 0 = \frac{2}{0} \times 0 \Rightarrow 1 = 2

    的問題,但如果以零乘任何「數」都是零,那麼,等式左右不過是零,無問題。

    為何要問?

    有時我寫

    \frac{1}{x - 3} \equiv \frac{2}{2x - 6}

    常刻意注明:x \ne 3

    但其實就算 x = 3,我們是否仍然可以認為等號兩邊相等?

    又例如

    1 = 0^0
    \log(1) = \log(0^0)
    0 = 0\log(0)

    寫最後一步,有沒有問題?

    迴響 由 johnmayhk — 2008/11/08 @ 4:56 下午 | 回覆

  17. 你問1/0=2/0是否有問題,這是有問題的。
    分母不可為0。
    我也一直避開這種情形。
    至於對數的問題,可以從定義解決。
    ln(0^0)=ln(1)=0成立,
    只要從定義限制不可把ln(0^0)寫成0*ln(0)也可以避開這個問題。
    可是為什麼要這樣限制?或許有一點是為了定義0^0=1而量身訂作的吧。
    如果不定義,反而更不合理。

    迴響 由 Yee — 2008/11/08 @ 5:25 下午 | 回覆

  18. Thank you Yee!

    迴響 由 johnmayhk — 2008/11/08 @ 6:59 下午 | 回覆

  19. yee,
    complex 那個是在http://mathworld.wolfram.com/Zero.html找到的
    我挺認同那個limit的approach
    lim n^n 趨向 1 我是認同的,yee的prove在complex內怎樣我不能想像,
    n->0
    因為index rule在我記憶中沒有用complex的定義
    但我提供的approach 卻是not exist的
    我嘗試測試continunity, lim f(0+h)- f(0-h)
    h->0 2h
    f(x)=a^0是在0 exist的
    但continue的要求是先define,
    如果先認為他不是well define,那麼limit也代表不了甚麼
    好像是玩logic的遊戲

    看成n^0時便趨向1, 看成0^n時趨向0
    但是大家那一套亦有漏洞
    所以我在想一定是有甚麼你我還未學的東西決定了他的undefined
    我技窮了…找不到定論
    我是支持因為不完整和不足夠意義而唯有不下定義的一派的-_-“

    Johnmayhk : 我現在於香港實習中,
    為了想法子令小孩子讀開心點,
    才鑽牛角尖想找這些問題的答案的…
    想不到比証明1<2還要難…

    迴響 由 Asathor — 2008/11/10 @ 9:53 上午 | 回覆

  20. yee, 我同時在想的亦是
    “只要從定義限制不可把ln(0^0)寫成0*ln(0)也可以避開這個問題" 的問題

    我理解為公式是對的,但不可代入0
    如果以我這想法,以上的便不存在,
    如果用A不可寫成B的理解,那麼豈不變成公式出了問題?
    所以我才認為如果定義了一些新的東西, 會影響舊有的rules,
    那麼新的東西在定義上便有問題

    john:
    我用我的方法嘗試解決你的提問,
    y=0是成立的,但加上-1次方, 即於a^-1=b^-1的properties上加入了a=y,b=0的限制,
    但indices law中,a,b是不可代入0的,所以不成立
    例如limit那一課,某些limit是不可拆的,因為UNDEFINED
    我從那時起便這樣的理解公式:
    公式是通用的properties, 不可代入一些令其中一部份undefined的東西
    正如1/0=2/0一樣
    p.s. 那個 1/0*0=2/0*0是錯的哦
    “0″不是0的mutliplication inverse哦,所以即使1/0=2/0,1也不等於2哦

    迴響 由 Asathor — 2008/11/10 @ 10:12 上午 | 回覆

  21. 關於極限的問題,我很早就解釋過了,極限不存在,仍然可以定義。
    沒有什麼不完整可言。
    至於意義足不足夠,那就更難界定了,請問要有多少“意義"才能定義門檻?
    而且0!=1的意義也沒有比0^0=1“多出很多"。

    影響舊的東西是不至於,舉例來說,0^2=0成立,但不會寫成2*ln(0)=ln(0)。
    至於指數律中底數為0時,
    0^2*0^3=0^(2+3)
    (0^2)^3=0^(2*3)
    我實在找不出指數律不成立的理由。
    更何況,一個定理我們會盡量讓它適用的範圍越廣越好,
    如果底數為0時指數律完全不適用,豈不是讓它的適用範圍變小嗎?
    這樣限制有何意義?

    迴響 由 Yee — 2008/11/10 @ 2:38 下午 | 回覆

  22. 若要限制一個定理的適用性,等它真正遇到矛盾的時候再限制吧。

    迴響 由 Yee — 2008/11/10 @ 2:56 下午 | 回覆

  23. 歷史又重演了嗎?這個千多年的疑問,相信曾熱烈地被討論過,到 2008 年的今天,仍在討論中。

    放學後又試 google 一下,找到下網:

    http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/

    當中談到印度數學家 Guglielmo Libri 考慮了 0^(0^x) 這個函數(不知是否即是 Yee 的證明),文中緊接道,很多數學家認同 0^0 = 1,但 Cauchy 把 0^0 列出一表「未定義的形式」(undefined forms),包括 \frac{0}{0}\infty - \infty(相信 Yee 不認同這些)。該段末稱”The debate stopped there, apparently with the conclusion that 0^0 should be undefined.”

    正如 Yee 認為,博士(甚至數學家)(在這個問題上)也會出錯;權威也不等於正確;只是我沒有看過當中的文獻,無法看清楚當中的論點,無從判斷,不知道 0^0 = 1 的辯論是否真的「已經結束」。

    上述網頁也列出一些參考資料,諸君如有進一步的想法、資料甚或文獻,可以的話,分享一下,謝謝。

    迴響 由 johnmayhk — 2008/11/10 @ 5:31 下午 | 回覆

  24. 從來都沒有數學家可以證明定義0^0=1會產生矛盾。
    至於不定義的理由其實都很牽強:不連續、不方便、不優雅、意義不大。再不然就是那些被我推翻的錯誤理由。
    這種理由根本無法說服別人。
    至於定義的理由雖然不多,其實還是找得到的。
    除了明確定義0^0=1之外,沒有任何方法停止爭議。

    迴響 由 Yee — 2008/11/10 @ 10:10 下午 | 回覆

  25. 我不打算再爭辯了,
    大家不隨便被說服也是正常的好事。
    yee的prove沒有錯,但看看以前的學者,不定義的原因的確正是那些"牽強"的理由
    我記得我大學重新回顧indices的時候,doctor說 a^0 = 0 是定義出來的,沒有証明
    他提到重點是若果不是如此定義的話,會牽連很多數學的理論崩潰。
    那些3^2=3*3, 3^1=3*3/3, 3^0=3*3/3*3=1 只是給小孩子看的推想
    因此我深信定義不是為建立而建立, 是為了確保現有已建立的理論不相矛盾。
    至少我不認同yee的說法只是因為沒有使用0^0運算的需要,
    定義了只是為了"完滿"罷了。

    迴響 由 Asathor — 2008/11/11 @ 3:13 下午 | 回覆

  26. yee提了多次0!=1, 現在不是討論0^0嗎?
    不明白為何用比較的心態對待定義,
    “因為0!=1都可以定義,所以0^0=1都應該可以定義"
    無論兩以上兩者的理據如何,這已犯了邏輯上的錯誤吧…

    by pascal triangle, 可知 nCn = 1

    nCr = n! /r! * (n-r)! r is non negative integer 沒錯吧

    nCn * (n-n) = n! / n!

    1* 0! = 1

    0! = ? , 不定義可以解決combination的問題嗎?

    迴響 由 Asathor — 2008/11/11 @ 3:30 下午 | 回覆

  27. 根據二項式定理:
    0^0
    =(1-1)^0
    =C(0,0)*1^0*(-1)^0
    =1*1*1
    =1

    迴響 由 Yee — 2008/11/11 @ 4:55 下午 | 回覆

  28. 那我明白了,先定義了0^0 well defined 以上的公式成立
    但不定義我也覺得還可以
    因為在if part中,

    1
    => 1*1*1
    => C(0,0)*1^0*(-1)^0
    真的可以變成 (1-1)^0 嗎?
    結果是0^0因為上一行默認了index law 能夠base 0 吧
    “如果0^0 exist,那數值只能是1″我能是認同的,
    以上的proof也是很正常的結果吧

    但義了0^0之後但結果真的沒有對數學界有太大衝擊,
    其他人的論點和你的証明其實是互不衝突的
    大家用了不同的APPROACH去解說,
    “如果0^0 exist,那數值只能是1″ 是正確的,
    “日常生活中/數學推論中沒用處"也是對的,
    那麼何故執著呢……

    迴響 由 Asathor — 2008/11/12 @ 11:22 上午 | 回覆

  29. 補充一句,gamma function 的出現加強了0!的真確性,
    有助確立0!的定義
    http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

    相比之下,0^0的"証明"確實不足夠,確實弱了些
    至少畫不了x=y^z 的function graph

    迴響 由 Asathor — 2008/11/12 @ 11:29 上午 | 回覆

  30. 或許一個數學好的人,就該這麼執著吧。

    迴響 由 Yee — 2008/11/12 @ 4:38 下午 | 回覆

  31. 數學所要追求的,本來就是理論上的完美,而非實用性。

    迴響 由 Yee — 2008/11/12 @ 8:48 下午 | 回覆

  32. If we consider

    \[ (e^{-1/x})^{x}, \]

    and consider the limit x -> 0, we get 0^0 in the expression, but the limit is 1/e ≠ 1.

    I think nullity is a just crackpot theory and was invented to make money from it. It is just similar to IEEE 754’s NaN. (See: http://en.wikipedia.org/wiki/James_Anderson_(computer_scientist) )

    迴響 由 kennytm — 2008/11/14 @ 4:14 上午 | 回覆

  33. I mentioned, the definition of 0^0 is irrelevant to the limit.

    迴響 由 Yee — 2008/11/14 @ 8:52 上午 | 回覆

  34. 人家一電腦的証明,
    你只用數十句的數式便斷言和定義無關
    要完整其理論,極限推算是必要的
    就算連續與否,極限確實帶出定義的重要性
    你先假設有定義,然後推算成立,
    那其實你一開始甚麼也不用做,
    假設有定義IMPLY有定義 不是立即完成了嗎?
    如果証明0^0不須極限輔助,那為何又提出k^0=1這公式?
    未証明0^0是對之前,k是能是0以外的數
    所以你那個let k=0^0 的proof便不成立了
    沒有極限的幫助,你不能先let undefined的東西為x
    “假設存在,只能是一"是你的proof說的

    那個proof是對的
    就正如外星人生小孩,小孩一定是有心臟的

    但…有外星人嗎?
    不須外間因素輔助便可証明,這叫完整嗎?

    迴響 由 Asathor — 2008/11/14 @ 11:59 上午 | 回覆

  35. 沒有一個理論限制函數在極限不存在的地方不能定義,極限不存在又如何?
    這還有什麼需要長篇大論的?
    如果要限制函數在極限不存在的地方不能定義,恐怕對現在的數學理論帶來更大的衝擊。
    至於假設0^0是可以定義的,是非常合理的。
    如果反過來假設它是不能定義的,就得不到任何結果,那麼將無法解釋為何不能定義,這才是不合理的。
    泰勒展開式、傅立葉級數也都是先假設成立的。
    假設成立,然後找出矛盾,最後才能推翻。
    不是假設不成立,要我找理由讓它成立,這不合數學的原則。
    找不到矛盾的,都該當作成立的。

    迴響 由 Yee — 2008/11/14 @ 3:12 下午 | 回覆

  36. 虚數真的存在嗎?數學家證明出來了嗎?

    迴響 由 Yee — 2008/11/29 @ 1:13 下午 | 回覆

  37. Yee, again:

    http://www.askamathematician.com/?p=4524

    迴響 由 johnmayhk — 2011/08/25 @ 8:40 上午 | 回覆

  38. 這個問題實在沒有什麼新的論點,
    而是看數學家要如何解讀這些現有的論點。
    只要不把連續性視為無限上綱,
    不要亂用指數律,
    承認0^0=1在某些領域有用處,
    實在沒有不定義為1的理由。
    也沒有必要把一個簡單的問題搞得這麼複雜。

    迴響 由 Yee — 2011/08/30 @ 12:58 下午 | 回覆

  39. 知道如何使用bbs者可上批踢踢實業坊(telnet://ptt.cc)內的Math板 搜尋作者znmkhxrw的文章

    便可知此君鬧出了多大笑話

    為了使0^0=1成立 此君已然說出”現今數學界的代數理論是垃圾”般的結論

    回頭看到了這兩句話

    “或許一個數學好的人,就該這麼執著吧。"

    “數學所要追求的,本來就是理論上的完美,而非實用性。"

    我只能說 哈哈

    迴響 由 ptt — 2011/12/19 @ 6:40 上午 | 回覆

    • 對不起,重點是 znmkhxrw 君如何回應 0^0=1 這命題?

      迴響 由 johnmayhk — 2011/12/19 @ 8:46 上午 | 回覆

  40. 不能代入數字的代數,
    無言……

    迴響 由 Yee — 2011/12/19 @ 10:35 上午 | 回覆

  41. 考慮一個環,(有加法、有不見得可交換的乘法,乘法對加法有分配律,不見得有乘法單位元素)
    譬如2Z(偶數環)、C_0(R)(實數到實數的緊支撐連續函數)。
    比起0次方的概念,更有用的是環這種概念。

    a是環中的元素,那麼a^0應該定義成什麼呢?
    從(a^0)*(a^0)=a^(0+0)=a^0這點來看。
    我們似乎要找一個「平方後還是自己」的元素。
    拿上面舉的環的例子來說,只有0這個元素有這性質,
    所以定義成0是最合理的!
    特別說一下,0^0也應該是0。
    而且要強調的一點是:這個定義是可以用在所有的環。

    指數律雖然不再正確,但反正指數律是後來才找出的「規律」,
    所以失效還算可接受。
    然後這樣定義的話,交換環的二項式定理聽說寫起來會很怪,
    一遇到指數是0都不能代值了!?
    (但事實上二項式定理壓根沒用過0^0,用x^0也只是記號而已。)

    所以囉,最好的做法就是不要去定義0^0。
    而且沒事的時候也不要想著去定義a^0,因為沒有意義。

    迴響 由 Ninetales — 2011/12/19 @ 10:35 上午 | 回覆

    • 有1的環,零次方定義為1,
      沒有1的環,零次方依現有定義。
      零次方所要滿足的,
      不是僅僅平方等於自己而已。
      你的這種定義,
      造成指數律不成立,
      是製造麻煩。
      定義0^0=1就不同。
      3^2*0^2=(3*0)^2
      3^0*0^0=(3*0)^0
      0^0/3^0=(0/3)^0
      (0^2)^3=0^(2*3)
      0^(-0)=1/0^0
      都變成可以成立的。
      只要不遇到0的負數次方或分母為0,
      都可以成立。

      迴響 由 Yee — 2011/12/20 @ 8:39 上午 | 回覆

      • 還有一項:
        0^2*0^3=0^(2+3)

        迴響 由 Yee — 2011/12/20 @ 9:22 上午

  42. 借用你自己說過的話 “數學所要追求的,本來就是理論上的完美,而非實用性。"

    再看看這句話"有1的環,零次方定義為1,沒有1的環,零次方依現有定義。"

    連你自己都讓0^0在不同地方使用不同定義了 何來0^0=1是唯一合理之說?更別說這有任何"理論上的完美"可言

    ps.
    對於為什麼此君忽然之間講到這個他從來沒有提過的"環"
    有興趣者可自行上ptt數學版搜尋標題"二項式定理與多項式"便知道前因後果 以及此君何以會自降標準 從"完美"變成"允許存在兩種不同定義"
    事實上根據一系列的文章可以明確知道此君並未讀過大學代數(因為他不知道群 環 體這代數最基本的結構的定義)
    但此君不肯聽從建議先去唸過一些代數再來思考此問題 反而不斷反覆的指責一票數學
    專長者對於代數的理解不對 最後辯不過甚至直接宣言"代數理論是為了讓0^0未定義的垃圾理論"
    但也許此君內心早已知道自己的論點瑕疵很大 所以標準一路降低從"完美"變成"最合理"再變成"有應用所以合理"(事實上還是沒有用到 不過他高興稱x^n能寫成x^n*0^0是應用那板友也懶得理他)到現在他已經允許兩種定義同時存在

    但是這樣一來此話題便是被他親自了結 因為0^0在不同領域會有不同定義本來就是目前的實際情況(像是計算機科學的領域的確就定義為1)
    而"0^0沒有統一的定義"不就正式不定義0^0最好的理由?

    對於ptt文章有興趣的數學同好 很抱歉的一點是文章的長度實在累積的有點過長 想要看的人可能得自己連線去ptt.cc觀看
    (windows的用戶可google pcman這套軟體來上bbs)

    迴響 由 ptt — 2011/12/21 @ 4:43 下午 | 回覆

  43. 有1的環,
    1是0^0唯一合理的定義。
    何謂完美?
    它包含了一部分的實用性,
    但有一部分是比較抽象的觀念。
    這些觀念是看你要不要接受,
    也不是絕對的對錯。
    你只是以寫成的理論來討論,
    許多抽象的觀念是無法以寫成的理論來表達的。

    迴響 由 Yee — 2011/12/22 @ 2:27 下午 | 回覆

  44. 或者應該說,
    許多寫成的理論並未將所有的抽象觀念包含進去。
    以寫成的理論來反駁抽象觀念是否合理?

    迴響 由 Yee — 2011/12/22 @ 7:11 下午 | 回覆

  45. 你要談實用性 我就直接把ptt mgtsai板友的文章直接截下來給大家看

    “第三個例子,我就拿電機通訊領域常使用的 Reed-Solomon code 為例
    它的組成就是以 Galois Field 為定義域的多項式
    裡頭的 X 則是 Galois Field 的一個元素
    (通常方便起見,X 通常會表達成某一多項式,
    所以 Reed-Solomon code 的組成,為:某群多項式所形成的體,
    再以這個體組合出多項式,這是剛開始學習 Reed-Solomon code 時較常困擾之處)

    Reed-Solomon code 用於資料儲存或傳輸的 error correction
    最常見的應用,就是幾乎每台電腦上都有的配備:光碟機

    由於光碟片的表面容易磨損,所以在記錄資料時
    會多燒一些額外的資訊,作為錯誤自動修復使用
    當光碟片表面輕微刮損時,可以靠這些額外資訊,算出原來的資料
    光碟片記錄資料所使用的編碼,就是 Reed-Solomon code

    光碟資料儲存這樣的應用,應該夠大眾化了吧!!!"

    是的 更通用的一般環跟體裡面也有著非常實用的應用 如果0^0=1在這些很實用的環裡面沒辦法成為合理的定義

    那本來就稱不上完美 更遑論ptt上早就一堆人跟你說過的你的應用其實根本是沒用

    不過這句話我先保留 你要當做他有用我也沒意見 其他有興趣的同好可見這篇 http://tinyurl.com/7ycnznk

    有沒有用大家自己判斷即可

    回到結論 : “這些觀念是看你要不要接受,也不是絕對的對錯。"這是你自己說的

    那很明顯數學界不接受你的觀點的人是佔大多數(請注意我沒有說沒有接受的人)
    而且你既然說他不是絕對的對 不接受的人又佔大多數 那0^0=1就沒有可能會是"唯一且合理的定義"

    那就結束了 因為爭辯的一開始並不是有人說0^0的不定義是毫無爭議的 而是你說0^0=1是唯一合理的

    既然你的唯一合理根本就不成立 那爭論就應該畫上句號了

    迴響 由 ptt — 2011/12/22 @ 7:26 下午 | 回覆

  46. 你要說0^0=1是抽象觀念 fine

    第一 我認為這個抽象觀念沒什麼用 你高興怎麼定義我都沒興趣

    但是我支持數學家們的共識 就這樣

    第二 不知道是誰一開始辯論的時候頻頻的說在二項式定理會用到的?
    (有沒有用大家自己評判 http://tinyurl.com/7ycnznk)
    不知道是誰一開始一直用二項式定理右邊的summation形式來當做擁護0^0=1的主力的?
    “以寫成的理論來反駁抽象觀念"的人是誰?我只知道以二項式定理的形式成立來支持0^0=1
    跟用二項式定理的形式成立來反駁0^0無定義應該是差不了太多的

    第三 對於你要爭辯的東西 結果你自己的標準卻隨著論點的改變而一再改變
    對於此現象我能給的建議跟其他ptt上給過一樣建議的學長們一樣 多唸點書吧

    如果你接下來要開始探討何謂完美?何謂有用?何謂抽象?甚至何謂數學?
    那我對此類話題毫無興趣 自便

    言盡於此

    迴響 由 ptt — 2011/12/22 @ 7:40 下午 | 回覆

  47. 許多領域都其獨特的定義。
    在複數環0^0=1是非常合理、應該做的。
    而複數環在數學上是大多數理論討論的領域。
    我沒有必要被你牽著鼻子到許多特別的領域去。

    迴響 由 Yee — 2011/12/23 @ 8:51 上午 | 回覆

  48. 如果運算有單位元素,
    0個運算元的運算就是單位元素,
    這是一個很棒的觀念。
    0^0=0!=1
    是0個數相乘,所以是乘法的單位元素。
    都可以用這個觀念解釋。

    迴響 由 Yee — 2011/12/23 @ 8:54 上午 | 回覆

  49. “特別的領域"?你今天講的不是在數學上的定義嗎?

    複數域的擴張不算是數學嗎?

    我直接截ptt的文章給各位同好看吧

    "

    然後是多項式,為什麼我要提出沒有 1 的環來當例子?

    因為這可以讓我們對 x^0 這個記號了解得更透徹!

    如果有個沒有 1 的環 A,A[x] 就是以 A 為係數的多項式環。

    問題來了!ax^0 + bx^1 + cx^2 是什麼?x^0 又是什麼?

    如果要定義成 1,這是沒有道理的。

    從更廣義的角度來看,x^0 並不能定義成 1,當然也就沒有什麼代值的功能。

    既然廣義而言,x^0 只能當成記號,那狹義來說也是一樣。

    再說吧,Z_6 共有 6 個元素:0、1、2、3、4、5。

    {0,3} 用 Z_6 的加法跟乘法自然形成一個環,乘法單位元是 3。

    如此 3^0 似乎應該定義成 3。

    但是 3 本身是 Z_6 的元素,所以 3^0 又應該是 1?

    或者我們看更「複數」一點的環:C⊕C。

    (1,0) 是在「第一個」C裡面的乘法單位元,

    所以當然 (0,0)^0=(1,0)?(此處不只 (0,0) 會出事。)

    而且也不是說C衍生不出 rng(ring without identity),

    例如:C (R)={定義於實數系上的複數值 compactly supported 連續函數}。
    0
    (0 函數)^0=1?1 又在何處呢?1 函數也不對啊(support=R)。

    (當然,此處不只 0 函數會出事。)

    從這些例子可以看到,如果沒有群結構(不能延伸出群結構),

    實在不太應該定義「零次方」。"

    C⊕C這夠普通了吧?不過就是複數域加上一點線性代數的觀念就可以理解

    另外一點不要誤會 沒有人要簽著你的鼻子往任何地方走

    也沒有人要試圖說服你0^0是無定義 一開始你在ptt發文herstein大就說過你要定義0^0=1也無所謂

    今天是你跑來說服大家0^0=1是唯一合理的定義 別人才會拿出專業知識來反駁你的論點

    如果你說的是0^0=1 “對你而言"是唯一合理的定義 那我只能說I don’t care , 你高興就好.

    迴響 由 ptt — 2011/12/23 @ 1:29 下午 | 回覆

  50. 另外 “而複數環在數學上是大多數理論討論的領域。" 不知道你是打錯字還是真的搞錯了

    這句話錯的非常非常離譜

    首先 複數"環"?學分析的人就極少可能會用到這觀念了 而且我想念分析的人應該比唸代數的多很多

    第二 專門探討實數的學問我想不會比在複數上操弄的東西少多少 不然為什麼有先大學先修了複變 研究所才修實變?

    當然這句話是雞蛋裡挑骨頭 請無視

    至於"在複數環0^0=1是非常合理、應該做的。"不論你說的是在複數環還是複數 都錯的很離譜

    前者的話請看上一篇我截下來的文章 後者的話我不清楚你是想說什麼?將零次方視為function嗎?

    那我再截一段文章吧(剛剛忘記附上作者 下列這段和前列那段作者都是Vulpix)

    “首先我們看一個集合:{真,假},賦予離散拓樸後成為拓樸空間。

    再來我們就看C(複數體)吧,賦予拓樸T={empty,C,C-{0}}。

    至於為什麼看這個拓樸呢?

    因為我們要研究的對象是「二項式定理」的 yee 版本(或其他相關的公式),

    問題就是:「二項式定理」可以代入 0 以外的值,那 0 呢?

      因為「其他複數」是一國的,而 {0} 是閉集合,所以為了簡化問題,

      除了一定要有的開集合以外,只考慮 C-{0} 這一個開集合。

    再精確一點:二項式定理可以代入 0 這件事,是真還是假?

    所以我們應該建構一個函數 f:C→{真,假} ,
    z├→「『二項式定理』可以代入 z」的真值

    已知:z≠0 則 f(z)=真。

    若 f(0)=假,則 f 不連續。(因為 {真} 的 preimage 不閉。)若 f(0)=真,則 f 連續。

    所以如果我們選擇讓 f(0)=真,就可以讓「『二項式定理』可以代值」,

    但這是為了讓 f 連續才做的。偷偷地用了連續性來支持 0^0=1。

    將「f 是連續函數」翻譯成白話文:

      其他複數都可以代入「二項式定理」,所以 0 當然也要可以,這樣才廣義。

    或更激烈一點:

      「二項式定理」不能代 0 嗎?真是垃圾公式!"

    先講結論以免你誤會我貼這篇要說啥(最後一段單純是作者嘲諷yee先生在ptt板上的失禮言行 不必認真)

    首先我覺得單純視零次方為一個function的話 這個解釋對於讓0^0=1算是好理由了

    但是同樣的標準來看"極限不存在"這個支持0^0是undefined的理由 那其實也很合理

    就端看你自己覺得哪個更合理(附帶一提 只論這個論點的話我是支持0^0=1的)

    但這很明顯的完全捨棄掉了代數這一塊理論以後 0^0=1依然不是一個大家都覺得合理的結果

    更遑論"非常合理""應該做"這兩件事情了

    迴響 由 ptt — 2011/12/23 @ 1:48 下午 | 回覆

  51. 最後我重申 yee先生心理很堅持0^0=1的話我是毫無意見的 我根本不想說服你讓你改變想法

    今天會有這類討論產生單純只是yee先生到處宣揚說服大家0^0=1在數學上唯一合理 才會有這麼多強者發文反駁

    另外就是像"如果運算有單位元素,0個運算元的運算就是單位元素"這種東西

    你要自己發明一套新的理論我個人沒什麼意見 但是如果你是基於現今已經存在的理論說這句話的話我只能請你多唸點書

    首先"這是一個很棒的觀念"我就看不出來(我說的是看不出來 不是不同意)

    而且這套理論放在代數裡面的話有個問題 單位元素是加法單位元素還是乘法單位元素?"0^0表示零個運算元的運算"是可以代表

    0^0=0或0^0=1的 這個"很棒的觀念"甚至是有可能不支持0^0=1的 所以我只能假設你的理論是獨立於代數的自成一國

    而你的這套理論裡面"單位元素"就是指1而已

    你的這套理論未來發展以後有沒有用我不願意下評語 只是你拿這個民科的東西來說服大家數學0^0=1就異想天開了

    除非你這套理論最後也變成一個被承認的數學理論 我想到時候你就算不到處講 大家也會自動認為0^0=1的

    但是現在?我看到的只是有人用自己對現今數學的理解到處宣揚0^0=1是唯一合理 然後被一群學的更多的人反駁

    然後爭論的標準一變在變 從"唯一合理"到"比較合理"在到"某些領域最合理"在到"某些領域比較合理"最後到了"我引進一個新觀念

    在這新觀念裡面這非常合理"

    或許你覺得0^0不等於1真的很不好 但遺憾的是你的論理只是加深了很多人對於0^0應該是不定義的支持

    最後還是一句老話 你認為0^0=1我真的覺得沒意見 相信很多人也都沒有意見

    你想繼續研究探討讓0^0=1變得更為"完善"的話那真的就是請自便了

    ps.事實上標準降到第三步的時候爭辯早就該結束了 因為在計算機科學的領域裡面0^0=1的確是最合理的(連google都跟你說是1了)
    會繼續爭執下去我也只能認為是yee先生最終還是想達成"唯一合理"的結果

    ps2.關於ptt何處去?Windows用戶請google “PCMAN" Mac用戶請google “Nelly"或是"Welly" 這是用來上bbs用的
    網址是telnet://ptt.cc 進去以後跟著說明申請一個帳號或單純使用guest登入
    接下來從 分組討論區–>國家研究院–>科學學術研究院–>理論科學研究中心–>Math 便來到了數學板

    接下來用指令 “a" 可以搜尋作者名稱 “/"搜尋文章標題

    討論串相關作者 : herstein znmkhxrw Vulpix mgtsai
    討論串相關標題 :0的0次方 二項式定理與多項式

    迴響 由 ptt — 2011/12/23 @ 2:22 下午 | 回覆

    • 謝謝 ptt 的留言。不知怎的,我用 edu.hk 電郵仍未能在 ptt.cc 做註冊。

      迴響 由 johnmayhk — 2011/12/23 @ 2:57 下午 | 回覆

  52. 數學界應該更勇於面對0。
    因為某些特別的領域不適合定義,
    所以大部分的領域也跟著不定義,
    是否合理?

    迴響 由 Yee — 2011/12/23 @ 7:16 下午 | 回覆

  53. 問題本身我不感興趣 既然我同意數學是追求完美 那如果數學家因為自己的潔癖覺得他沒辦法很普適的通用到大部分數學領域

    那我本身是同意數學家的共識的

    但是如果你的意思是"0^0定義成1不合理的領域只是某些特殊的領域" 那我只能給你四個字 不知所云

    首先 你不懂 不會 不知道的領域就歸為特別的領域 這件事天大的不合理 數學領域的劃分不是以你了不了解來定義它是不是特殊的

    你連數學系大學部的主要必修代數的最基本內容都完全不會了(群 環 體的定義基本上你沒有一次講對) 何以有此自信表示0^0=1不合理只有在

    某些特殊領域?

    第二點 光是上面舉的那些例子對於數學系的學生而言幾乎全部都在大學部就會聽過 甚至都舉了C⊕C這個非常常見的東西

    所以就算只看舉的例子 對於數學系的學生而言絕對不是"某些特殊的領域"而已 那都是數學系的必修繼續衍生的東西

    難道你覺得數學系學的東西在數學上都只是"某些特殊的領域"?

    另外 今天講的是"整體的一致定義" 如果分領域來看不是早就說過0^0=1的確有某些領域就是這樣定義的?

    你今天到底是在爭整體數學上的一致定義 還是個別領域上的定義 還是其實你只是想來比比看哪個定義最多人用 最多人用的就出線?

    (就算是第三項 老實說我依然對0^0=1會不會勝出存疑 即便在計算機科學領域它是對的 兼且計算機科學的主要衍生應用-電腦已經離不開我們生活)

    奉勸你一句話 對自己不熟悉的專業領域就不要妄自下定論

    上面有提到Reed-Solomon code 這個東西我也是完全不懂 他用到的Galois-Field我也只懂一點點皮毛

    但是他的應用很明顯的實用而且廣泛(作為修復資料遺失的演算法 例如燒錄光碟 所以為什麼光碟表面有小刮傷會無礙資料存取)

    這能算是"某些特殊的領域"?但是這個東西連ptt的herstein大都直接說這我也不懂了 herstein大可是UC-Davis數學系博士

    連他所學之廣都做不到能把所有應用廣泛的數學分支領域都學全了 你何來自信斷定"0^0=1不適用的領域只是某些特殊領域"?

    數學界應該更勇於面對0?我不知道這跟0^0的定義有何關係

    但是我覺得你對數學界指指點點的同時卻連目前數學系大學部的必修都不肯花時間探討

    光是這件事我就覺得非常不可思議了

    迴響 由 ptt — 2011/12/23 @ 8:06 下午 | 回覆

  54. 一個運算#,如果符合結合律與封閉性。
    就可以定義出n個運算元的運算方式A1#A2#…#An,n為正整數。
    如果該運算存在單位元素e,
    則定義0個運算元的運算結果為e。
    在複數環裡,0個數相"加"為0,0個數相"乘"為1。
    0個數的最大公因數為1。
    布爾代數上,0個數相"and"為1,0個數相"or"為0。0個數相"xor"為0。
    0個數列相"convolve"為impulse。
    這種觀念可以解釋0^0=0!=1。
    這是很直觀的觀念,寫成正式理論也很好。
    把有1的環與沒有1的環綁在一起,
    是否真的比較合理?

    迴響 由 Yee — 2011/12/23 @ 10:47 下午 | 回覆

  55. 我本來的出發點就只想在複數環上主張0^0=1。

    迴響 由 Yee — 2011/12/23 @ 10:48 下午 | 回覆

  56. 你的理論我從來沒有看過 很明顯是你自己創立的 如果不是請提出文章依據

    如果是的話 那我不感興趣 這就只是民科範疇的東西

    另外 如果不懂群 環 體的話 亂用這些名詞只是洩底而已

    前面例子才剛出現過C⊕C而以耶(看不懂的話請自己去學) 在複數環上我可是一點都沒有感覺到他有非常合理

    另外 yee先生你大概08年左右就在參與這話題了 到前些日子你連基本的群 環 體都不懂

    現在說"本來的出發點就是複數環"?

    我倒是很清楚的記得您有說過"數學就是要追求完美"這句話的喔

    這前後差異的含意大家自己解讀吧

    總而言之 你要創立一套自己的理論來支持0^0=1的話 那很明顯的這就只能算是民科

    拿民科的東西當作理論來支持0^0=1 以後會不會被接受我不知道

    至少在這套新理論被接受為止以前 用自己獨創的理論去說服別人一個存在千年之久的爭論應該怎樣才合理 很明顯是nonsense

    “寫成正式理論也很好。"這句話 您慢慢的去投稿期刊 去跟那些專家們解釋好在哪裡吧!

    迴響 由 ptt — 2011/12/23 @ 11:53 下午 | 回覆

  57. 課本上寫的公式不能代入數字進去,
    這是笑話。
    你要如何跟學生解釋這些變數是符號,不能代數字。
    然後在應用時又忽然可以代數字進去了。

    迴響 由 Yee — 2011/12/24 @ 8:28 下午 | 回覆

  58. 此論點已經提過 見下篇文章之推文 我沒興趣再糾正你一次

    http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1323680066.A.27F.html

    覺得文章過長很難找到想看的內容者 我簡述一下

    基本上問題關鍵出在yee先生無法認可x^0只是個代表1的符號 而堅持既然用x^0那它必然要是個能帶值的"函數"

    所以首先因為我們在真正代值進去(x+y)^n時我們非常清楚x^0 y^0實際上乘開根本是不會出現 所以當然很清楚我們有x^n項

    y^n項而不是x^n*y^0項和y^n*x^0項 就算帶x=0進去我們根本也不會產生問題(事實上就變成(0+y)^n=y^n 秒殺)

    唯一有問題的反而是yee先生的二項式定理版本 視x^0為一個函數 並且信奉所有數值計算都要用此版本的二項式定理來帶都會正確

    那會發生什麼事情呢?答案就是如果不定義0^0=1 那課本上的二項式定理就必然是錯誤的了

    我們的版本是根本用不倒ˋ定義0^0 我們也可以很自然的計算(x+y)^n 因為我們對於左右邊符號個別的意義都很清楚

    而yee先生的版本則是如果不定義0^0=1 這個出現多年的二項式定理就會是錯誤的 如果我們遵從他的講法 我們必須要在所有

    已經出版的數學課本版本加上"其中x^0 y^0是乘上去的一個等於1的常數函數" 然後還要順便解釋一下為什麼f(x)=1我們會用x^0

    來代表這個稀鬆平常的常數函數 而從之前yee先生堅持指數律不必牽扯進來來看 x^0必然不會是從x^n*x^-n這個觀察得來的

    於是理由大概就只能類似前面我貼過的Vulpix大的文章講的 偷偷用了連續性來支持x^0=1

    而連續性不就正是yee先生一直強調"不要無限上綱"的東西嗎?怎麼輪到自己用到的時候就不是無限上綱了呢?

    如果不用連續性 不用指數律 我看不出來讓常數函數f(x)=1可以用x^0代替的任何合理性阿

    於是乎二項式定理從yee先生的論點來看是根本的錯誤 x^n y^n項乘上y^0 x^0項再寫進去summation是個nonsense

    這一切問題都只是yee先生對於數學科系學生必備的符號操弄技巧相當不在行而造成的而已

    至於你的問題"你要如何跟學生解釋這些變數是符號,不能代數字。"

    老實說一般學生我只需要叫他笨笨的先自己乘開一次(x+y)^n 找找看x^0 y^0出現在哪裡 他們就懂了

    反而是對於有人提出f(x)=x^0的觀點的人 倒是因為yee先生你的"幫忙" 我到時候直接把這篇還有你鬧出的笑話整理一下

    我就可以很簡單的說服學生不要把x^0視為函數了


    重申一下 這個問題yee先生已經在ptt上提出無數次

    眾板友們一開始以為他是不懂 所以換過各種講法解釋給他聽

    不過後來大家已經發現他只是沒有別的料可以講的時候就又重複一次同樣的話而已

    就已經沒有人想理他了 事實上他到最後也講出了"你們的代數理論只是為了發展不能代數字的垃圾公式"這樣的話

    對於自己不懂的專業 一竿子將對方的專業批評為"垃圾" 他真的是對於對方的專業內容有質疑而已嗎?

    大家心照不宣

    迴響 由 ptt — 2011/12/25 @ 1:06 上午 | 回覆

  59. 什麼時候可以代數字進去,什麼時候不可以?
    你們始終沒有提出判斷標準。
    在做題目的時候,
    突然又變成可以代數字進去了。
    這種論點只是製造困擾。

    迴響 由 Yee — 2011/12/25 @ 9:28 上午 | 回覆

  60. 噗哧 這句話在ptt上你不就問過了?不是早就有人回答了?

    只要在定義域內就可以帶進去 不是有點基本函數概念的人都知道?

    另外 大家都對符號的表示方法很清楚 所以很清楚"x^0=1和0^0=1是兩碼子事情 不可混淆"

    這句話可是UC Davis數學博士直接發文指正你的 清楚明瞭

    “突然又變成可以帶數字進去了"這件事情 是只有你的二項式定理版本 將x^0視為了函數 才會產生能不能帶x=0這種疑慮好嗎?

    但是前面已經有解釋 如果用x^0去代表f(x)=1這個常數函數根本就是使用了連續性去偷偷支持他的

    那怎麼有數學家用連續性來支持0^0應該是不定義的時候你倒是說不能無限上綱啦?

    我當然也不是非常反對這個論點 但是這個論點早已經被提過了
    http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/knuth403-422.pdf (見第五第六頁 有簡述一下0^0的歷史)

    而且很明顯並沒有被大家接受(不然現在0^0=1就是共識了)所以很明顯這只是舊調重彈

    而且 就算是一般中學生 我只要叫他乘開(x+y)^n然後再跟二項式定理右邊的summation形式一比較 非常清楚就能了解x^0=1和0^0=1是兩碼子事

    你不能接受這個符號表示那不甘咱們的事情 但是不斷的老調重彈 一直"不能帶數字的是垃圾""到底能不能帶數字""你要如何跟學生解釋"

    在ptt的時候就已經重複到大家不勝其煩 都幫你取了個外號叫做月光寶盒了 現在跑來這邊還是同樣兩三句同樣的話 一直講不出新的東西

    這才叫做造成困擾

    迴響 由 ptt — 2011/12/25 @ 10:48 上午 | 回覆

    • 另外 單看二項式定理的證明就很明顯知道x^0 y^0一開始絕對不能視為一個函數來看待

      看看wiki上的證明 : http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%90%86

      看他的第一步 左邊是(a+b)^1 右邊最後是a+b 中間很自然的有用到b^0和a^0 我們也很清楚他是引用進來的

      但是如果是作為"函數"引用進來的 那很明顯這證明要拿回去重寫了

      第一 x^0在x=0時事實上是有爭議的 你要將他引用進來很明顯要等到0^0=1是個大家承認的事實才能這樣寫

      不然第一步就很明顯錯了 錯的原因就是a^1*b^0+b^1*a^0在a=0或b=0時不見得等於a+b

      第二 這個定理的精神是什麼?事實上是要讓我們能快速表達出(x+y)^n展開後x^j*y^k項的系數 所以這個證明不但沒有強調是在數域上

      甚至也沒有強調是在"有1的環"上 為什麼?因為事實上二項式定理在沒有1的環上它一樣是對的!

      所以從這個角度來看 連我們說的x^0=1這句話其實都是有瑕疵的 既然沒有1那又何來"乘以x^0″這動作呢?

      所以事實上 代數學家引用的精確來說應該是"x^n*y^0=x^n"這件事情 但是既然一般學生接觸的x,y都是在數域以內 所以我們就很偷懶得直接乘來乘去

      而不會把每一個細節都講得非常清楚

      那就退好幾步吧 只看一般的數值運算 0^0不定義對於一般人而言一樣不會造成困擾 因為我們分得很清楚(x+y)^n展開後事實上只有x^n y^n項

      如果你認為有困擾 一開始ptt上的回文就很明確指出了"你要讓你的定義是0^0=1也可以" 甚至你要把數學家都當成"偷用而不自知"的笨蛋

      那也是你自己的自由 但是要推廣到所有學數學的人都這麼想?

      我只能說聽完你目前所有的論證以後 反而又讓我認識了更多"0^0最好不定義"的好理由

      而yee先生你在大部分人眼裡 只不過是個非數學專業 但是對於數學家只要說法不合你意就一律評為"垃圾""偷用""沒有思考能力"的的人罷了

      迴響 由 ptt — 2011/12/25 @ 12:09 下午 | 回覆

  61. 今天是聖誕,先祝大家平安。

    感謝 ptt 君和在 ptt.cc 那邊的諸君,透過理性討論 0^0,提醒在下也要好好再唸書。當中的討論和引文,是不錯的讀物;博士免費為我們補課,相信不少朋友也受益,再謝!

    亦不忘感謝 yee 君,如不是他的堅持,也不會惹來多番有益的討論。

    不知 wordpress 這邊有沒有貼文數目的上限,無論如何,如果是理性討論,在下絕不刪文。

    迴響 由 johnmayhk — 2011/12/25 @ 12:00 下午 | 回覆

  62. 所謂代數只是符號,不能代入數字,確實很抽象。
    遇到應用題時,突然又變成可以代入數字了。
    如果反覆不定的態度,
    令人難以捉摸。

    至於展開之後,x^n*y^0與x^n,二者有何差異?
    只要定義0^0=1,二者就沒有差異。
    多乘的y^0可以說是為了方便加進去的,
    也可以說是根據各項的規則,在這一項裡是零次方。
    更可以毫無限制地代入數字。
    如此方便好用的定義丟到一旁不用,
    用一些高深難懂的理論自圓其說,
    令人看不出有任何好處。

    會代入什麼數字進去,是使用者的事。
    推導出簡潔、限制少、適用範圍大的公式,
    是數學家該追求的目標。
    不應該把理論建立在使用者應該不會這樣用的基礎上。

    迴響 由 Yee — 2011/12/26 @ 7:58 下午 | 回覆

  63. “至於展開之後,x^n*y^0與x^n,二者有何差異?"

    是定義y^0=1才沒有差異吧 您眼睛沒問題吧?0^0是人定義的 y^0也是人定義的 誰跟你說y^0自動imply 0^0?

    而且早就說了 你要視他為函數的話 從指數律的推廣就不能支持他了(因為x^1*x^-1=x^0在0那點不對)

    所以y^0推得0^0就只能是依賴連續性

    但是人家從連續性一樣有得到不支持0^0=1的理由阿 怎麼這時候就變成"不要連續上綱"了?

    “用一些高深難懂的理論自圓其說"更是莫名其妙 ptt上絕大多數的討論都是數學系大二學生就可以理解的內容

    大學部大二的必修叫做高深難懂 那很有必要懷疑一下你口中的數學兩個字到底是什麼意思?

    一眾板友的解釋都是憑藉著數學的根本 我們本來就很習慣思考每一個符號的意義

    所以在我們眼裡當然不會有困擾 你的困擾是因為你早就已經打定要讓0^0=1 在這個大前提之下去檢視每個理論而已

    再者 二項式定理是從哪裡為出發點的?是代數理論 中學數學用來解a^b只是一個小小的分支應用而已

    如果你要說在中學跟學生說0^0可以看成1 無所謂 事實上連我以前的高中老師都是懶得解釋就說你就當他是1吧

    但是對不起 從整個代數領域來看0^0=1就是很顯然的不合裡 ptt上也已經有人說了 用你的觀點來看我們就沒有體擴張理論

    之後就連代數幾何都做不下去了

    “假設中學學生帶x=0進去會有疑惑 所以直接強制定義0^0=1″跟"因為代數理論的根基會產生漏洞 所以不定義0^0″哪個重要?

    很抱歉 在這點上你叫一百個學數學的來看 一百個都不會為了滿足yee先生你那業餘觀點而選擇前者

    更何況大部分的中學生都不像yee先生一樣 我只需要拿ptt上有人解釋x^0跟0^0不可混淆的文章給他們看 他們就分的非常清楚了

    聰明一點的我只需要叫他乘開(x+y)^n他就早就懂了 根本一點困擾都沒有 你的困擾是你的問題 既然你的困擾對數學家來說只是

    沒有學好代數的人常見的對符號搞不清楚的情況 那基本上數學家根本不會把你的理由當一回事

    “推導出簡潔、限制少、適用範圍大的公式是數學家該追求的目標。"更是無稽之談

    Fourier Transform簡潔嗎?Laplace Transform簡潔嗎?跟gamma函數扯上關係的任何式子有簡潔可言嗎?

    更別提什麼限制少了 光是初等微積分教個定理都會叫你把前面的限制都要寫清楚 例如在哪邊連續 哪邊可微 不然一定被扣分的

    再者 光論二項式定理 你所謂的"有限制"這件事是建立在"0^0是未定義"這個事實 以及"f(x)=x^0=1,x^0這個符號必須是個函數"這個你

    自己發明的規則上面 前者是現實數學界存在的事實 但是後者完全就是你自己對符號使用的笨拙產生的奇怪規則 而且為了符合你這

    個規則 前面已經說過了要符合這個規則我們必須使用連續性 因為我們無法推廣指數律來支持他(x^1*x^-1=x^0這個觀察無法成立

    因為在0那一點無法成立) 可是支持0^0未定義同樣也有數學家使用了連續性 在後者被你批為"不要無限上綱"的前提下 你有什麼立

    場要求大家都要遵守你這個規則?

    “不應該把理論建立在使用者應該不會這樣用的基礎上。"很抱歉 數學家我想雖然不用整天工作 但是也沒有閒到會去想你要怎麼用

    0^0是未定義這件事是以先今理論為基礎而得來的共識 反而是看看yee先生你在ptt的發言

    → yee381654729:那就把陳腔濫調重新包裝, 12/22 19:31
    → yee381654729:一個運算#,如果符合結合律與封閉性。 12/22 19:31
    → yee381654729:就可以定義出n個運算元的運算方式A1#A2#…#An, 12/22 19:31
    → yee381654729:n為正整數。 12/22 19:31
    → yee381654729:如果該運算存在單位元素e, 12/22 19:31
    → yee381654729:則定義0個運算元的運算結果為e。 12/22 19:32
    → yee381654729:以複數加法為例,0個數相"加"為0。 12/22 19:32
    → yee381654729:以複數乘法為例,0個數相"乘"為1。 12/22 19:32
    → yee381654729:0個數的最大公因數為1。 12/22 19:32
    → yee381654729:布爾代數上,0個數相"and"為1。 12/22 19:33
    → yee381654729:0個數相"or"為0。0個數相"xor"為0。 12/22 19:3

    你這套定義我還真是從來沒學過 如果你找不到資料那大家只能認定你這是自己發明的

    這不就是一個"把理論建立在0^0=1為基礎的前提"下的產物嗎?先設立先決條件再開始做理論是什麼邏輯?

    再看看這兩句話
    → yee381654729:有1的環與沒有1的環還是分開討論比較好。 12/23 23:15
    → yee381654729:把有1的環再區分出來有一些方便,值得做。 12/24 20:323

    這個"值得做"出自一個直到上個月都還完全沒不了解代數基本的群 環 體的定義的人口中

    唯一的可能不就是建立在要使0^0=1的前提下?有1的環跟沒有1的環定義上用的運算規則都是完全相同的一套

    分開討論怎麼可能比較好?更別論就算只討論有1的環ptt板友也已經舉出0^0還是不定義較好的更好例子了!

    迴響 由 ptt — 2011/12/26 @ 11:57 下午 | 回覆

  64. “會代入什麼數字進去,是使用者的事。"這句話倒是難得說的沒錯

    所以一開始在ptt回你文的herstein前輩一開頭就講了 “你要定義0^0=1也可以 那就是屬於你自己的定義"

    既然不定義0^0=1對你而言會有困擾 那你就定義他為1阿 沒人干涉你

    但是你要讓整個數學界把你的困擾放在最優先 然後從而定義0^0=1?No way!

    你的論點從一開始就應該是說"我相信0^0=1是最合理的" 這樣根本沒有人會跟你爭 因為樹學家根本不care相信0^0=1的人

    是多是少 但是你提出的是"0^0=1是唯一合理 其他的選擇都是荒謬"這句話 那我只能說這根本是nonsense

    搞到最後不惜自己發展理論也要滿足0^0=1 那基本上就已經淪為民科範疇的東西了 是個尚未被接受的理論

    用到一個尚未被接受的理論去當做基礎支持0^0=1 除了搖搖頭以外還能怎麼辦?

    而且我相信以你這種態度去自修並且自創理論 你只會變成下一個蔣春喧而不是下一個ramanujan !

    迴響 由 ptt — 2011/12/27 @ 12:10 上午 | 回覆

  65. 定義y^0=1,
    在可以代入數值的前提下,0^0=1自然成立。
    x^1*x^(-1)=x^0,
    錯在對x=0不成立。
    我並沒有從連續性來考量,
    那只是你的說法。
    0個運算元的運算,是很直觀合理的。
    它不僅可以解釋0^0=1,
    也可以解釋0!=1。

    迴響 由 Yee — 2011/12/27 @ 8:11 上午 | 回覆

  66. 你們講了這麼多,
    到底什麼時候可以代入數字,什麼時候不可以?
    完全隻字未提。
    遇到x^0=1時,不能代入數字。
    沒有遇到時,突然又可以代入數字了。
    立場反覆變來變去。

    迴響 由 Yee — 2011/12/27 @ 8:18 上午 | 回覆

  67. yee 問:「到底什麼時候可以代入數字,什麼時候不可以?」

    之前已答(起碼見 comment 60)ptt 君寫「只要在定義域內就可以帶進去」就是。立場並沒有「反覆變來變去」。

    有人認為 f(x) = x^0 = 1 for all x\in \mathbb{C}-\{0\}

    yee 認為 f(x) = x^0 = 1 for all x\in \mathbb{C}

    因為 yee 一早定義了 0^0 = 1,則 f(x)=x^0=1 任何時候都「可以代入數字」。

    yee 認為這樣會令「x^0=1」這條「公式」的應用範圍更廣,因為可以「代入數字 0」。

    把「x^0=1」這條「公式」的定義域由 x\in \mathbb{C}-\{0\} 擴充到 x\in \mathbb{C},或許在中學數學面對的運算上,不會出現大問題(?)。

    但認為「f(x) = x^0 = 1 for all x\in \mathbb{C}」,所以「put x=0, yield 0^0=1」,從而證明「0^0=1」,就是倒果為因。

    回想初中學習零次方的進路,大概是由「\frac{x}{x}=1 for all non-zero x」出發,進而定義「x^0=1 for non-zero x」這個結論。

    而 yee 把定義域擴充至「x^0=1 for all x」,使 0^0=1,效果等同讓 f(x)=x^0x=0 連續,不過據 yee 稱,推論 0^0=1 時不是用連續性。

    在下對抽象代數的基礎知識已隨年漸退,問題是面對中學生或同事擬的考題,諸如:

    Solve (log x)^{log x}=1

    那麼 x=1 算不算解?這不止是數學問題,而是教學上甚至面對公開考試的現實問題。

    迴響 由 johnmayhk — 2011/12/27 @ 12:25 下午 | 回覆

    • 這是你和ptt的說法,
      不是ptt上其它人的說法。
      他們聲稱x^0只是符號,要代什麼數字進去?
      至於定義0^0=1,我沒有從連續性去考量。
      至於0^0=1是定義,不是證明。
      證明不能倒果為因,定義可以倒果為因。
      例如定義a^(-n)=1/a^n就是為了讓指數律繼續成立,
      定義之後再證明指數律仍然可以成立。
      log(x)^log(x)=1,1是不是解,
      取決於0^0是否定義為1。

      迴響 由 Yee — 2011/12/27 @ 12:34 下午 | 回覆

  68. 這是你和ptt的說法,不是ptt上其它人的說法。他們聲稱x^0只是符號,要代什麼數字進去?–>對不起 在下沒這麼厲害 我只是整理ptt上諸位的論點
    然後全部貼過來 如果你會覺得這不是ptt上其他人的說法 那很明顯是你對於你不喜歡的東西你就根本不肯好好看清楚

    至於定義0^0=1,我沒有從連續性去考量。–>但是你已經偷用了 理由很明顯 : 你不偷用連續性的話 何來說明我們為何會用x^0來代表1?
    指數律在這邊不足以支持x^0作為代表1的符號 那我們哪有理由用這個跟指數律長得非常相似的符號去代表1?
    你要說明0^0=1是很合理的之前 你必須說明你用x^0這個符號來代表1是很合理的 因為很明顯你是從x^0=1推得0^0=1的

    至於0^0=1是定義,不是證明。–>是的 所以從頭到尾你來宣傳0^0=1時大家都只有說你的理由不合理 不足以說服人 並沒有叫你不準定義0^0=1
    再回頭說一次 herstein大第一次回你的文已經挑明了說你要定義0^0=1也可以 沒人反對 只是我們不會接受而已

    證明不能倒果為因,定義可以倒果為因。–>這不能說明0^0=1是很合理的 更不能說明如果數學從先定義0^0這個符號是1然後再開始發展是合理的

    例如定義a^(-n)=1/a^n就是為了讓指數律繼續成立,–>這個就是真正的倒果為因了 指數律一開始只有正整數次方 後來推廣到負數次方是因為我們發現
    對所有非零的數a 都能找到一個數b使得a*b=1 再往下推論很顯然對a^(n+1)而言 a^(n+1)*b=a^n 所以我們就定義 b=a^-1 這樣一來a^(n+1)*a^-1=a^n
    那當然就有人會去想n=0的情況呢?在非零的時候當然等於1 所以我們才習慣用x^0去代表1 所以事實上光是一開始用x^0去代表1就是指數律推廣過程的
    一個產物!而這就是為什麼我們多項式的基底都是寫1 ,x ,x^2 ,…..而不適x^0, x , x^2 ,…..的真正原因!附帶一提 這個在ptt上有人叫你不要搞混零多項式和零次多項式以及不要搞混x^0=1和0^0=1的時候早就有人講過了

    log(x)^log(x)=1,1是不是解,取決於0^0是否定義為1。–>所以現在在大部分學數學的人眼裡都不算解 這是事實 如果在課堂上回答問題的時候跟學生
    說"取決於0^0是否定義為1″是很有誤導學生認為"0^0定義為1是有爭議的"的嫌移 而事實是"數學家共識0^0不定義" 所以如果你心裡真的認為0^0=1
    至少後面也要將目前的現實告知學生 不然我必須得說這堂課的老師的專業我必須打上很大問號

    立場反覆變來變去。<–這是你自己視而不見的問題 版主已經代我回答了

    yee君你很明顯是從x^0=1去推得0^0=1 但是這在大部分學數學的人眼裡用到的都只有連續性 那就如同你說的"不要把連續性無窮上綱"一般
    不滿意的人當然也覺得你才是無窮上綱的那個人 而數學上我們觀察x^0=1的原因 基本上就是從指數律得來的一個約定成俗的符號 你先是使用了數學家
    們經過自己觀察指數律而約定使用的東西來支持你的論點 然後再不准別人用指數律來反駁你 基本上就是先把人家的嘴封住再開始辯論 光這一點就完全的不合理

    結論 所以如果你堅持0^0=1真的有那麼合理 那你很有必要重新說明為什麼x^0=1是個這麼理所當然的合理結果

    迴響 由 ptt — 2011/12/27 @ 8:03 下午 | 回覆

  69. 或許在中學數學面對的運算上,不會出現大問題(?)<–是的 問題不大 而且可以避免去解釋有人問"為什麼用x^0代表1"?

    而且事實上不少中學老師也是偷懶就直接說你就當0^0是1吧 也不會對學生分數造成影響

    對於以後要走數學一路的學生 他自然可以分得清楚當初只是老師不願意花時間去講解一個沒什麼用處的東西 而不是0^0真的大家都承認是1

    對於以後不走數學一路的學生 以後看到這問題 要嘛多出一個茶餘飯後的話題 要嘛就是不感興趣

    所以如果說在中學的數學領域 或者說更廣義一點在一般的算數上 視0^0=1的確都挺合理 甚至你問google他也老早就告訴你0^0=1了
    (google內建計算功能會告訴你0^0=1)

    很明顯yee先生被ptt眾人嗤之以鼻的原因就在於他跑來的地方是數學版 然後還說"其餘選擇都是荒謬的"

    這種言論怪不得連UC Davis的數學博士都忍不住跳出來發文將觀念解釋清楚了

    所以再做一次結論 如果yee先生你想說的是在一般按計算機做的數值運算裡面視0^0=1 那基本上連google大神都直接這樣認定的東西 根本也稱不上

    同不同意合不合理了 但是你說的可是"唯一合理 其他都是荒謬""可以推廣""這是好觀念"的時候 當然就必須要接受高規格的審查

    而事實上就是其他選擇一點都不荒謬 0^0=1完全沒辦法推廣 看不出來這觀念好在哪裡 光是這樣我就寧可接受0^0是不定義的這個選擇

    至於"可以應用就是合理"

    1.至少我就認為將(x+0)^n視為x^n*0^0是符號觀念太差而不是可以應用 不過這個隨便 反正能接受的就能接受 不能接受的也只是看看而已
    2.要講到廣泛應用 數學上一大堆定義0^0=1是不合理的領域都有廣泛應用 前面我已經截錄過來了 憑這邏輯0^0不定義也很合理

    這裡由我一樣不接受 當然 你接不接受我不感興趣

    迴響 由 ptt — 2011/12/27 @ 8:37 下午 | 回覆

  70. 0個運算元的運算,是很直觀合理的。
    它不僅可以解釋0^0=1,
    也可以解釋0!=1。 <–民科 不予回應

    迴響 由 ptt — 2011/12/27 @ 8:38 下午 | 回覆

  71. 遇到x^0=1時,不能代入數字。<–這一句話就是yee先生搞不清楚符號跟變數的最佳註解

    眾所皆知在二項式定理裡面x^0和y^0是人為引進的 如果這個x^0 y^0可以"代數字" 那他很明顯是視為"以x y為變數的函數"代入進來的

    那就是前面講的 如果這個函數是等於1的常數函數 那很明顯我們就偷偷用了連續性來填補0^0這一點 我們才能將他視為一個x y的函數引進來

    但是就如同yee先生說的"不要無窮上綱" 用連續性讓f(x)=x^0=1成立同樣的有讓人覺得無窮上綱的疑慮 引入一個有疑慮的東西是數學家不可能接受的

    所以我們引入的就只是x^0這個符號 既然我們說是"符號'那本來就沒有能不能帶數字的疑慮 就像你不會問pi能不能帶入數字 不會問e能不能帶入數字

    所以從我們的角度來看x^0=1自動imply 0^0=1完全是nonsense x^0=1和0^0=1一點關係都沒有 當然x^0不能帶入數字就是不證自明的

    如果你要說沒有說清楚 那對於中學數學的學生的確是沒有說清楚 但是中學數學上沒有說清楚的東西可是非常的多的

    這也就是為什麼說"搞出讓二項式定理有不能帶0的疑慮的人只有yee先生一個" 因為只有你將他當成了f(x)=x^0=1 而如果你要說明視為函數引入

    那你就必須說明為什麼你要用x^0來代表 "f(x)=1 對所有x" 指數律跟連續性別人拿來支持0^0不定義的時候都被你斥為無稽之談 所以你當然不能引用這

    兩個理由 同時"0個運算元的運算,是很直觀合理的。"是民科 拿民科的東西當理論依據數學家當然是不會理你

    所以ptt上的高手們當然就將你視為 "書沒唸好 搞不懂符號跟變數差別" 的人了

    而我看完那些文章後 得到的結論也是完全一樣的 就是拿二項式定理當主力完全就是你自己搞不懂符號跟變數的差別

    迴響 由 ptt — 2011/12/27 @ 9:46 下午 | 回覆

  72. 都已經說了我不是根據連續性的考量而定義0^0=1,
    你還硬說我是根據連續性。
    當然不是根據連續性。
    那又是根據什麼?
    理由我在最開始已經講過了。
    在ptt上我一開始發表的文章裡。

    既然你承認在定義域裡的數都可以代,
    那就好辦了,
    看如何定義會有最大範圍的定義域,
    就如何定義吧。
    總不該定義到讓定義域變小吧。

    迴響 由 Yee — 2011/12/27 @ 10:20 下午 | 回覆

  73. 我是ptt上的Vulpix。

    連續性的問題,我已經提過了:Yee沒有意識到已經「偷用」了連續性。

    然後是定義域的問題,我再說一遍;
    二項式定理就是「展開前=展開後」,什麼值都可以代入喔!(此指複數。)
    例如:(a+b)^3 = a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3
       我們當然可以代(a,b)=(2,0)進去,得到
       (2+0)^3 = 2^3 + 3*2^2*0 + 3*2*0^2 + 0^3
    定義域沒有變小的疑慮喔。

    迴響 由 Ninetales — 2011/12/27 @ 10:57 下午 | 回覆

    • 為什麼只敢拿固定次方來討論,
      不寫出一般式?
      因為拿固定次方來討論,
      故意把零次方隱藏起來,裝作沒這一項。

      迴響 由 Yee — 2011/12/28 @ 8:01 上午 | 回覆

      • 為什麼只敢拿固定次方來討論,
        不寫出一般式?
        因為拿固定次方來討論,
        故意把零次方隱藏起來,裝作沒這一項。

        <–
        事實上就是沒有 直接乘開(x+y)^n你本來就找不到x^0跟y^0 公式裡面會有x^0和y^0本來就是人為加進去的
        將人為加進去的x^0跟y^0視為不能帶入數字的符號一點錯誤都沒有 你不能接受不甘我們的事情
        但是事實上符號跟變數的觀念本來就差異很大 下面組合數學的生成函數我已經舉例子給你了

        迴響 由 ptt — 2011/12/28 @ 10:20 上午

  74. 幸好google有頁庫存檔 來看看你說了什麼

    0個數的乘積乃是1。
    a^3=1*a*a*a
    a^2=1*a*a
    a^1=1*a
    a^0=1
    對a=0並沒有例外的理由。
    0^0=1是合理的

    <–這是民科 數學上a^3=1*a*a*a並不顯然 如果你定義域是在有1的環那因為a*a*a=1*a*a*a=a*a*a*1所以這句話才成立
    但是"定義域在有1的環上"這個東西就已經先沿用了數學家的代數理論 所以你後面的推論都是建立在數學家的代數理論上成立的
    數學上你的推論本身前提就有錯當然後面就一點都不合理 所以你要讓這一段合理很明顯你採用的不是數學家那一套
    那就很明顯只是民科 沒有任何公信力

    0是加法的恆等元素,
    任何數加0等於自己,
    有加等於沒加。

    <–這邊是代數"加法基本元素"的觀念 白話敘述

    所以0個數的總合是0。
    這個觀念清楚了,
    0個數的乘積才能清楚。

    <–"0個數的乘積"這件事數學上完全沒有這個說法 這是你自己發明的觀念 民科

    1是乘法的恆等元素,
    任何數乘1等於自己,
    有乘等於沒乘。

    <–這邊是代數"乘法基本元素"的觀念 一樣白話敘述

    所以0個數的乘積是1。

    <–這邊一樣 直接變成你自己發明的民科 "0個數的乘積=1"跟上面a^0=1一樣

    如果要讓二項式定理在0次成立,
    (1-1)^0
    =C(0,0)*1^0*(-1)^0
    =1
    定義0^0=1是必須的。

    <–這邊是民科 連查wiki都知道二項式定理根本就是從n=1開始證明的 拿出n=0的case是無稽之談
    而如果從n=1以後的case來看 就是yee先生自己分不清楚變數跟符號的問題 已經講過了

    如果要把多項式的常數項視為零次項,
    以方便化簡公式,
    定義0^0=1仍是必須的。

    <–這邊是民科 "常數項"與"零次項"都是代數領域關於多項式環的名詞 如果yee先生沿用的是正統代數理論那很明顯講出這話代表的是yee先生
    當初學代數的時候(如果他有學)沒有學好 因為他分不清楚零多項式跟零次多項式有根本上的不同
    所以我們只能推論他用的這些名詞是他自己的一套理論理面剛好名字類似的而已 當然是民科

    許多數學家之所以不定義,
    是把連續性視為無限上綱,
    不定義不連續點的函數值。
    以致要用到0^0=1時不敢用,
    卻要東閃西躲、徒增困擾,
    這是數學界不願面對的問題。

    <–這一段是nonsense 一個連數學系必修都不曾修過的人講這個話不是自大 就是無知
    0^0的爭論已經有千年歷史 這段話簡直是把千年以來的數學家全部都當成笨蛋了

    極限只是數學的領域之一,
    並不是全部。
    因為極限不存在,
    就否定0^0=1在其它領域的應用,
    非常不合理。

    <–這一段更是充分證明yee先生講話前後不一致
    這話很明顯的是認為0^0=1在其他領域有著別的應用才說的 但根據我轉貼過來的文章 數學很多其他領域裡面0^0=1都是不合理的
    而這些領域的應用也是非常廣泛 而這時yee先生倒開始聲稱"我本來就只在複數領域上討論"
    前後標準完全不一致 當然完全是nonsense

    關於0^0=0/0的錯謬:
    0^0與0/0二者並無關聯,
    有人亂用指數律,
    得到0^0=0^(1-1)=0^1/0^1=0/0
    但如果這種關係成立,
    則0=0^1=0^(2-1)=0^2/0^1=0/0
    也同樣會得到0無意義的結果。

    <–這邊是對的 我們觀察a^0=a^1*a^-1=a/a 不代表這個觀察可以推廣到a=0上
    但是既然a^0=a^1*a^-1這個觀察不能推廣到a=0上 為什麼a^1*a^-1=a^0=1可以推廣到a=0上?
    所以結論是 沒錯 拿0/0來反駁0^0=1是不合理的 但是拿a^0=1來推廣到0^0=1基本上也是一樣的不合理

    現有的指數律適用於底數大於0,
    如果要擴大適用範圍,
    可以在某種程度上讓底數為0。
    指數律遇到分母為0或0的負數次方時不適用,
    其它情況仍可適用。
    (0^0)^2=0^(0*2)=0^0
    0^(-0)=1/0^0
    都可以推論出0^0=1之合理性。

    <–這是nonsense 你寫0^(-0)=1/0^0 很明顯是從a^-b=1/a^b這個東西觀察來的 但是這個式子在a=0而b=/=0時顯然不成立
    所以你認為a^1*a^-1=a/a不能推廣到a=0是對的話 這句話就完全是nonsense
    (0^0)^2=0^(0*2)=0^0亦然 0^0本身就是未定義的 所以0^0能不能二次方都是問題 這句話完全是在0^0=1要成立的前提才會成立的
    是倒果為因
    同時 前面的文字敘述是民科 推廣到0的0次方這件事情很明顯是你自己的理論

    在組合數學裡,
    n!是n物做直線排列的方法數。
    0!=1,意即0物做直線排列的方法數是1。
    C(m,n)是從m物取n物的方法數,
    C(0,0)=1意即從0物取0物的方法數是1。
    0物做直線排列怎麼排?
    從0物取0物怎麼取?
    其實不用做任何動作,
    就已經完成了,
    只要完成要求,不做也是一種方法。

    <–這是你自己的理解 我覺得沒什麼錯

    m^n是將n物分給m人的方法數,
    0^0是將0物分給0人的方法數,
    也是不用做就完成,
    也是1種方法。
    定義0^0=1是非常合理的。

    <–這邊就完全是你自己的定義 是民科
    "0物分給0人"這件事情如果只問我個人意見 我會認為毫無意義 語意不明 所以應該是沒有方法達的成 所以是0種
    但是我不會拿來當作支持0^0=0的理由 因為同樣的是民科 沒有被任何人接受

    數學的不同領域都可以得到同樣的結果

    <–這句話就是你學問不夠而已 沒什麼好說 ptt上已經舉出太多例子了
    奇怪的是 這時候你說各個領域都可以得到一樣結果 為什麼後來會改口說你只關心複數領域?

    迴響 由 ptt — 2011/12/28 @ 12:08 上午 | 回覆

    • 支持0^0=1的論點,
      你就把它矮化為民科,
      不支持的論點,
      你就把它捧為專業共識。
      所以當然找不到定義0^0=1的理由了。

      定義0^0=1可以讓二項式定理擴展在0次方成立,
      讓它適用範圍變大,
      不好嗎?
      為了讓它適用範圍變小,
      所以不定義,
      這是什麼邏輯?
      更何況巴斯卡三角形頂端的1代表0次,
      不讓二項式定理在0次成立,
      如何面對巴斯卡三角形頂端的1?

      零次多項式就是非零常數函數。
      既然是零次,
      表示它可以寫為c*x^0。
      否則零次就是喊假的。

      我就是在複數上討論,
      你們以某些非複數領域不適合定義來推論複數領域也不適合定義,
      才是nonsense。
      a^0根本不能視為a^1*a^(-1)

      0^(-0)=1/0^0,
      (0^0)^2=0^(0*2)
      定義0^0=1就可以成立了。
      多一些性質成立不好嗎?
      定義又不是證明,
      當然可以倒果為因。

      組合數學、指數律、二項式定理,
      都是複數領域,
      都可以得到0^0=1的結果。
      至於非複數領域,
      有不同的定義並沒有什麼好奇怪的。

      迴響 由 Yee — 2011/12/28 @ 8:18 上午 | 回覆

      • 支持0^0=1的論點,
        你就把它矮化為民科,
        不支持的論點,
        你就把它捧為專業共識。
        所以當然找不到定義0^0=1的理由了。

        <–理由很簡單 你講的話我讀了四年大學數學系完全都沒看過 你不能證實有這個說法當然就是民科
        ptt上那些人的理由我全部都可以以翻代數課本給你看(而且還不只一本) 找的到出處而且被專業數學家認可的當然不是民科
        (別說別人 光herstein就是UC Davis的數學博士)

        定義0^0=1可以讓二項式定理擴展在0次方成立,
        讓它適用範圍變大,
        不好嗎?

        <–這論點已經在ptt出現過而且被鞭的很慘 我沒興趣拷貝人家的回答再回答一次

        為了讓它適用範圍變小,
        所以不定義,
        這是什麼邏輯?

        <–同上 我沒興趣再回答一次
        附帶一提 我看完了ptt板眾的回答以後的結論是會提出這問題代表你的知識一知半解 似懂非懂
        這只是我自己的想法 你可以當做我沒講

        更何況巴斯卡三角形頂端的1代表0次,
        不讓二項式定理在0次成立,
        如何面對巴斯卡三角形頂端的1?

        <–第一 我不在乎 那個三角形有偉大到值得我改寫整套代數理論才對得起他?
        第二 理由同上 你書沒唸好 請你去找個專業數學家請問一下巴斯卡三角形到底是闡述了什麼東西
        不然ptt上就已經看你問三四次了 也看了回答看了三四次 看的很膩了

        我就是在複數上討論,
        你們以某些非複數領域不適合定義來推論複數領域也不適合定義,
        才是nonsense。

        <–哦?C⊕C不是複數領域嗎?他只是由兩個複數環構成的二維複數領域阿 n維領域的東西很特別嗎?
        還是說數學只能在1維空間上討論?

        a^0根本不能視為a^1*a^(-1)

        <–哦?那請你解釋零次方是怎麼來的?2^0=1為什麼是對的?
        另外這也是代數課本上就有的東西 這句話也是你不念書的一個證明

        組合數學、指數律、二項式定理,
        都是複數領域,
        都可以得到0^0=1的結果。

        <–你有必要好好的重新找個專業老師好好學習指數律
        至於組合數學我已經貼了一篇關於裡面一個章節"生成函數"的內容了 沒學過就不要裝懂
        二項式定理的話 你的版本的確得到0^0=1 我不介意 但那在數學家眼裡是沒什麼用的東西
        而一般人的二項式定理可以推廣到更一般的代數結構上
        所以我當然認為你那套"x^0不能視為可帶數字的函數是nonsense"的偏執理論毫無道理
        當然你高興堅持你那套我沒意見 反正你不是教數學的 不致於誤人子弟

        至於非複數領域,
        有不同的定義並沒有什麼好奇怪的。

        <–是的 所以0^0=1並不能推廣到所有的數學領域
        所以0^0=1並不是一個完美的定義
        你是業餘人士 你覺得這樣你就滿意了我的確不介意 但是數學家們完全不會滿意
        所以數學家們當然會繼續認為0^0是未定義 就這樣

        0^(-0)=1/0^0,
        (0^0)^2=0^(0*2)
        定義0^0=1就可以成立了。
        多一些性質成立不好嗎?

        <–如果0^0=1在其他領域都能找到合理解釋 我沒意見阿
        但是對不起 辦不到 所以以上這兩個東西不會成立

        定義又不是證明,
        當然可以倒果為因。

        嚴格來說沒錯 但是為什麼這樣定義通常背後是要有一套合理的理由的
        像是為什麼代數裡面群的運算定義名稱為"加法" 擴張為環以後加進來的第二個運算名稱為"乘法"
        偏偏小至我這個小小研究生 大至如herstein這樣的名校數學博士看了你的理由都認為無法接受
        你光是一個小小的ptt數學板的板眾都沒辦法提出讓他們信服的理由 遑論各大學的教授
        甚至陶哲軒 邱成桐這些世界知名的教授了

        迴響 由 ptt — 2011/12/28 @ 9:04 上午

  75. 既然你承認在定義域裡的數都可以代,
    那就好辦了,
    看如何定義會有最大範圍的定義域,
    就如何定義吧。
    總不該定義到讓定義域變小吧。

    <–這句話已然講過 你會誤以為0^0無定義會導致(x+y)^n在複數域上不能代x=0 y=0 是因為你符號跟變數的觀念太差

    對於符號跟變數觀念很清楚的我們 完全沒有任何的困擾 造成困擾完全在於f(x)=x^0=1這件事

    因為歸根究柢讓x^0去代表f(x)=1在0那一點是完全無法讓人徹底信服的 更進一步的推論 將二項式定理右邊出線的x^0視為函數令人感到非常困擾

    所以這就是一直有人說的 "定義到讓定義域變小"的人 是yee版本的二項式定理 因為用你的版本就必須視x^0為一個函數 但這個函數在0那一點

    等於1這件事在現存的數學上並沒有定義 所以"用yee版本的二項式定理"配上"現在的數學理論"就會得到(x+y)^n x,y不能等於0的結果

    所以定義到讓定義域變小這件事 是"將x^0視為函數"的一個結果 也就是如果我們採信你的定義方法的結果

    所以現況就變成"採用現在數學界的理論 讓yee先生感到困擾"以及"採用yee先生的說法 讓諸位學習數學專長的人感到困擾"

    那對你而言 你當然會選擇前者 但是同時大部分人都會選擇後者 就是x^0只是個引進的"符號" 而不是引進的"以x為變數的函數"

    但是今天是你來說服大家0^0=1 不是大家來說服你0^0是無定義(事實上我相信沒人有興趣去做這件事)

    那你採用的說法跟現今的數學理論相牴觸 那當然就是民科 那當然毫無公信力可言 更遑論0^0=1哪裡是最合理了

    迴響 由 ptt — 2011/12/28 @ 12:25 上午 | 回覆

    • (x+y)^n
      =
      n
      ΣC(n,k)*x^(n-k)*y^k
      0
      這是最簡潔的寫法。
      這個式子就必須用到0^0=1
      就算在一次以上成立也無法迴避。
      如果不寫成這個式子,
      那就只能用…這種模糊的符號,
      或者再限制x,y不可為0,
      或者把公式寫得肢離破碎。
      不管哪一種方法,
      都不漂亮。

      既然x^0只是符號,
      在應用時為何突然又變成可以代數字進去?
      至底什麼時候可以代數字、什麼時候不可以?

      迴響 由 Yee — 2011/12/28 @ 8:24 上午 | 回覆

      • (x+y)^n
        =
        n
        ΣC(n,k)*x^(n-k)*y^k
        0
        這是最簡潔的寫法。
        這個式子就必須用到0^0=1

        <– http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/knuth403-422.pdf
        請看第五第六頁 跟你講的理由"一模一樣"
        其他在ptt上指出你這樣的理解並沒有合理到讓人信服的推文太多了 我也不願意特別在慢慢找來貼了
        我直接說結論就好 : 你這個理由很早很早就被人提過 而且經過這麼多年的辯論以後他依然沒被接受
        那我當然相信參與討論的這些數學家的專業判斷

        如果不寫成這個式子,
        那就只能用…這種模糊的符號,
        或者再限制x,y不可為0,
        或者把公式寫得肢離破碎。
        不管哪一種方法,
        都不漂亮。

        <–這是在必須把視f(x)=x^0=1是一個"函數"的情況
        但是我們完全沒有這個困擾是因為我們分的清楚什麼東西是函數 什麼東西是符號
        但是我們的二項式定理從一開始就沒有給定x,y屬於C或是什麼 所以強迫x^0 是一個可以帶數字的函數完全是無稽之談
        所以我說最後一次 這是你搞不清處符號跟變數的差別所造成的見解 如果你堅持你是對的 那我沒意見 我也懶得爭

        既然x^0只是符號,
        在應用時為何突然又變成可以代數字進去?
        至底什麼時候可以代數字、什麼時候不可以?

        <–同上 而且我早就回答過了 對(x+y)^n而言 當然x,y帶入任意複數都可以算出答案 當然定義域是C
        同樣的這是你自己所學不精所造成的困惑 我沒有義務幫你重新上中學數學

        迴響 由 ptt — 2011/12/28 @ 9:18 上午

  76. 最後整理一下 關於yee先生一開始的主張

    1.多數段落我都指正出來 是還沒有被公認為對的觀念 是民科 拿沒有被公認的民科當理論依據的比例實在太高 毫無合理可言

    2.有些話太過不知所云 一個非數學本科系的人來批評數學界這千年來都沒有好好好思考過這問題而是在逃避 不僅沒有事實依據 同時非專業人士批評別人的專業這個行為也不可取

    3.拿yee先生最初的發言很容易就發現標準前後不一 一開始挑明"數學的不同領域都可以得到同樣的結果" 但是後來卻是指明你只在乎複數域上的數值運算(我甚至還沒提yee先生曾說過"數學就是要追求完美"這句話呢) 這已經足以說明他的論點連他自己都開始感覺到沒有原來的那麼牢固 而在我們的眼中更是漏洞百出 不知所云

    這三點足以說明從一開始他的理論主張就是漏洞百出 他口中的"0^0是唯一合理 其他都是荒謬的"只是毫無任何合理依據可言的空口白話

    最後我必須聲明 : 0^0=1以後會不會變成在大部分領域合理的定義?當然有可能!我們沒有時光機 當然不會知道以後的理論會不會有重大修正

    就像是古早時期的數學家絕對也不會想的到之後會有歌德爾不完備定理的出現一樣 讓他們的真理變的不是毫無缺陷的

    但是很明顯的 從現今的數學理論看來 yee先生提出的理論依據只能被認為是民科 是未被認可的理論

    而他脫口講出"代數是垃圾理論" 當然就會被認為只是一位數學專業知識不足卻跑來批評別人專業的無禮人士

    其主張自然是不意外的被嗤之以鼻了

    迴響 由 ptt — 2011/12/28 @ 12:44 上午 | 回覆

    • 我說“不能代入數字"的公式,
      當然是垃圾。
      公式不能代入數字有何用處?
      你還真會斷章取義。
      為何把那幾個關鍵字隱藏起來?
      是為了讓人看起來覺得你們比較有理、我比較無理。
      不能代入數字的公式比較合理嗎?
      看大家覺得如何?
      只要定義0^0=1,
      這些公式也就可以代入數字。
      就不是垃圾了。

      迴響 由 Yee — 2011/12/28 @ 8:30 上午 | 回覆

      • 我說“不能代入數字"的公式,
        當然是垃圾。
        公式不能代入數字有何用處?
        你還真會斷章取義。
        為何把那幾個關鍵字隱藏起來?
        是為了讓人看起來覺得你們比較有理、我比較無理。

        <– 隱藏起來單純是我要打的字很多 漏打了而已
        好 現在加回來 同樣的你還是比較無理
        理由就在下面那篇 照你的定義整個組合數學裡面的"生成函數"都是垃圾了 這句話有道理嗎?當然沒有道理

        不能代入數字的公式比較合理嗎?
        看大家覺得如何?
        只要定義0^0=1,
        這些公式也就可以代入數字。
        就不是垃圾了。

        <–至少ptt板眾都覺得不能帶入數字的公式存在非常合理
        理由一樣是下篇 事實上早就有數學領域他裡面所有的公式都"不能帶入數字"了
        那當然這種公式的存在是非常合理的

        迴響 由 ptt — 2011/12/28 @ 9:22 上午

  77. 還有 yee先生曾說"a^0只是符號不能帶數字 這觀念令人難以接受"

    我必須得說這絕對是你所學的範圍太過狹隘而導致 這甚至不需要找數學專才的人指正 找一個大學資工系的人便知道了

    有一門課叫做離散數學 是大學部資工系和數學系必修 不過資工系可能不叫這個名字 或是跟別的課程合併在一起

    這門學問的另一個翻譯yee先生已經提過了 就是組合數學

    學過這門課的人都很清楚"生成函數"這一個章節(題外話 這裡函數兩個字跟一般分析上的函數沒什麼關係)

    網路上google一下就有很多內容 隨便丟一個好了 http://pc53.math.ntnu.edu.tw/~yclin/11a/discrete_math/notes04.pdf

    稍有認識便知道在這門學問裡"代數字進去"完全就是另一個世界的事情 別說x^0了 x就是x x不會是1 2 3…1+2i 2+3i….甚至任何東西

    這門學問裡面根本沒有"代數字"進去的觀念 但是他普不普遍?簡直太普遍了!他對資工系而言比微積分還要更稀鬆平常

    我就隨便出個例子(例子很爛 請高手不要見怪) : 有n對夫妻參加團康活動 其中一個活動需要分組比賽 而且要求男女夫妻不得在同一隊

    那請問要求其中一隊男生數是j 女生數是k(當然j+k=n 同時另外一隊男生數會是k 女生數會是j)的組合數目共有多少種?

    這個題目使用二項式定理可以迅速的解決 答案就是x^j*y^k的係數(顯然的 x^k*y^j的系數也是一樣)=C(n取j)

    這裡的x y能夠"代數字"嗎?當然不可能 因為一組(x+y)就代表了一組夫妻 而x*x則代表了這兩個男的是同一隊 別說代數字了 連*這個符號都沒有意義了

    那請問在這邊x^0有什麼意義嗎?當然沒有 在這邊就很明顯只有y^n*x^0=y^n x^n*y^0=x^n 而同時x^0=1也是顯然的毫無意義

    這個觀念令人難以接受嗎?如果你在這個地方堅持x^0不能帶數字很荒謬 那這門課你是鐵定被死當了

    這門課是很特殊的領域嗎?你隨便抓個資工系的學生來問問看這門課的應用夠不夠"普遍"吧

    為了一個0^0而講出"a^0只是符號不能帶數字 這觀念另人難以接受" 無怪乎有人批評yee先生不思不學 符號操弄能力太差了

    迴響 由 ptt — 2011/12/28 @ 5:29 上午 | 回覆

    • 特殊是一個很籠統的詞,
      我指的是非複數。
      因為複數是一般的情況。
      是你把特殊理解為冷僻、少見。
      你不要這樣理解就好了。

      迴響 由 Yee — 2011/12/28 @ 8:39 上午 | 回覆

      • 特殊是一個很籠統的詞,
        我指的是非複數

        <–
        那請問"不能帶入數字的公式是垃圾"我要怎麼理解?
        生成函數這一章裡面有公式 這些公式都不能帶入數字 所以他當然是垃圾阿
        除了理解成"你學藝不精"或是"你存心詆毀數學領域"以外 我還能怎麼理解?

        因為複數是一般的情況。
        是你把特殊理解為冷僻、少見。
        你不要這樣理解就好了。

        <–阿?組合數學不冷僻 不少見 但是不是一般情況?
        因為複數是"一般情況" 所以你說的"0^0=1在數學上唯一合理"就自然而然只是在指"一般情況"了?
        所以對你而言"特殊情況"就是"不屬於一般情況"了 這理解對嗎?

        那很抱歉 使用你這個邏輯我反而很有理由去相信0^0是未定義的
        因為在函數裡面"一般情況"下 極限存在處函數通常都有定義 極限不存在處函數通常是沒有定義的
        所有大家常接觸的e^x sinx tanx cotx lnx 1/x-1 甚至多項式 都是如此 那這夠"一般"了吧?
        那我認為既然型如g(x)^f(x)的函數在x=0時極限不唯一 0^0不定義就足夠合理了
        因為如果定義成1 他反而"不屬於一般情況"了

        迴響 由 ptt — 2011/12/28 @ 9:45 上午

  78. In modern algebra, a polynomial p(x) = a_0*x^0 + a_1*x^1 + … + a_n*x^n, where a_i belongs to a certain ring R, is regarded as a sequence (a_0, a_1, …, a_n, 0, 0, … ).

    x^0, x^1, …x^n are just notations used to help us remember the locations of a_0, … , a_n

    If the ring R contains the identity element 1_R, then we define x^0 = 1_R. Otherwise, we keep it in the expression.

    Suppose that we have a ring homomorphism H: R-> S , we can talk about the evaluation of a polynomial. In particular, suppose that R = S = “Real Numbers",
    f(s) is defined as a_0 + a_1*s + …+ a_n*s^n

    By the way, NSA (美國國家安全局) offers grants for research in algebra. I believe that NSA should be a very practical agency which does not spend money on 垃圾理論

    NSA: Mathematical Sciences Program :
    http://www.nsa.gov/research/math_research/index.shtml

    迴響 由 Mt — 2011/12/28 @ 8:03 上午 | 回覆

    • Thank you for your information.

      迴響 由 johnmayhk — 2011/12/28 @ 7:55 下午 | 回覆

  79. 我說“不能代入數字"的公式,
    當然是垃圾。
    公式不能代入數字有何用處?
    你還真會斷章取義。
    為何把那幾個關鍵字隱藏起來?
    是為了讓人看起來覺得你們比較有理、我比較無理。

    <–雖然已經回應過了但是我還是幫你宣傳一遍
    yee君原文是說"不能帶入數字的公式當然是垃圾"喔
    請大家看清楚

    看清楚了以後請回頭看comment 77 就算我沒有漏打"不能帶入數字" 你講的話依然是無稽阿
    請你去叫資工系以後不要教離散數學了吧?反正是"垃圾"嘛
    我早就說過了 不懂的東西不要妄下評論
    一個留美的數學博士發文親自指出你的錯誤 還順便解釋了一下代數上的一些觀念
    如果是我我都會覺得免費賺到博士親自指導感到很爽了 結果你不肯思考是不是你自己的觀念有誤
    反而冒出"你們的代數理論是為了發明不能代數字的垃圾公式"這句話?
    討論科學上的東西如果是這種心態的話 真的是很可恥

    對了 題外話一下 這通篇下來我要表達的是"yee先生的數學理解有錯誤"而不是"0^0是不定義才比較合理"
    我非常認同herstein大說過的"你要定義0^0=1也可以 那就是屬於你的定義" 既然你自己定義了0^0=1也沒什麼影響
    那基本上我繼續認同0^0是未定義(而且 更多的好理由都是看完yee先生的論點才得到的) 你繼續認同0^0=1就好
    但是諸如"不能帶入數字的公式是垃圾"這些見解 都很明顯的是yee先生個人學問的缺乏造成的錯誤結論
    我是完全無法忍受如此一個業餘人士這樣子用他那半吊子的學問去評論我的所學的專業領域裡的東西

    迴響 由 ptt — 2011/12/28 @ 10:37 上午 | 回覆

    • 在囉嗦一下 yee先生你以為我將你說的東西評為民科是故意詆毀你 這裡我必須置底澄清以免回應太多太亂

      1.民科這個詞不見得會是貶義 自學然後自己發展出的理論一開始都是屬於民科
      但是這種人以後會不會被大家承認?當然有 Ramanujan就是 Galois也是
      所以我將你的言論評為民科 意思就是你這個觀念沒有資料去支持 當然只能是民科
      像是"0^0是0個物分給0個人的方法數"這個解釋我就從來沒有在任何離散數學課本上看過
      而且我也不認同 因為我認為這件事是無意義的 你沒有方法去辦到一件沒有意義的事情 所以是0種
      當然我的想法也是屬於民科 所以我只是說"你的理由不足以支持0^0=1″而不是"你的理由不是對的"

      2.你認為我看到支持0^0不定義的就評為專業理論 這也是錯誤
      我的所有評論基本上都擷取自ptt的各位專業人士的推文裡面"我看的懂的"部分
      為什麼我看的懂?因為課本上面有教 而且我是可以給出你書目的

      Herstein, Topics in algebra
      Hungerford, Algebra
      Jacobson, Basic Algebra<–只有這一本我完全沒看過
      S.Lang, Algebra

      既然所有內容基本上都曾經出現在這些書裡面 那我當然會認為這是專業理論
      只不過是很不幸的是裡面還真的是有些內容直接指出0^0=1是不能推廣到所有數學領域上的
      甚至是簡單的推廣到二維的複數域就不行了 那我既然相信這些專業書籍的知識 當然我就會相信0^0=1是不合理的

      迴響 由 ptt — 2011/12/28 @ 11:09 上午 | 回覆

  80. 0次方是怎麼來的?
    早就解釋過很多次了。
    是0個數做乘法。
    所以是乘法的單位元素。

    所謂一般與特殊,
    我是以複數與非複數來區分。
    我也可以不用一般與特殊這兩個詞。
    你不必在用詞上鑽牛角尖。

    請問0!=1與C(n,0)=1在組合數學裡是否有意義?

    迴響 由 Yee — 2011/12/28 @ 12:22 下午 | 回覆

  81. 0次方是怎麼來的?
    早就解釋過很多次了。
    是0個數做乘法。
    所以是乘法的單位元素。

    <–
    這一段是民科 原因很簡單 第一 你的說法跟專家的說法相違背
    http://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=12394
    中央大學副教授絕對是夠專業的了 而很明顯a^0根本沒有"0個數作乘法"的說法 或許你當初真的是這麼理解的
    但是現實就是專家的說法裡面沒有這一條 所以把自己理解的方式當成理論講出來無疑就是民科
    第二 你的"乘法單位元素"跟數學上的乘法單位元素定義相違背 請自行去看代數課本
    一個跟現實數學界的理論名字相同但定義不同的東西 當然是民科 而且這個更嚴重 是錯誤的民科

    所謂一般與特殊,
    我是以複數與非複數來區分。
    我也可以不用一般與特殊這兩個詞。
    你不必在用詞上鑽牛角尖。

    <–
    "0^0=1是唯一合理的 其他選擇都是荒謬"
    "數學就是要追求完美"
    "a^0只是個符號不能帶數字 這觀念難以信服"
    對不起 光這三句話我就無法相信你一開始就只是在說複數領域上的計算
    因為其他選擇並不荒謬 你的選擇不符合追求完美
    而且a^0只是個符號不能帶數字在組合數學上的確是完全令人可以信服
    光這些話我就足以讓我認為你當初話說得太滿了

    請問0!=1與C(n,0)=1在組合數學裡是否有意義?

    <–
    這是定義 而且他寫進課本裡了
    而寫進課本裡的原因正好就是因為他可以不斷的推廣到數學的別的領域
    這也就是為什麼你的"0^0是將0物分給0人的方法數"沒有被寫進課本裡的原因
    因為定義為1可被接受但不能被推廣(至少你接受) 同樣的我覺得應該是0同樣也是可被接受不能被推廣(至少我接受)
    所以我們兩個的想法都不會被記載在課本裡 都是民科

    迴響 由 ptt — 2011/12/28 @ 1:44 下午 | 回覆

  82. 「0次方是怎麼來的?早就解釋過很多次了。
    是0個數做乘法。所以是乘法的單位元素。」
    我把這句話當成只針對複數。
    第一,0次方不是這麼來的。
    第二,這句話只對非0複數正確。(非0複數形成一個群。)

    然後提到0^0=1的組合解釋,這我是可以接受的。
    但也僅止於此,最多只能用cardinality解釋。

    「實數線上的compactly supported複數值函數環」其實很能夠支持我們不要定義0^0=1。
    假如我們有複數的0^0=1。現在每個複數的0次方都是1了。
    f是一個實數線上的compactly supported複數值函數,f^0當然是用逐點定義。
    即(f^0)(x)=f(x)^0=1。
    但是「實數線上的compactly supported複數值函數環」是沒有乘法單位元素的環,f^0應該不能定義。
    (f^0是環外的元素,造成困擾。)
    由此見定義0^0=1並不合理。

    迴響 由 Ninetales — 2011/12/28 @ 3:21 下午 | 回覆

  83. 組合數學裡0!=C(n,0)=1你們就承認,
    0^0=1你們就不承認,
    如此差別待遇,
    看不出有何合理性。
    請問在那些0^0不適合定義為1的領域裡,
    0!是否適合定義為1?

    迴響 由 Yee — 2011/12/28 @ 4:13 下午 | 回覆

    • 0!是否適合定義為1?答:是喔。

      至於Yee一直所說「會用到0^0」的情況無非指冪級數。
      (含多項式、二項式定理、泰勒級數。)
      但其實完全用不到0^0,一切皆由對符號的錯誤理解所導致。
      而且即使在複數中定義了0^0=1也的確有引起不便。
      (雖然我知道Yee很擅長不看不利於0^0=1的理由,
       但Comment 81希望Yee不要漏看了。)

      至於在組合數學中我承認0^0=1喔。
      但如我所說,也僅止於此,最多只能用cardinality解釋。
      而且這也不能當作通盤定義0^0的理由。

      迴響 由 Ninetales — 2011/12/28 @ 4:26 下午 | 回覆

      • 關於「但Comment 81希望…」
        抱歉,我指的是Comment 82。
        特此更正。

        迴響 由 Ninetales — 2011/12/29 @ 12:31 上午

  84. 組合數學裡0!=C(n,0)=1你們就承認,
    0^0=1你們就不承認,
    如此差別待遇,
    看不出有何合理性。

    <–
    0^0這個東西沒有用 數學上有很多領域有用到a^b這個符號的領域都不合理
    0!這個東西可以幫助推廣太多東西 非常有用 而且用的到n!這個符號的領域都沒有不合理
    光是這樣對數學家而言就完完全全的足夠合理了
    另外 今天到底是在討論0^0=1合不合理還是在開"請給可憐的0^0一個合理的定義吧"會議?
    數學上這種"差別待遇"多到我數都不想數了阿 一大堆有名字的定理背後都有那些貢獻很大但是命名的時候連根毛都看不見他的名字出現的人阿

    迴響 由 ptt — 2011/12/28 @ 4:47 下午 | 回覆

  85. 為了某些沒有1的領域,
    讓其它可以定義的領域也跟著不定義,
    造成許多不便,
    還要用符號來解釋,
    會比較合理嗎?
    那些沒有1的領域再拿符號的說法來解釋吧。
    大部分的領域仍然可以享有0^0=1的好處。

    迴響 由 Yee — 2011/12/28 @ 9:04 下午 | 回覆

    • 為了某些沒有1的領域,
      讓其它可以定義的領域也跟著不定義,
      造成許多不便,
      還要用符號來解釋,
      會比較合理嗎?

      <– 你的不便是因為你對於符號的理解錯誤的非常大
      對於我們而言 "x^0=1只是個符號不是函數"這句話實在太好懂
      好懂到所有數學專長的學生一看到就自動理解了
      上至UC Davis的數學博士下至如我這種學藝未精的研究生都是如此
      你的不便完全就是你自己沒有受過嚴謹的數學訓練卻硬要裝的很懂數學所造成
      我們完全沒有義務要讓你覺得合理
      不過還是回答你一次 : 沒錯 用符號來解釋絕對比將x^0視為函數要合理太多了

      那些沒有1的領域再拿符號的說法來解釋吧。

      <–就因為你自己對於符號觀念太差所以要求數學家要這麼做?一點都不合理
      comment 77足以說明"不能帶入數字的符號"這東西在數學界實在是太太太過平常了
      平常到連離散課本上講生成函數的時候都沒有特別註明x是個符號不是數字
      為了表示這不是我亂講的 我可以告訴你我用哪本課本 是劉炯朗前校長寫的

      大部分的領域仍然可以享有0^0=1的好處。

      <–comment 49.50 以及ptt上 mgtsai,Vulpix,Eeon的文章綜合起來都已經可以看出
      連0^0=1這個定義不會不合理的領域都不是"大部分"了 你這句話怎麼可能會成立?
      更何況你都已經說你"本來就只要求在複數上成立" 很明顯除了複數域(而且還得是一維的 純粹的數值運算領域)
      以外的領域你連0^0=1是否合理都完全沒有能力說明 更遑論"好處"?

      另外 就算在"一維的純粹數值運算的複數域"上 comment 82已然說明0^0=1的
      合理僅限於"純粹的數值運算" 因為他當我們從複數域出發去看現存已經是正確的理論的時候會造成原本正確的變成錯誤
      什麼叫做純粹數值運算?也就是你按計算機去算0的0次方的時候得到答案1 就這樣
      有用?一點都沒有用 事實上我找個人幫我做一台按0^0會顯現error字樣的計算機
      我帶去考研究所 算帳 或是任何會使用到計算機的行業去的時候我一樣不會讓我個分數降低 工作出錯 錢算錯
      好處倒還真的有 : 寫計算機程式的人有那麼一點小方便
      但是這件事基本上下至百元計算機上至google基本上都已經拿來這樣用了阿
      但是數學家們要開始從複數往外擴展其他理論的時候 很抱歉 數學家還是自動將0^0=1改掉了 因為不改掉沒法做下去
      請注意這個改掉是"將在複數域上0^0的數值運算結果等於1給改掉 也就是說一跳脫一般按按計算機的算數領域以後
      0^0就自動要變為不定義了 那這件事情正好就是數學家們相信0^0沒有定義的最好理由了

      迴響 由 ptt — 2011/12/28 @ 9:48 下午 | 回覆

    • 1. 0! 和 nC0 可以定義為 1,是因為這和現有的計算並無矛盾。否則,他們一樣不會被定義。

      2. Continuity 是最常見的 working assumption。當考慮 continuity 的情況下,0^0 根本不能 well defined。所以,數學家對 0^0 的問題幾乎不屑一顧。

      3. In the view of modern algebra, a polynomial a_0*x^0 + .. + a_n*x^n, where a_i belongs to a certain ring R, is considered to be a sequence (a_0, a_1, …, a_n, 0, 0, 0, …).
      x^0, x, .., x^n are just markings to help us locate the position of these a_i.

      If R contains a multiplicative identity, then we set x^0 = 1_R. Otherwise , we keep it in the expression.

      迴響 由 Mt — 2011/12/28 @ 11:07 下午 | 回覆

  86. 把環區分為有乘法單位元素的環,與沒有乘法單位元素的環,
    有乘法單位元素的環,零次方定義為乘法單位元素,
    沒有乘法單位元素的環,再用符號來解釋。
    這樣就可以兼顧了。

    如果說不連續就不定義函數值,
    許多不連續函數怎麼辦?

    迴響 由 Yee — 2011/12/29 @ 8:55 上午 | 回覆

  87. [Off topic] 在 ptt 那邊除了學習數學,也學到一些我從未認識的形容詞,例如:「跳針」。

    迴響 由 johnmayhk — 2011/12/29 @ 9:52 上午 | 回覆

  88. 把環區分為有乘法單位元素的環,與沒有乘法單位元素的環,
    有乘法單位元素的環,零次方定義為乘法單位元素,

    <– 數學上完全沒有這個定義方式 上完代數課的人如果這樣跟人介紹"乘法單位元素"代表你當初代數被死當了
    民科

    沒有乘法單位元素的環,再用符號來解釋。
    這樣就可以兼顧了。

    <– 你沒有資格要求數學家改變自己已經發展完備的理論來滿足你自己書念的不夠而造成的錯誤理解

    如果說不連續就不定義函數值,
    許多不連續函數怎麼辦?

    <– 不怎麼辦 不連續就不連續阿
    不連續函數的應用非常的廣泛 廣泛到有各式各樣的應用
    你不是說只關心複數領域嗎?那我就只講複變數函數論就好了
    複變上面的laurent級數 極點pole 線積分 Cauchy積分公式的應用廣泛到幾乎所有工學院的學生都要學習
    而性質良好的可解析函數(可解析自動imply是連續函數 你看不懂這名詞的話就當成可微函數就好 只是它是複可微)
    在這邊幾乎都是trivial case
    而同樣的不連續點也有分removable singularity ,pole ,essentiall singularity
    所以用複變同樣可以解釋為什麼你偷用了連續性而不自知 以及為什麼f(x)=x^0=1這個函數沒有用處
    因為0^0沒有定義的情況下0這一點是f(x)的removable singularity 所以這個函數在這個點的不解析是可以移除
    然後就變成了一個常數函數1 從複變的角度你這個動作真真正正的就是從連續性出發的
    而且這個函數不論有沒有將0那一點的removable singularity移走 都是一個很無趣而且沒什麼用的函數

    我這邊用的理論是大學數學系必修課"複變數函數論"的內容 或者是工學院最常見的必修"工程數學"理面一樣有教
    這可是一門完完全全定位在鑽研複數領域上的函數的理論 從這個理論可以很明確的告訴你 你的f(x)=x^0=1這個函數無趣而且無用
    所以就算是非代數領域的數學家也會說0^0這個東西沒用 而且也不關心他到底應該是啥了

    迴響 由 ptt — 2011/12/29 @ 11:02 上午 | 回覆

    • 既然宏觀的數學上0^0=1是不合理 那一般數學家當然不同意0^0=1

      然後縮小到最一般的複數域C上 複變函數論也告訴你0^0是啥根本沒有用處

      那只專心鑽研複數域C上的數學領域的數學家當然也可以接受0^0應該是未定義的

      —-
      接下來總整理一下 對於yee先生曾經講過的所有言論 我個人做出的結論如下

      1.數學上0^0=1是唯一合理的<–wrong 因為數學上0^0=1是不合理的 所以0^0=1是合理的都是錯的 遑論唯一合理
      (這邊"數學"代表的是一般人口中的數學 包括分析 代數 組合數學…等等所有可以歸類為mathematics的科學理論)

      2.其他選擇都是荒謬wrong 學過複變函數論就很清楚0^0不論是什麼都不影響整套理論 0^0毫無用處

      4.不能帶入數字的符號這個觀念令人難以接受–>wrong 組合數學上的生成函數這一章節就是顯然的例子 這個觀念在數學上太稀鬆平常了

      5.0!和0^0有差別待遇,如何面對巴斯卡三角形,二項式定理的理解,a^0根本不能看成a^1*a^-1….族繁不及備載的各種問題 這些要嘛是你自己的情感上的問題 要嘛是你一開始的認知就有錯or你不肯唸書造成的誤解 前者你情感上不能接受的東西不甘我們的事情 後者則是你自己不唸書或是觀念錯誤
      如果你要堅持你沒有錯或是那些書你不願意看 那也是你自己的事 不甘我們的事情

      6."0次方是0個數做乘法"的說法 或是諸如

      → yee381654729:那就把陳腔濫調重新包裝, 12/22 19:31
      → yee381654729:一個運算#,如果符合結合律與封閉性。 12/22 19:31
      → yee381654729:就可以定義出n個運算元的運算方式A1#A2#…#An, 12/22 19:31
      → yee381654729:n為正整數。 12/22 19:31
      → yee381654729:如果該運算存在單位元素e, 12/22 19:31
      → yee381654729:則定義0個運算元的運算結果為e。 12/22 19:32
      → yee381654729:以複數加法為例,0個數相”加”為0。 12/22 19:32
      → yee381654729:以複數乘法為例,0個數相”乘”為1。 12/22 19:32
      → yee381654729:0個數的最大公因數為1。 12/22 19:32
      → yee381654729:布爾代數上,0個數相”and”為1。 12/22 19:33
      → yee381654729:0個數相”or”為0。0個數相”xor”為0。 12/22 19:3

      …..等等 這些你自己發明的理論 我不感興趣 而拿自創理論當成支持0^0=1的理由我也一概不接受

      7.這是數學界不願面對的問題,數學家的盲點,代數是為了發展不能帶數字公式的垃圾理論…等等言論 我認為這是
      不懂裝懂 外行充內行 把千年以來的數學家都當笨蛋的無聊而且藐視別人專業的言論
      我認為講這種話的人沒有資格跟人高談闊論數學該怎樣怎樣


      基本上從ptt到這邊 yee先生不管怎麼講都不脫出這七大類 那我合理的認為他講的話已經不會拖出這七種類別(無怪乎被評論為"跳針")
      那除非哪天終於跑出超過這七類以外的發言 不然我是不會再繼續回應此文了

      迴響 由 ptt — 2011/12/29 @ 11:46 上午 | 回覆

  89. 更正一下:
    0個數的最小公倍數為1。

    有運算單位元素的運算,
    才會定義0個運算元的運算。
    這是合理的。
    不會在沒有1的環裡定義零次方為1。

    不需要再提出別的論點,
    這些已經很合理了。

    迴響 由 Yee — 2011/12/29 @ 12:16 下午 | 回覆

    • 套用 ptt 君的用語,讓我「民科」地問:

      如何理解「0個數的最小公倍數為1」?

      如果說「0個數的最小公倍數是不被定義」可以嗎?

      我一直以為,要討論最小公倍數,起碼要有兩個數字,才可以以「公」來形容。

      「0個數的最小公倍數為1」較「0個數的最小公倍數是不被定義」強嗎?

      迴響 由 johnmayhk — 2011/12/29 @ 12:52 下午 | 回覆

      • 理解的過程就如前面寫的:
        是0個運算元的運算。
        如果換個對象:0個數的總合。
        你會認為加法不是起碼兩個數字嗎?
        你覺得0還是不定義哪個比較合理?

        迴響 由 Yee — 2011/12/29 @ 1:08 下午

  90. (民科,不用回)
    這又是,戀愛不一定有兩個人,有種東西叫自戀,甚至「零個人的戀愛」,真是很捧的觀念。

    迴響 由 johnmayhk — 2011/12/29 @ 1:14 下午 | 回覆

  91. 怕Yee不小心沒看到,我再貼一次。

    「實數線上的compactly supported複數值函數環」其實很能夠支持我們不要定義0^0=1。
    假如我們有複數的0^0=1。現在每個複數的0次方都是1了。
    f是一個實數線上的compactly supported複數值函數,f^0當然是用逐點定義。
    即(f^0)(x)=f(x)^0=1。
    但是「實數線上的compactly supported複數值函數環」是沒有乘法單位元素的環,f^0應該不能定義。
    (f^0是環外的元素,造成困擾。)

    請問從這個例子來看,0^0=1是合理還是不合理?

    迴響 由 Ninetales — 2011/12/29 @ 2:06 下午 | 回覆

  92. 理解的過程就如前面寫的:
    是0個運算元的運算。
    如果換個對象:0個數的總合。
    你會認為加法不是起碼兩個數字嗎?
    你覺得0還是不定義哪個比較合理?

    <– 我認為"不定義"比較合理

    接下來我的理解屬是民科 因為我找不到"0個數的總和"這句話的相關資料 隨意看看就好 不必當真

    原因很簡單 我是從中學的集合論來看的
    假設R是所有實數形成的集合 顯然0屬於R
    那顯然的"n個數的總和是0"即代表取出n個元素做加法運算會等於0這個元素
    那n=0呢?你從集合裡取出的元素是0個 也就應該是"空集合"
    "空集合"的總和等於0我認為不管我將集合論上的"加法運算"這一詞如何定義都不會是合理的

    迴響 由 ptt — 2011/12/29 @ 2:51 下午 | 回覆

  93. 有運算單位元素的運算,
    才會定義0個運算元的運算。
    這是合理的。

    <– 理由同前 運算單位元素這一詞如果運算代表的是"加法"跟"乘法"則跟代數理論的用詞一樣
    但是"定義0個運算元的運算"一詞在代數課本上完全找不到任何資料
    一個跟現今理論相同的用詞 卻接著定義了一個現今理論並沒有定義過的東西
    這就是這句話必須被視為民科的理由 同時也是拿這套想法來支持0^0=1不被接受的理由

    不會在沒有1的環裡定義零次方為1。

    <– 從前後文來判斷 你的環也不是代數上的環
    其實我很不能認可只是聽過人家講過這個名詞就自動拿來使用這個行為
    因為別人會以為你是從現今現存的理論觀察而得到自己的論點
    如果一早開始就知道這套理論是你自創的 那我根本不會想浪費時間去看
    不過相當好玩的地方是你這句話講清楚點的話其實在代數上會是對的
    算是一個歪打正著

    不需要再提出別的論點,
    這些已經很合理了。

    <–你自己覺得自己的理論合理不代表別人覺得合理
    而我的看法是 你用的名詞跟代數理論過於相像 但是內容卻完全兩回事
    這一點已經讓我覺得這並不合理了

    迴響 由 ptt — 2011/12/29 @ 3:09 下午 | 回覆

  94. 你要覺得0個數的總合不定義比較好,
    我也沒有辦法。
    你就這樣去覺得吧。

    迴響 由 Yee — 2011/12/29 @ 3:57 下午 | 回覆

    • 那我的問題呢?
      請見Comment 91。

      迴響 由 Ninetales — 2011/12/29 @ 4:08 下午 | 回覆

      • 有乘法單位元素的環定義就好了。
        沒有的不用定義。
        有乘法單位元素的環,
        定義零次方為乘法單位元素是合理的。

        迴響 由 Yee — 2011/12/29 @ 7:48 下午

    • 你當然沒有辦法 就像我也沒有辦法叫你相信0個數的總合是1這件事是錯的一樣

      因為我沒有被認可的專業理論依據

      同理 你的一切關於0^0=1的論證也沒有被認可的專業理論依據

      而ptt版眾所說的理論出以及我自己翻查的資料 出自大學代數課本 出自離散數學課本 複變函數課本

      出自專業的分析學家之口(herstein大是UC Davis數學博士 且研究專長是分析)

      甚至還有範疇論

      那我當然會相信0^0是未定義的

      僅僅如此而已

      迴響 由 ptt — 2011/12/29 @ 4:37 下午 | 回覆

  95. 是定義比較合理呢?
    還是不定義比較合理呢?
    這是課本不會寫的。

    迴響 由 Yee — 2011/12/29 @ 7:46 下午 | 回覆

    • 是的 因為沒必要 0^0沒有用處

      迴響 由 ptt — 2011/12/30 @ 3:09 上午 | 回覆

      • 附帶補充一下 就算課本沒寫 0^0定義成1在現今的數學界是不合理的

        這件事依然顯而易見

        原因如comment 91 “0^0的定義是1″這件事和現存的學問相牴觸 自然是不合理

        就如同"1+1=0″課本上也從來不會去特別註明這件事有錯一樣

        所以ptt上herstein大才會一開始就講"0^0=1是個約定而不是對的

        這種約定在數學上處處可見 比方說Z2環(只有兩個元素的環)上1+1=0 但是這的確只是約定而不能說它是對的

        因為我們約定了1在這邊表示"乘法單位元素" 0在這邊表示為"加法單位元素" 所以式子才會成立

        題外話

        我認為0^0到最後會變成無法給它一個定義 根本原因就是當初定義次方的概念時就直接造成了

        即n是正整數 則a的n次方表示a自乘n次

        如果要讓a^n=a*a*a*….*a乘上n次這個關係成立的話 我認為就算當初就有考慮到0^0的問題 最後依然會廢棄掉要讓0^0有定義的這個設定

        假設當初來了個知道會有0^0沒有定義的結論產生的未來人 為了避免這件事而定義a^1=1*a

        那我相信0^0=1是會被普遍接受一段時間 但是接下來這個定義法一定會被改掉

        因為等到代數理論發展到環論的時候 就會有"環裡面不見得有1″的困擾 然後指數律的表示法在代數就會變的不適用

        證據就在於herstein大曾經寫過的文章裡面 我擷取一下

        lemma:當R是具有單位元素的環。則n*x=nx。x是R中的元素。
        pf:用歸納法。
        當n=1顯然,n=2時, 2*x =(1+1)*x = 1*x+1*x =(這個等號用到了乘法單位的性質)x+x
        =2x

        假設n=k時 k*x = kx。那麼(k+1)*x =k*x+1*x =(這個等號用到了歸納法假設
        與1*x=x)=kx+x=(這個等號用到了nx的定義:k個x與1個x相加就是)(k+1)x
        於是n*x=nx對所有的n恆成立。

        注意:在不具有單位元素的環中n*x是沒有意義的,其中n是整數,x是R中的元素。
        即便是看起來顯然的東西,一點也不顯然。
        pf:用歸納法。
        當n=1顯然,n=2時, 2*x =(1+1)*x = 1*x+1*x =(這個等號用到了乘法單位的性質)x+x
        =2x
        假設n=k時 k*x = kx。那麼(k+1)*x =k*x+1*x =(這個等號用到了歸納法假設
        與1*x=x)=kx+x=(這個等號用到了nx的定義:k個x與1個x相加就是)(k+1)x
        於是n*x=nx對所有的n恆成立。
        注意:在不具有單位元素的環中n*x是沒有意義的,其中n是整數,x是R中的元素。
        即便是看起來顯然的東西,一點也不顯然。

        在代數理論上nx和n*x有著本質的差異 除非打算用完全全新的符號來代表這一套理論才能繼續讓a^1=1*a這個定義繼續被接受

        但是這件事是不可能的

        因為當初會有代數理論的產生 其出發點正正就是從觀察數域上的運算而得來的

        (就像是加法基本元素為什麼通常用0表示 乘法單位元素通常用1表示)

        那或許會問代數理論搞的這麼複雜 有這必要嗎?當然是有的

        因為這一套觀念或許抽象 但是絕對好用 因為我們可以藉由 “同構"的方式 將一些看起來跟代數符號無關的東西連結到一個代數結構上

        然後在從這個代數結構上做觀察 然後得到一些東西以後再返還回去

        舉個例子吧(例子很爛 只是要示範一下同構這觀念是怎麼用的)

        不好吃的東西和不好吃的東西同時吃會變成不好吃的東西 好吃的東西和好吃的東西同時吃還是會變成不好吃的東西(同時吃太撐啦XD)

        但是如果將比較好吃的放最後吃 則不好吃的東西和不好吃的東西依然是不好吃 好吃的東西和好吃的東西照這樣品嘗會變成好吃的東西

        那我們這邊用不好吃的東西代表0 好吃的東西代表1 同時吃代表加法 將比較好吃的放最後吃代表乘法

        於是這個東西就同構於Z2環 而由於0*1=0 所以我們將結果帶回去可以得知"好吃的東西和不好吃的東西 就算把好吃的東西放最後吃 整體來說

        還是不好吃"

        這就是代數結構的應用(當然不是我舉的這種例子啦) 所以連美國國家安全局都會編列經費來研究代數理論

        所以回到前面 如果當初a的n次方根本就和"a自乘n次"的結果不一樣的話 那0^0會定義成啥就還完全是未知數了

        當然這就是一個平行世界的故事了

        迴響 由 ptt — 2011/12/30 @ 7:41 上午

  96. 回 Comment 91
    Ninetales 君的例子是否說明:
    縱使在複數(視為有 1 的環)上定義了 0^0=1,可以推出「『單位元素』出現在沒有乘法單位元素的環中」這個矛盾?
    其實我不懂「實數線上的compactly supported複數值函數」的意義,望有心人賜教。謝謝!

    迴響 由 johnmayhk — 2011/12/29 @ 11:05 下午 | 回覆

    • 是的,有出現這個矛盾的疑慮。
      而不去定義0^0就不會出現這個矛盾,所以不定義比較合理。
      當然,這也是課本上不會寫的。

      「實數線」只是取一個常用的空間而已。我的話通常取manifold(曲線曲面等均屬此類)來用。
      重點是「compactly supported複數值函數」,然後通常我們會要求其連續(甚至可微、解析)。
      複數值函數是容易理解的,函數值是複數就對了。
      那何謂「compactly supported」?
        此處我也不講詳細定義,因為牽涉到許多名詞的定義。但是基本概念是容易理解的。
      其實是「函數值非0的集合是有界的」。
      所以 1函數 的「函數值非0的集合」是全空間,並非有界,因故不是一個「compactly supported複數值函數」。

      迴響 由 Ninetales — 2011/12/30 @ 12:43 上午 | 回覆

      • Ninetales 的顯淺說明已讓我初步理解,謝謝!

        迴響 由 johnmayhk — 2011/12/30 @ 1:08 上午

  97. 有乘法單位元素的環定義就好了。
    沒有的不用定義。
    有乘法單位元素的環,
    定義零次方為乘法單位元素是合理的。

    <– 如果這句話用現今的代數理論來看 是天大的錯誤

    "有乘法單位元素的環"這句話即表示除了"加法單位元素"以外所有的元素都在環內找的到自己的反元素

    於是乎對所有的a不等於0(0即加法單位元素) 存在a^-1 使得a^1*a^-1=1

    好了 現在我們要在環上面定義0次方 該怎麼定義?對所有非0元素而言 因為我們知道總能找到反元素

    加上我們一開始就用a^1=a a^2=a*a a^3=a*a*a …..於是a^0=a*a^-1=1也是一個合理的觀察 而且能繼續推廣

    因為a^2*a^-2=a*a*a^-1*a^-1=a*1*a^-1=a*a^-1=1 於是指數律可以往下推廣到負數次方

    所以很明顯對於非0元素而言 a^0=1是合理的 但是這一切推論對於a=0都是錯誤的

    於是"定義零次方為乘法單位元素是合理的"這句話僅僅對於非0元素顯然成立 而對於0 你必須要找另外的解釋方式

    並且如果你要讓零次方等於1推廣到0 那你就必須要讓你的理論(ex:0個數的運算之類)變成大家都接受的理論才能成立

    上面這一段就是為什麼所有的中學課本講到0次方的時候都會特別先強調"對不等於0的a而言 "然後才會說a的零次方為1

    原因就是當初定義零次方的時候真的就是這樣子來的 只是最早出現0次方之時不會有"群 環 體"的觀念

    單純就是大家觀察到所有非零元素都能找的到一個數 二數相乘之後等於1

    這就是為什麼你說a^0根本不能等於a^1*a^-1是無稽 因為我自己翻查資料 詢問教授以後得到的答案再再都證實第一次出現0次方

    這個名詞真的就是因為"非零的數總能找到一個數與他相乘等於1"而來的 而這句話同樣也是代數上乘法反元素觀念的由來

    迴響 由 ptt — 2011/12/30 @ 3:01 上午 | 回覆

  98. a^0不適合定義為a^1*a^-1,
    在有乘法單位元素的環裡,
    定義為乘法單位元素才合理。
    對於非零元素,
    指數律仍可推廣至負數次方。
    之所以要如此定義,
    是因為0^0=1在有乘法單位元素的領域仍有用處,
    不應該全盤否定。

    迴響 由 Yee — 2011/12/30 @ 7:39 上午 | 回覆

    • a^0不適合定義為a^1*a^-1,
      在有乘法單位元素的環裡,
      定義為乘法單位元素才合理。

      <–乘法單位元素就是a^1*a^-1的結果 所以對於a不等於0的時候絕對就是從這個定義來的
      並不是適合不適合 它真的就是這樣來的
      如果修過代數課的人講出這個觀點那他當初一定是被死當的
      他的代數教授也會希望他不要跟大家說是誰教他代數的

      對於非零元素,
      指數律仍可推廣至負數次方。

      <–事實上指數律的確也只有非零元素才有繼續推廣下去到負數次方

      之所以要如此定義,
      是因為0^0=1在有乘法單位元素的領域仍有用處,

      <– 完全沒有 這件事你去問所有的數學教授 都不會告訴你有用處
      如果你嫌台灣的數學教授不夠專業 你可以寄信給各大世界知名學府的數學系教授
      甚至如果你怕英文表達會讓他們誤解你的意思 那你可以寄信給邱成桐
      這一點我非常有自信可以保證 不過唯一的困擾是我可能會無法跟你證實 因為你寄信問這些教授這個問題
      我認為基本上被當成垃圾信的機率太高太高了

      不應該全盤否定。

      <–無法理解 從頭到尾沒有人全盤否定阿 我還找的到教科書上會直接在定義上約定0^0=1的呢
      ptt上也一堆人不斷重複強調在計算機科學上的確0^0就是定義成1 何來全盤否定之說?

      迴響 由 ptt — 2011/12/30 @ 7:58 上午 | 回覆

      • 沒有什麼就是這樣來的,
        換個方式定義,
        就不是這樣來的。

        定義0^0=1,
        不會影響非零元素指數律擴展至負數次方。

        0^0=1的用處已經講過了。

        我還看到目前的高中教科書直接說:
        0的0次方是無意義的。
        不是全盤否定是什麼?

        迴響 由 Yee — 2011/12/30 @ 9:38 上午

  99. 回 Comment 98

    Yee 君,你認為中學教科書應要如何寫?
    「0^0 = 1」?
    「在有乘法單位元的環上,必有 0^0 = 1」嗎?
    還是「有人認為 0^0 = 1,有人認為 0^0 視乎情況作定義」?
    對中學生或中學教育而言,如何寫比較恰當?
    至少,我們不能欺騙(或誤導)學生,0^0=1 被「全盤接納」。

    迴響 由 johnmayhk — 2011/12/30 @ 10:18 上午 | 回覆

    • 同意

      所以我認為如果是中學老師 面對有熱忱的學生 當然是能解釋的越清楚越好

      如果教學工作負擔太大 無多餘時間好好解釋 則至少應該告知學生實際情況
      (實際情況就是大部份數學家的共識就是0^0未定義 不過根據情況會約定0^0的值 最常見是1)

      但是如果回答"0^0的定義是1″ 那不論作為學數學的 當學生的或是教學者的身分 我個人都無法接受

      迴響 由 ptt — 2011/12/30 @ 11:00 上午 | 回覆

    • 未定義比無意義好。
      懸而未決比未定義好。

      迴響 由 Yee — 2011/12/30 @ 11:05 上午 | 回覆

      • 我對文字遊戲不感興趣.

        迴響 由 ptt — 2011/12/30 @ 11:50 上午

  100. 第 100 個 Comment!

    不知討論會否推到 2012?

    感謝諸位辛勞!諸位也在假期嗎?像 ptt 君詳細地逐點回應,相信花的時間和心力不少,在此嗚謝!

    根據 Comment 8,Yee 君在 2008 年稱:「0^0應該定義為1,這是我的結論。只恨我不是知名數學家。」

    其實他一早已有結論,他說「應該」,並非「一定要」。

    如果命題「0^0=1」帶出數學界公認重要的應用,起碼較「簡潔地表達二項式定理」、「理解零個元的運算意義」等強,再直接化解諸如 Comment 91 (或其他地方)提到的(其他)矛盾,那 Yee 君有可能成為「知名數學家」。

    迴響 由 johnmayhk — 2011/12/30 @ 10:18 上午 | 回覆

  101. 沒有什麼就是這樣來的,
    換個方式定義,
    就不是這樣來的。

    <–http://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=12394 我懶得再找別的資料(拼命找資料給出一張嘴的人看很浪費光陰)
    其他的你去翻所有有講到零次方如何定義的文章 絕對都是這樣來的
    換個方式定義的話是你自己書念不好的問題
    民科

    定義0^0=1,
    不會影響非零元素指數律擴展至負數次方。

    <–當然 所以才有人約定0^0=1
    但是換句話說 定義0^0=1在其他從複數出發的理論上不合理(comment 91)
    所以當然只能在限定條件

    0^0=1的用處已經講過了。

    <–對數學界而言完全用不到
    herstein大已經解釋的很清楚了
    在你自己的理論裡面確實是有用處
    不過你的那套理論跟現今數學界牴觸的地方太多了 除非你的後代子孫發揚光大讓他取代現今理論 不然就只是民科
    在民科上面有用處的東西如果拿到現存的數學理論上是無用的 那在我眼裡就依然是無用的

    我還看到目前的高中教科書直接說:
    0的0次方是無意義的。
    不是全盤否定是什麼?

    <– 請問這本教科書是哪一家出版社?
    如果他這樣寫 那確實編者的文句是不夠周詳的
    至少得改成"0^0目前數學界的共識是沒有定義的"
    如果考慮到現在網路如此發達 至少也得像單維彰教授一般加上"越來越多的計算機軟體採取0^0=1的慣例"

    但是換句話說 我並不認為這句話有任何地方說錯
    因為我們的指數律的0次方是這樣子來的 https://johnmayhk.wordpress.com/2008/11/06/zero-to-the-power-zero-2/#comment-2377
    請注意"我們希望a^(0+n)=a^0*a^n=a^n"這句話
    這句話同時說明了為什麼我們一開就要讓a=/=0 以及為什麼我們會開始採取0^0=1的慣例
    如果a=0的話 a^0是任何東西這個等式都會對 那"符合指數律中的加法律"這句話沒有什麼意義
    所以"一開始的零次方本來就是在a=/=0的情況下擴展的"
    如果今天這句話是放在"指數律"這一個篇章上 那很明顯當然合乎邏輯
    因為零的零次方在指數律上的確是無意義的 當初建構推廣指數律的時候零次方從來就沒有對0有意義過
    如果高中老師這樣教 那我得說他不夠嚴謹 但是這件事本來就無所謂
    高中以下數學課本的編寫 注意拿來跟大學微積分課本(而且找那些評論是"偏應用"的就可以了)看一下就知道雖然都是教授來編
    但是嚴謹度天差地遠 很明顯這些教材的編寫都已經有考量到學生有沒有能力去接受很嚴謹的數學定義而改變了很多東西
    那如果你針對的是高中數學教學上不夠嚴謹讓你感到不快 你應該是要去討論教改而不是0^0的定義吧?

    令我不解的是 ptt這邊找了一堆資料 舉了一堆理論 一堆實例
    然後過程裡面完全沒有人說"0^0=1是荒謬的"的這句話
    結果你拿一本高中數學課本上你自己看到的話說我們在全盤否定?
    我必須得說這非常的不尊重諸如herstein Eeon Vulpix這些認真回應你的前輩們
    他們找了一堆權威數學教授寫的書跟論文上面記載的知識來解釋給你聽
    你卻拿了一本沒有嚴謹可言的課本上的一句話就說大家在全盤否定
    那我認為你根本就不曾好好正眼看過這些東西 個人非常的鄙視這種態度

    迴響 由 ptt — 2011/12/30 @ 10:55 上午 | 回覆

  102. 之所以不定義0^0=1,
    是為了牽就那些沒有1的特殊領域,
    用最少的理論來解釋。
    所以在一般的領域中,
    也跟著不定義。
    只是在一般領域中,
    0^0=1很合理。
    不定義顯得很不自然。
    如何用簡單的方式把二者區分,
    也是可以考慮的方向。
    最後請你們不要把“特殊"與“一般"二詞過度解釋。

    迴響 由 Yee — 2011/12/30 @ 11:33 上午 | 回覆

    • comment 91 結束.

      另外 你的數學跟我眼中的數學差異太大了

      我根本不想重新定義什麼是數學 所以我看完你的論理 變得越來越支持0^0是不定義的

      迴響 由 ptt — 2011/12/30 @ 11:45 上午 | 回覆

    • 「遷就」比較大塊的那一邊有啥不好的……

      然後Comment 91就是「如果『一般領域』中0^0=1」
      則我們會得到一個有定義但無意義的東西
      但是如果我們不去定義0^0
      就不會有這樣的矛盾

      Yee很喜歡高中數學
      那我也用高中數學一定會教導的歸繆法證明告訴Yee
      根據這個論證,0^0=1就是不適當的!

      關於:「如何用簡單的方式把二者區分,也是可以考慮的方向。」
      這完全沒有道理。
      因為為了要讓0^0=1而讓本來可以很通用的敘述非得切割成兩半,這太無聊了。
      例如二項式定理。
      而且Comment 91是相當通用的。

      再說一次好了,0^0=1最多只在「數(ㄕㄨˇ)數(ㄕㄨˋ)」這個領域中很合理。
      如果數學只要數數就好……
      那0^0就等於1。

      迴響 由 Ninetales — 2011/12/30 @ 2:38 下午 | 回覆

  103. 有1的環與沒有1的環,
    哪一個更普遍?

    至於連續性,
    並沒有非成立不可的理由,
    不連續函數多得是。

    如果說0^0在某些領域定義為1,
    這些領域的範圍要更大、更一般才合理。

    把二項式表為
    (x+y)^n=
    n
    Σ C(n,k)*x^(n-k)*y^k
    k=0
    要如何教導學生:
    x,y只是符號,不能代數字進去?
    這是很不直觀、很不自然的。
    到應用時,
    突然又變成可以代數字進去了。

    只是在些特殊領域不適合定義,
    一般領域定義還是比較好。
    在布爾代數中,
    也沒有定義0!的必要性。
    但並不否定它在一般領域是定義為1的。

    迴響 由 Yee — 2011/12/31 @ 10:32 下午 | 回覆

    • 有1的環與沒有1的環,
      哪一個更普遍?

      <–根據現在數學的發展 答案是"不知道"喔
      所以→ yee381654729:把有1的環再區分出來有一些方便,值得做。 12/24 20:32
      大家的反應是""喔 那你自己去分吧…我要繼續一起用"
      沒有學過代數的人建議不要整天用"環"這個名詞
      拿一知半解的東西出來到處現是很丟臉的事情

      至於連續性,
      並沒有非成立不可的理由,
      不連續函數多得是。

      <–
      但是也沒有一定要成立的理由
      所以這句話很抱歉 我認為Cauchy提出來的連續性比你的要有sense多了
      我支持Cauchy的想法
      倒是我很不解 前面你問了
      "如果說不連續就不定義函數值,
      許多不連續函數怎麼辦?"
      現在你又回頭說連續性沒有非成立不可的理由
      連續或不連續都被你拿來質疑0^0不定義 這有點太莫名其妙了吧
      函數就只分連續跟不連續 兩個都被你拿來質疑0^0不定義
      我必須得說你心裡早就有定見0^0=1
      哪基本上這早就不算討論 因為你根本拿不出有料的內容來做說明
      數學家當然會繼續用0^0是不定義的共識
      當然也會繼續的不理會你自己認定0^0=1

      如果說0^0在某些領域定義為1,
      這些領域的範圍要更大、更一般才合理。

      <– 這問題已經提出n 同時已經說明n次 有眼睛的都看得出來
      不再次回應

      把二項式表為
      (x+y)^n=
      n
      Σ C(n,k)*x^(n-k)*y^k
      k=0
      要如何教導學生:
      x,y只是符號,不能代數字進去?
      這是很不直觀、很不自然的。
      到應用時,
      突然又變成可以代數字進去了。

      <–同上 已經提出n次 說明n次 有眼睛都看得出來
      不再次回應

      只是在些特殊領域不適合定義,
      一般領域定義還是比較好。

      <–同上 同時也同comment 91.
      comment 91的白話翻譯是"在一般領域定義0^0=1會直接將已經發展出去且成熟的理論否定掉"
      這一點來看當然是不定義比較好
      另外同Ninetales大的發言 如果你的"一般領域"是數(發音同:署)數(發音同:術)的話
      那0^0就等於1 我們當然也不關心這領域上0^0等於幾
      就像術學家不會關心去解決總是有不開發票的小攤販算錯錢一樣

      在布爾代數中,
      也沒有定義0!的必要性。
      但並不否定它在一般領域是定義為1的。

      <–
      莫名其妙 這什麼爛例子?
      拿一個沒有皆乘函數觀念的東西來舉例 跟我們舉的例子本質上是天壤之別
      我們舉的所有例子裡面皆有"次方"的觀念
      同時我們說的0!=1在所有可推廣的領域都是對的 這句話當然也是要n!的觀念在這個領域中存在才有可能是對的吧?
      這個舉例實在是太扯了
      你這句話在學數學的人眼中大概就像是
      "在台灣 , 沒有去考核選總統的人是不是具備當總統的能力的步驟, 但是這並不否定他到香港可以當個好廚師"一樣
      說過了沒念書就不要亂"現"

      再者 0!=1事實上在整個數學上都沒有"必要性" 他會全面定義就是他不會跟任何存在n!的理論產生牴觸
      而且這樣的定義方便而且好用(gamma函數因為這樣定義以後跟階乘函數連接起來了 你不定義0!是沒辦法連接的)
      我們前面舉的例子裡面0^0=1跟理論牴觸的地方實在太多了
      而且在我們眼裡毫無真正的方便好用 最多就是數(發音同:署)數(發音同:術)的時候方便 以及對像你這種
      "無法理解符號不能代數字的觀念"的人會很方便 方便的原因是"不用多費唇舌解釋"
      所以我們當然可以接受約定0^0=1 但是"定義"?抱歉 我完全無法接受
      你要用0!=1來說0^0也要比照辦理根本就是莫名其妙 "兩個都沒有必要性"是唯一的共通點
      一個是好用而且好用到很優秀(gamma函數相關的理論研究落落長一堆 跟階乘函數的聯繫有多棒 分析學家最知道)
      一個是無用而且還會產生不合理 只有某些在數學上很低層的領域上(如算數)對於普通人而言有著方便
      那在數學上如果後者根本達不到前者的"優秀"程度 我還真不覺得0^0有資格比照辦理呢

      迴響 由 ptt — 2012/01/01 @ 1:27 上午 | 回覆

  104. 因只能看網上版的 ptt,我用 google 查了在 ptt 上有關 0^0 的討論(可能還有遺漏,請指正),按時序整理如下:

    http://dl.dropbox.com/u/19150457/zero-to-zero-in-ptt-2011-11-24-to-2011-12-25.txt

    迴響 由 johnmayhk — 2011/12/31 @ 11:18 下午 | 回覆

  105. 據 Math Forum 稱

    “Consensus has recently been built around setting the value of 0^0 = 1 ."

    參考
    http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.to.0.power.html

    大家有沒有多一些資料?先謝。

    迴響 由 johnmayhk — 2012/01/01 @ 12:01 上午 | 回覆

    • 是的 目前的慣例的確大部分都是"令0^0=1″ 如果更求謹慎一點才會像
      http://www.wolframalpha.com/ 一樣 輸入0^0告訴你indetermined 請注意這個詞不是undefined

      為什麼我會說他比較"謹慎"? 因為他是以專業數學為出發點設計的 0^0=1事實上不是一個definition

      所以他如果輸入0^0以後輸出1 我想是會被專業數學人complain說他們不夠嚴謹的

      google也是設定成0^0=1 當然google不像wolfram一樣的定位 那當然就已符合大眾化為主

      這同時也是yee先生的論證拿來支持0^0=1的"定義"是不正確的原因 因為那些理由基本上都是"約定0^0=1″的原因

      包括二項式定理 “帶數字"一說 拿來當做約定0^0=1已經夠充分了 但是拿來當做"定義"的理由就是本末倒置

      0^0=1不能是"定義"的原因就是他跟理論牴觸了(如comment 91)

      但是約定當然就無所謂 例如二項式定理 這個定理我說過 他的應用範圍廣 而且幾乎只要是代數結構上就能通用

      所以嚴格的說我們只引入了x^ny^0這個"符號"代表x^n y^nx^0這個"符號"代表y^n

      而別忘記了我們在一般數域上也有一個約定是xy=x乘以y 所以x^ny^0在在一般的數字領域上就應該不免俗的視為x^n*y^0

      那"改寫二項式定理的形式"或是"解釋x^ny^0不能視為x^n*y^0″跟"約定0^0=1″ 當然就直接約定0^0=1是最方便啦

      簡單的說 從一開始二項式定理在中學數學課本上還是這個形式的根本原因就是因為方便而已

      所以才有人說"照著yee先生的定義走 連這個二項式定理都是錯的"

      既然yee先生曾經說"數學就是要追求完美""只恨不是知名數學家" 那對於他口中的"定義"一詞 我們當然要用最高標準看待

      學數學的人對於"定義"這個詞就是必須最高標準看待 不然到處都會產生一堆循環論證的結果 這是絕對不行的

      這跟什麼"特殊"和"一般"的文字遊戲是完全的不一樣 而且comment 91已經清楚點出來 就算我們接受yee先生一開始就只關心

      複數領域上的數值結果(先不論為什麼所學如此粗淺的人有自信說"只恨自己不是知名數學家""數學要追求完美")

      定義0^0=1依舊是不對的 只是一般人根本不會接觸到comment 91的東西 所以約定0^0=1當然就還能接受

      事就是0^0約定成1合不合理?當然 而且早就被使用到爛了 定義成0^0=1合不合理?抱歉 這件事無法接受

      迴響 由 ptt — 2012/01/01 @ 2:27 上午 | 回覆

    • 再補一下 文章裡面有說到為什麼約定0^0=1是最自然的選擇

      請看這段話 “usefulness and consistency are very important, and that under these parameters 0^0 = 1 is the natural choice"

      有用性和一致性就是這個約定的最好理由 我這邊用二項式定理解釋

      首先根據一致性 約定0^0=1的確就讓二項式定理不需要"改寫成跟別的領域使用到的不一樣的版本"或是"xy=x*y這個約定在x^0出

      現的時候要重新解釋"

      而有用性 當然就是我們不希望他在x=0或y=0時變成左右結果不一致 然後二項式定理就變成無用 所以要嘛我們要在這邊加個前提

      x,y不等於0 或是約定0^0=1 那同樣的連同一致性一起看 約定0^0=1就是一個最自然的選擇

      看看我的敘述是否跟yee先生講的很像 但是yee先生為什麼會被ptt版眾如此批評的這麼慘?

      因為他說的是"數學上應該定義0^0=1″ 不是"約定"更不是"在某些條件下定義" 既然yee說的是在"數學"上 而如同yee所說的

      “數學就是要追求完美" 那在這條件上定義0^0=1就是不完美 那當然所有理由看起來都瞬間變得非常不足了
      (請注意我沒有說0^0不定義是完美的 事實上0^0定義成任何東西都不完美 所以不定義完全就是沒得選的選擇)

      其次 他同時也批評說"其他選擇都是荒謬的" 不定義這個已經是數學家共識的選擇也是其他選擇之一

      一個數學程度充其量還不到數學系大一的人去批評數學界大部分人的選擇是荒謬 那被斥為無稽也是必然的結果

      迴響 由 ptt — 2012/01/01 @ 2:48 上午 | 回覆

    • There is an article “What is 0^0?" written by Michael Huber and V. Frederick Rickey.

      http://mathdl.maa.org/mathDL/46/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2556&pf=1

      迴響 由 Mt — 2012/01/01 @ 1:09 下午 | 回覆

      • 這篇寫的真不錯 尤其最後結論那句話相當值得細細咀嚼

        “First tell ’em what you are going to tell ’em, then tell ’em, then tell ’em what you told ’em,"

        如果台灣的高中數學還沒有拿掉微積分的話 應該就能好好的利用0^0這個話題來練習一下自己能否教的清楚了
        (不過家教學生可能會跟媽媽complain然後把我fire 哈哈)

        迴響 由 ptt — 2012/01/01 @ 5:05 下午

  106. 再補充一下 如果從組合數學的角度來看 0^0=1是合理的

    但是為什麼我說yee先生的看法是錯的?
    怕大家找不到 先擷取下來他的說法

    “0^0是將0物分給0人的方法數,
    也是不用做就完成,
    也是1種方法。
    定義0^0=1是非常合理的。"

    第一 組合數學上從來就沒有定義過"0物分給0人的方法數" 而且這個問題也不像"將1件物品交給一個人"這樣直觀
    像我自己就認為"你辦不到將零件物品分給零個人這件事 所以是沒有方法 應該是0″ 當然這兩者都是民科 都是自己的解釋而已
    所以從組合數學來出發是對的 但是yee的解釋是錯的 原因就是"他提的理由根本不是組合數學的內容"

    而真正為什麼從組合數學的觀點出發會是對的?原因請見xcycl大的文章 我擷取一段

    首先第一個是 ordinal arithmetic [1],在這個算數系統下,
    0 是空集合,1 是 {0}, 2 是 {0, 1}, 3 = {0, 1, 2}, 以此推類。
    而我們可以將 ordinal 分作三類(更精簡地其實是兩類):

    1. zero ordinal, 也就是空集合
    2. successor ordinal, 是長成像是這樣的 a ∪ {a} (a 是某個 ordinal)
    3. limit oridnal, 除了以上兩種的 ordinal,相等於所有比它小的 ordinal 的聯集

    其中 a ∪ {a} 習慣上寫作 a + 1

    在這套系統下,假設我們都知道怎麼定義加法乘法了,對任意 ordinal a, 指數是定義成

    1. a^0 = 1
    2. 若 c 是 successor ordinal, 也就是 c = b + 1 則 a^(b+1) = a^b * a
    3. 若 k 是 limit ordinal, a^k 則是對所有 a^b (b < k) 的聯集

    也就是說, 0^0 是 1, 並沒有排除在外。

    第二個是集合的角度,類似上面的習慣,a^b 可以看做是 b 到 a 的函數空間,
    而所有空集合為 domain 的函數只有空集合本身, 所以 0 到 0 的函數空間只有一個,
    所以 0^0 同構於 1 (在集合上,同構的概念僅表示有一對一且映成的對應,也就是
    cardinality 一樣,意義不大)

    另外 在更抽象更特殊的領域0^0=1也有可能是合理的
    例子同樣也是xcycl大提出的理論 : 範疇論 見以下 :

    第三是範疇論 (這個看不懂很正常) [2], a + b 是 coproduct, a x b 是 product,
    在 category of ordinals 下, 分別對應加法乘法, a^b 則對應 exponential object,
    也就是指數, 所以我們推廣到一般的範疇下, a^b 的"表示"有兩種選擇,
    一種是看作 b 到 a 的函數空間(若a, b 都是範疇 C 下的元素) 或是
    internal hom, 這個比較複雜點我就不說了;
    或者 b 是一個集合, 那麼 a^b 則是代表 a * a * … * a 的 b-fold products,
    也就是有 |b| 個 a 的 product, 具有 C(c, a^b) = Hom(b, C(c, a)) 的關係,
    若 b 為空集合, 則 Hom(0, C(c, a)) = 1 = Hom(c, t) natural in c 也就是告訴我們
    如果範疇 C 有 terminal object t 的話,a^b 同構於 t 。
    通常會把 terminal object t 當作是 1 的(在許多範疇下是一個元素的object)。

    是的 0^0=1這件事在組合數學上是相容的 但是同樣的也有領域是不相容的

    所以你如果要定義0^0=1 至少它也得在所有有出現"0^0"和"1"的數學領域上是相容(或者至少在那些理論的語言裡面是等價的 譬如說同構)的 這邊甚至還不要求他"有用"呢 你大可以去問問看xcycl大在這兩個領域裡面0^=1有沒有實質用途

    目前在我的眼中看來0^0=1的唯一用處 就是"幫助對於符號觀念太差並且將來不打算鑽研更難的數學的人在學習二項式定理的時候不會有理解困難" 基本上可能這也算是有用吧 在教一些數學不好的學生的時候這樣教比較省時而且不會影響分數

    如果符號觀念太差而將來還執著(或陰錯陽差)要學習更難的數學的話 那有良心的老師就不該用0^0=1去教他理解二項式定理

    因為這種符號的觀念在數學上太重要了(如組合數學的生成函數) 現在不搞好以後就真的會很慘烈了

    迴響 由 ptt — 2012/01/01 @ 7:05 上午 | 回覆

  107. 最後順便祝一下版主新年快樂~在這邊佔用了很多版面不好意思

    迴響 由 ptt — 2012/01/01 @ 7:09 上午 | 回覆

    • ptt 君,早晨!
      也祝各位新年快樂!
      看大家的交流才是重要,隨便發表吧。

      迴響 由 johnmayhk — 2012/01/01 @ 7:31 上午 | 回覆

  108. 如果將0物分給0人不夠直觀,
    請問0物做直線排列直不直觀?
    從n物中取0物直不直觀?
    最後再問,
    請問0直不直觀?
    雖然0在數學上已經承認很久了,
    但在許多地方還會刻意逃避它。
    如果數學要討論的只是生活中用得到的,
    0並沒有太大用處。
    我去百貨公司買了0件東西,花了0元。
    我在0樓。
    這些說法幾乎不會出現在日常生活中。

    迴響 由 Yee — 2012/01/01 @ 6:47 下午 | 回覆

    • 1.我不太關心一個批評數學理論是垃圾的人心中是怎麼想的
      你可以慢慢把你的理論去跟每個人闡揚
      只是不會有人願意浪費時間聽你講而已

      2.0直不直觀?很直觀 原因如版主

      3.數學很多東西都是當初連數學家都以為用不到 結果後來卻用的太多的
      mgtsai舉出了一個例子 我現在再舉一個 : 密碼學
      光這兩個你生活中就不停 不停 不停的在用到了
      沒有那個程度去意會到自己生活中出現了很多高深的數學不代表他用不到

      4.直接套用mgtsai大的話送給你
      “有時,真的要多看看外頭的世界長得怎麼樣"

      迴響 由 ptt — 2012/01/02 @ 4:17 上午 | 回覆

    • 1. Group 的結構只有 multiplicative identity。Ring 和 Field 才有加法的 0。
      Group 沒有用嗎?
      – SU(2), SU(3) 是物理學家在 Standard Model 採用的數學結構。

      2. 在 Manifold 之上,也沒有所謂 global的 0 點。充其量,在某 local coordinate system,我們可以把某一點當作為 0。不過,改變了 local coordinate system,那一點可以是其他的東西。Manifold 沒有用嗎?
      – 相對論的數學結構是建基在 Manifold 之上

      直觀不代表有用或是正確。
      (a) a*b = b*a 不是很直觀嗎? 但是,在 non-abelian group 的計算,一般來說,a*b 確實不等於 b*a。
      (b) Prime number 的數目少於 Rational number,這不是很直觀嗎?對不起,Prime number 其實和 Rational number 是"一樣地"多。
      (c) a*x^2 + b*x + c =0, quintic equation, quartic equation 都有 general solution。很遺憾,五次或以上的方程是沒有 general solution。

      迴響 由 Mt — 2012/01/02 @ 6:36 上午 | 回覆

  109. 1.Thank you Mt for the article in MAA.

    2.(非數學類,民科)
    在香港,以零來作日常形容詞,已慣以為常,諸如:「路上零意外,香港人人愛」、「零距離」、「零相關」、「零容忍」之類。

    迴響 由 johnmayhk — 2012/01/01 @ 9:13 下午 | 回覆

  110. 0^0=1在密碼學裡有衝突嗎?

    0^0=1以為用不到的人是你。
    在我看來很好用。

    數學界應該更勇於接受0。
    就如我前面提到的0個運算元的運算。
    將0物分給0人。

    迴響 由 Yee — 2012/01/02 @ 8:06 上午 | 回覆

    • 0^0=1在密碼學裡有衝突嗎?

      <–那是你的中文有問題 我從來沒有說過這句話
      同時我還舉出了好幾個0^0=1可以相容的系統

      0^0=1以為用不到的人是你。
      在我看來很好用。

      <–所以根本沒人懶得鳥你到底覺得0^0是什麼
      因為現實層面就是連UC Davis的數學博士 接觸過的數學領域比起你多出不知多少的人
      他都說沒有用到了 你看起來很好用是你自己的事情
      因為你所謂的數學不過就是算數而已

      數學界應該更勇於接受0。

      <– 一個不懂數學 講出"代數是垃圾理論"的人 不管他對數學有什麼看法在我眼裡都毫無意義

      就如我前面提到的0個運算元的運算。
      將0物分給0人。

      <– 民科

      迴響 由 ptt — 2012/01/02 @ 8:45 上午 | 回覆

      • 我再重申一次

        我關心的只有"定義0^0=1″這件事是不是合理的

        那我看完這一大堆文章以後自己整理的結果就是

        1.根據ptt上各位高手 Mt大 ninetales大 以及我自己查的資料 我到現在為止依舊覺得數學家不去定義0^0是個最好的選擇

        2.根據yee先生所有發表的言論 我能夠得到的資訊是
        a.yee先生對於數學領域的了解還不及數學系大二必修的範圍
        b.yee先生對於0^0=1的堅持大到為此他不惜將代數理論批評為垃圾
        c.yee先生提出的理論 絕大部分幾百年前就已經有人提過(諸如二項式定理的觀察) 目前為止我看不到任何新意
        d.唯一我不曾在任何教科書上看到的理論 叫做"0個運算元的運算 , 0物分給0人"
        這是一個沒有被數學界認可的觀念 同時我本身認為這個理解也不合理
        所以對於拿這個東西來當做0^0=1的理由 對"我"而言也是沒有意義的(請注意我有強調這是"我自己"的想法)

        所以整個文章串下來以後我的結論就是"我當初認為0^0是不定義最好 現在依舊 而且更深信這個選擇是最好的"

        為了避免誤會我這邊很慎重很慎重很慎重的強調

        我不關心yee先生怎麼想 你覺得0^0=1最合理我沒意見 如果有人看完這一大串也覺得0^0=1 我也同樣沒意見
        我不關心yee先生怎麼想 你覺得0^0=1最合理我沒意見 如果有人看完這一大串也覺得0^0=1 我也同樣沒意見
        我不關心yee先生怎麼想 你覺得0^0=1最合理我沒意見 如果有人看完這一大串也覺得0^0=1 我也同樣沒意見

        對我而言我的收穫就是

        之前 : 認為0^0沒有定義 但是總有一點懷疑0^0=1有可能有機會變成一個普遍的定義 只是該念的書太多不曾好好翻資料
        之後 : 認為0^0沒有定義 同時也徹底的認定0^0=1不再有機會變成普遍的定義 並且深信不疑

        —–
        接下來是個人觀感 跟0^0無關 不用理會我自己的murmur

        我可以接受有人跳針 有人堅持己見 有人不懂裝懂 甚至我也可以對有人對非自己專業的東西指指點點視而不見

        我甚至也可以接受針鋒相對以後互相之間言語擦槍走火 只是最後自己要能知道自己說的太過 要收的回來

        但是我徹底的不能接受有人對於將自已不懂的專業批評為"垃圾"

        我認為這是一個界線 是一個基本的尊重 當你跨過了這個界線 你就失去了別人對你的基本尊重

        這一點我非常 非常的不能接受

        迴響 由 ptt — 2012/01/02 @ 9:30 上午

  111. 你把我對代數的看法簡化為認為這些是垃圾,
    根本就是抹黑。
    定義0^0=1就是為了讓許多公式可以真正代值進去,
    使這些公式有用處,
    它們就不是垃圾。

    有人說不定義0^0=1,
    讓x^0它當作偽1。
    不知道這種做法有何好處?
    可見0^0=1是存在的事實,
    你用不能代值的notation這種說法,
    也無法否認這個事實。
    在沒有1的環,x^0=1的精神仍然存在。
    更不用說在有1的環,
    當然毫無疑問就是1了。

    迴響 由 Yee — 2012/01/02 @ 12:26 下午 | 回覆

    • 請問「在沒有1的環,x^0=1的精神仍然存在。」何意?

      迴響 由 johnmayhk — 2012/01/02 @ 1:04 下午 | 回覆

    • 「讓x^0它當作偽1。不知道這種做法有何好處?」
      所謂的偽1就是說ax^0=a,這個好處多多。
      最主要的好處就是:我們可以用sigma記號記錄多項式了。
      我不解的是,類似上一行的文字Yee應該已經看過不下10次了,怎麼還看不懂……

      「可見0^0=1是存在的事實,」
      可見什麼??哪裡是事實?

      「在沒有1的環,x^0=1的精神仍然存在。更不用說在,當然毫無疑問就是1了。」
      嗯……如果係數環是有1的環,那我們就會讓x^0=1,這沒錯。
      但是「0次方是1的傢伙」是x,不是0。
      所以即使x^0=1也跟0^0=1毫不相關。

      幫忙複習一下x的意義:

       多項式環A[x]中,x是稱為不定元的東西,「不是」代表A裡面的某元素。
       所以x不可能是0。

       至於以往所認識的多項方程式又是什麼呢?例如:x^2-1=0,A是整數環。
       這個例子中,x^2-1其實是A的元素。
       怎麼說呢?
       其實是在A[y]的元素y^2-1的y那個位置「代入」某個整數x,所以x^2-1其實是個整數。

       平常我們是不會混淆的,但是Yee似乎對這類觀念混淆地很嚴重,所以特別指出來。

      迴響 由 Ninetales — 2012/01/02 @ 5:12 下午 | 回覆

  112. 你把我對代數的看法簡化為認為這些是垃圾,
    根本就是抹黑。
    定義0^0=1就是為了讓許多公式可以真正代值進去,
    使這些公式有用處,
    它們就不是垃圾。

    <–
    → yee381654729:那是為了不定義0^0=1量身訂作的垃圾共識。

    → yee381654729:是你們什麼時候停止你們的垃圾理論?

    → yee381654729:現在總算了解之前你們說用不到0^0的原因了。
    → yee381654729:因為你們所謂的代數是用來推一些不能代入數字的
    → yee381654729:垃圾公式。
    → yee381654729:難怪用不到。

    所有ptt上的人都是本著現在的代數理論在發表意見 而這就是你的回應
    要說我抹黑 除非這些話都是我自己掰的

    如果你嫌我說的不夠精確 那也可以 我講的明白一點
    你的這些回應就是在說"現在的"代數是垃圾
    而"照你的定義的代數"就不是垃圾
    不僅不尊重別人的專業 同時還很自大

    有人說不定義0^0=1,
    讓x^0它當作偽1。
    不知道這種做法有何好處?

    <– 這不是做法 這只是在一般數域上二項式定理的一種理解法
    所以 沒錯 約定0^0=1也是一種理解法 因為你在基礎代數理面視f(x)=x^0=1
    但是事實上二項式定理 如果x*y=y*x的話 是對所有的代數結構都要通用的
    所以嚴謹的說起來我們根本就只有x^ny^0=x^n,y^nx^0=y^n這件事情而已
    就算是有1的環 如果x*y=/=y*x 那二項式定理根本也不會成立 在這些環裡面x^0=1就真的只能唯一理解成x*x^-1而已了

    為什麼一直有人強調要多唸書?看看yee先生的例子就知道
    對"環"一知半解就在那邊"有一的環"來 "沒一的環"去的
    但是就算是有1的環 二項式定理imply x^0=1這件事還是一點都不顯然

    可見0^0=1是存在的事實,
    你用不能代值的notation這種說法,
    也無法否認這個事實。

    書要多唸才不會鬧笑話
    講出這種話的人如果曾經修過代數 那當初一定是被死當了

    迴響 由 ptt — 2012/01/02 @ 1:28 下午 | 回覆

  113. 最後面被吃掉了一堆東西 重打一遍

    可見0^0=1是存在的事實,
    你用不能代值的notation這種說法,
    也無法否認這個事實。

    <—
    我發現yee先生有閱讀某些特定文字的障礙 我在這邊特別強調好了

    comment 91
    comment 91
    comment 91

    一個直接造成現存理論錯誤的東西怎麼可能會是"事實"?
    不能代值的notation根本不是說法 而是為求嚴謹之下的唯一一個解釋
    因為"f(x)=x^0=1 對所有x屬於C"這個東西在數學上根本就是錯誤的
    但是如果數學只需要做做算數 或是用到基礎代數去做做算數的話這個東西就可以相容了
    那中學以前的數學都還只在這個範圍內 而且根本也不可能跟這種程度以下的學生解釋如comment 91的內容
    當然約定0^0=1就解決了 所以如同Mt大的連結 http://mathdl.maa.org/mathDL/46/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2556&pf=1
    裡面就講了" if you are dealing with ordinary algebra, then 0^0 = 1."
    所以數學家可以接受0^0=1的約定 或是如果你覺得一定要出現"定義"兩個字才爽 那我也可以換句話說 "在某些領域定義0^0=1"
    但是很抱歉 從嚴謹的角度來看 就算只是在複數域上 0^0=1依然是個必然的錯誤
    除非你的複數域上發展的數學只停留在算數而已 也就是拓樸學 代數 分析 複變數函數論….全部都不是"數學"的分支的時候

    在沒有1的環,x^0=1的精神仍然存在。
    更不用說在有1的環,
    當然毫無疑問就是1了

    <–
    書要多唸才不會鬧笑話
    講出這種話的人如果曾經修過代數 那當初一定是被死當了

    迴響 由 ptt — 2012/01/02 @ 1:43 下午 | 回覆

  114. comment 91是把連續性無限上綱化的結果。
    要如何修改那是專業數學家的問題。
    他們只是懶得做而已。
    所以才要繼續偷用0^0=1而不承認。

    迴響 由 Yee — 2012/07/03 @ 1:15 下午 | 回覆

    • 外行充內行.
      前面那一大堆長篇大論我懶得看了(反正我看到一半就知道有人被電到語無倫次 ,我想後面應該很難有新的見解)
      光就這段評論就令我大笑了
      先完全不管這個東西到底是不是能修改的東西(這讓我想到空中花園 ,一個完全不懂建築的人要求建築專家蓋出不打地基的空中花園 ,呵呵)
      “專業"數學家"完全沒有修改"的東西 ,究竟是
      1.專業數學家們認為不需要修改or以他們專業的能力找不到任何好的修改方法
      2.古往今來上千萬個數學家們都完完全全比不上這位業餘數學愛好者的真知灼見 ,大家都比不上他的偉大發現
      到底是1的可能性大呢還是2?忘了說這位愛好者實際上似乎不太喜歡學習 ,聽說連基本的大學代數都沒興趣稍微看一下

      嘛 ,有人喜歡活在自己的小圈圈裡面也是不錯啦 ,台灣有位莊園大師你看他不就活的很開心~天帝的代言人呢!
      把自己想的很偉大然後把所有的數學家都想成白癡 ,說他們都在偷用0^0=1而沒有勇氣承認換個角度想也是滿開心的啦

      迴響 由 josh28 — 2012/07/06 @ 11:36 下午 | 回覆

      • 說穿了不就是把連續性無限上綱化。

        迴響 由 Yee — 2012/07/08 @ 4:23 下午

    • comment 91 和連續性一點關係也沒有…
      你的數學真的有待加強

      迴響 由 sikm — 2013/04/07 @ 6:41 下午 | 回覆

  115. 所以得到一個時而可代入數字,
    時而又不可代入數字的二項式定理,
    令人無所適從。

    迴響 由 Yee — 2012/07/03 @ 1:46 下午 | 回覆

  116. 現有的代數理論是把連續性無限上綱化,
    基於不定義0^0而制訂出來的。
    所以如果定義0^0=1,
    這套理論就不能用。
    這是廢話。

    迴響 由 Yee — 2012/07/08 @ 4:32 下午 | 回覆

  117. 不僅偷用0^0=1而不承認,
    也不願承認0個運算元的運算。
    因為這些好用的東西會讓那套理論破功。

    迴響 由 Yee — 2012/07/08 @ 4:36 下午 | 回覆

  118. Ref comment 117

    現有的代數理論
    (是那條「理論」?)

    是「把連續性無限上綱化」
    (語意不明,可介定清楚嗎?),

    「基於不定義0^0而制訂出來的。」
    (請提出證據,說明「代數學」是基於「不定義0^0」而制訂出來。注意,「代數學」的發展史是有根有據的。)

    所以如果定義0^0=1,這套理論就不能用。
    (那套理論?如何不能用?)

    這是廢話。
    (「這」指甚麼?現有的代數理論?如閣下指「現有的代數理論是廢話」的話,乃屬嚴重誤導,影響學子對代數學的觀感。)

    為何 yee 把已被多番回應的言論,相隔好些時間後又突然重覆地分幾個 post 在這裡貼完又貼?

    之前的回應沒有刪除,諸君大可從頭看起(不過也頗花時間的,我自己也「浪費」過不少光陰 T_T),

    又或在 comment 104,我曾整理過在 ptt 那邊(由 2011 年 11 月 24 日至 2011 年 12 月 25 日)的貼文:

    http://dl.dropbox.com/u/19150457/zero-to-zero-in-ptt-2011-11-24-to-2011-12-25.txt

    不談了,太多其他工作了。

    迴響 由 johnmayhk — 2012/07/09 @ 12:08 上午 | 回覆

  119. 極限不存在的點,
    不定義函數值,
    就是把連續性無限上綱化。
    此一做法完全不考慮不連續點的函數值是否有其它用處。
    至於是哪套理論?
    凡是定義0^0=1會影響到,
    因而要修正的都是。

    迴響 由 Yee — 2012/07/09 @ 6:57 上午 | 回覆

    • “極限不存在的點,
      不定義函數值,
      就是把連續性無限上綱化。" 這句話真的很值得括弧起來讓大家一笑在笑XDDDDD

      照此位高手的說法 , tan函數跟cot函數也都是把連續性無限上綱化了 ,於是我們應該要在那些點定義一個函數值才叫做合理

      這照我的看法看來簡直就是把畫蛇添足這句成語運用到極致了阿XDDDDD您貴姓阿 我真的好想把您介紹給編中學國文課本的人認識喔

      教國文順便學數學XDDDD

      喔對了 我後來跟朋友覺得這真的是一個很好的反面教材 , 可以下學期上微積分助教課的時候拿來告訴大家為什麼定義域要寫清楚XDDD

      “此一做法完全不考慮不連續點的函數值是否有其它用處。"

      咦 , 我看前面的回文裡面似乎已經有提到有位UC Davis的數學博士直接說定義這個函數值毫無用處了耶?

      我跑去問了好幾個教授(有賓州大 普林斯頓…等等學校的博士)也都說定義這個沒有用欸(有的還對這問題毫無興趣) 原來您是絕世天才阿(筆記

      “至於是哪套理論?
      凡是定義0^0=1會影響到,
      因而要修正的都是。"

      情問這句話的意思是"只要定義0^0=1會有錯的都是要修正的理論"嗎?

      那換句話說 對您這位天才而言 必須要先定義0^0=1然後接著發展的理論才是對的囉XDDD?

      那這跟您一開始指責的"基於不定義0^0而制定出來的"是有什麼差別嗎?

      請問您是哪根蔥夠格要求大家一定要基於你的要求來修改這麼多年來無數數學家發展出來的理論阿XDDD?趕快把您的大名說出來讓大家笑一笑好嗎?

      網路上打打嘴砲自我感覺良好的人很多啦 不過您是我看過的其中之最XDDD網路上敢於挑戰一個領域的權威的人裡面大部分起碼都還稱得上業餘好手 您這個連業餘都稱不上阿XDDD再怎麼業餘的數學愛好者起碼基本的微積分代數點集拓樸等等都要學上一點吧 您這個一看就是完全沒在看書的阿XDDD沒在看書的人指責書上那些經過幾百年錘鍊的理論有錯 , 您真內行!

      迴響 由 searchtoherehehe — 2012/07/25 @ 1:44 下午 | 回覆

      • tan與cot是從除法定義的,
        分母為0就不定義,
        不連續是合理的。

        去查一下歷史上的文件,
        討論到最後都是在討論連續性。
        這不是把連續性無限上綱化是什麼?

        你以為這些理論就是真理,
        但這不是真理,
        只是一種形式。
        而這形式不漂亮,
        定義0^0=1才漂亮。
        定義是無關對錯的,
        要看怎樣定義才漂亮。

        迴響 由 Yee — 2012/07/27 @ 7:24 上午

  120. 因為現在理論是這樣寫,
    要改很麻煩,
    所以不定義比定義好。
    這是什麼爛邏輯?

    迴響 由 Yee — 2012/07/27 @ 7:59 上午 | 回覆

  121. 可是如果以 0^0 = 0^(1-1) 的方法來解,又如何解釋?
    最近在讀那個 Field Axiom,突發奇想,請指教。

    迴響 由 Myst — 2012/09/13 @ 11:03 下午 | 回覆

    • 0=1-1
      所以0^0=0^(1-1),正確。
      但如果往下寫0^(1-1)=0^1/0^1,
      並沒有理論支持。

      如果堅持0^(1-1)=0^1/0^1,
      會導致嚴重的後果。
      0=0^1不反對吧。
      0^1=0^(2-1)也沒有錯誤的理由。
      然後0^(2-1)=0^2/0^1=0/0,
      結果不僅推翻了0^0,也把0一起推翻了。

      迴響 由 Yee — 2012/09/15 @ 10:39 下午 | 回覆

    • 用0^0=0^(1-1)來思考0^0,
      得不到好的結果。
      所以不必從這個方向來思考。

      迴響 由 Yee — 2012/09/15 @ 10:57 下午 | 回覆

  122. 關於comment 115:
    comment 91到底哪裡用到連續性了啊……
    compact不是連續性,support不是連續性,複數也不是連續性。
    別說函數就非得指連續函數,你的數學老師會哭的……

    很抱歉我今年才看到,回得晚了。

    迴響 由 Ninetales — 2013/01/01 @ 6:49 下午 | 回覆

    • 你真的是學不乖,
      每次看到不利於你的東西就說別人「把連續性無限上綱」。
      像小孩子一樣,
      看到別人有好玩具就說「那是我的」,
      做錯事就說「都是他啦」……

      我現在開始懷疑你到底知不知道什麼是「無線上綱」了……

      迴響 由 Ninetales — 2013/01/01 @ 6:54 下午 | 回覆

  123. 極限不存在就一律不定義函數值,
    不顧其它領域的應用,
    這就是把連續性無限上綱化。

    至於有些環沒有1,
    所以連有1的環也不定義。
    那也不是合理的方法。
    0^0=1在許多領域還是用得到的。

    迴響 由 Yee — 2013/01/15 @ 9:26 上午 | 回覆

    • 問題是comment91裡沒有任何「極限」、「連續」的概念出現
      請問這次又無限上綱了什麼?

      再說,你應該看清楚前提:如果「定義」複數體中的0^0=1
      然後考慮「實數線上的複數值函數 f(support是有界的)」所形成的環
      那麼我們「居然」能夠定義 f^0
      雖然這個環中並沒有1
      這豈不是很弔詭嗎?

      「0^0=1在許多領域還是用得到」這句話是可以被接受的
      但是僅止於「某些領域」,甚至是「某些問題」
      通盤定義本身就很怪
      拿你最愛的二項式定理來說吧,
      現有定義非常夠用,完全沒有必要為了有1沒1而分割二項式定理的敘述
      況且會出現x^0這記號,甚至會出現Σ都是因為我們想要簡記,不然,或許我們應該這麼寫:
      「設x,y為一環中可交換的兩元素,則(x+y)^1=C(1,0)x+C(1,1)y, (x+y)^2=C(2,0)x^2+C(2,1)xy+C(2,2)y^2, 依此類推」
      (我應該多寫幾個,不過聰明如你應該能夠知道怎麼類推。)
      再說,「取值同態」比「代數字」來得更好
      我們甚至能將整數環中的元素想成在其maximal ideal上取值,執著於「代數字」的思考則不能辦到

      迴響 由 Ninetales — 2013/01/19 @ 12:13 上午 | 回覆

      • 0^0=1所能應用的領域,
        是最直接用得到的。
        你把二項式定理寫成這樣,
        要如何推到一般式?
        要把式子寫到最精簡,
        而且適用範圍最大,
        那就非定義0^0=1不可。
        如果你覺得式子寫得複雜也無所謂,
        0!也不需要定義。

        迴響 由 Yee — 2013/01/19 @ 4:39 下午

      • 說了多少次了,定義0^0=1才會讓式子更複雜= =
        有1的環好像寫起來很簡單,那沒有1的怎麼辦??
        你這麼歧視沒1的環嗎?
        最簡單的寫法就是約定x^0=1(這兒的x是「不定元」)
        然後利用「取值同態」來「代數字」
        如此我們仍然能夠用Σ與x^0等記號來敘述二項式定理
        而且如此做正是一勞永逸。

        另一作法就是
        「設x,y為一環中可交換的兩元素,則(x+y)^1=C(1,0)x+C(1,1)y, (x+y)^2=C(2,0)x^2+C(2,1)xy+C(2,2)y^2, 依此類推」
        在這兒,依此類推四字相當重要而且相當模糊
        但是只要有一定能力應該不難類推的

        再說,Σ這玩意兒的定義中本來就有「依此類推」的概念
        因為在沒有說n是多少的時候,我們其實不真的能夠寫下Σ_{k=1}^{n}(k)
        畢竟n=1的時候,這就是1
        n=2的時候,這就是1+2
        n=3的時候,這就是1+2+3
        但是一般n,還是只能寫1+2+3+…+n
        所以如果你覺得沒有用到「依此類推」的概念的話……
        那很單純,只是你偷用而沒有發現自己偷用而已

        迴響 由 Ninetales — 2013/01/20 @ 11:21 上午

  124. 沒有1的環,
    依照現在的架構,
    有1的環定義就可以了。
    因為有1的環才是常用的。
    把式子寫得很明確,
    不需要依此類推。

    迴響 由 Yee — 2013/01/20 @ 2:57 下午 | 回覆

    • 「有1的環定義就可以了。」
      這不是讓事情變得複雜了嗎?

      「把式子寫得很明確」
      嗯,所以x^0從來就沒人認為他是1。
      x^0y^n就是y^n的另一個表示而已,
      a_0x^0也只是a_0的另一個寫法,
      因為想用「Σ」、想把式子寫得很簡單而不得不採用的記號。

      迴響 由 Ninetales — 2013/01/25 @ 6:23 下午 | 回覆

  125. Σ這種記號不用,
    才會讓事情複雜化。
    不必為了沒有1的環那種冷僻的領域,
    搞得全部不能用。
    冷僻的領域用特別定義就可以了。

    迴響 由 Yee — 2013/01/25 @ 8:50 下午 | 回覆

    • “沒有1的環那種冷僻的領域" 並不冷僻,請不要亂說。

      迴響 由 Soarer — 2013/01/26 @ 3:01 上午 | 回覆

      • 有1的環,都用得到0^0=1。
        請不要亂不定義。

        迴響 由 Yee — 2013/01/26 @ 2:38 下午

  126. To comment 126.3
    Please refer to comment 96 again.

    迴響 由 johnmayhk — 2013/01/27 @ 10:01 下午 | 回覆

  127. 那裡提到了連續性,
    是把連續性無限上綱化。

    迴響 由 Yee — 2013/01/28 @ 7:23 上午 | 回覆

    • 對不起,我不爭氣地笑了…

      果不其然,因為comment 96我順口提到一個可有可無的「連續」條件
      就被說我把連續性無限上綱XD

      我歸納一下Yee先生的想法吧:
      1. 不可以沾上「連續」這兩個字,否則就是無限上綱連續性。
      2. 只有能讓0^0=1的領域才是常見的領域,其他領域全部都很冷僻。
      3. 因為冷僻的領域不重要,所以可忽略,故0^0=1是普世標準。

      然後啊,要跟Yee說個小秘密:
      如果把comment 96裡連續那附近幾個字遮住的話
      整個敘述根本沒有差異耶
      所以……要不要看懂了再繼續談?

      迴響 由 Ninetales — 2013/01/29 @ 9:50 下午 | 回覆

      • 那是因為基於不定義0^0所建立的理論,
        如果要定義0^0當然有矛盾。
        這種問題你們自己有辦法解決。
        不要影響0^0=1在一般領域的應用。

        迴響 由 Yee — 2013/01/29 @ 10:09 下午

  128. 敢問Yee所以0^0=1在一般領域的應用是指哪方面的應用,如何應用?
    雖然你一再強調0^0=1的"重要性"。但印象中你未有提及這個問題。
    本人的領域不是代數,數論等。請指教

    迴響 由 Justin — 2013/01/30 @ 2:36 上午 | 回覆

  129. 一個運算#,
    若滿足結合律及封閉性,
    則可以定義任意個運算元的運算。
    a[1]#a[2]#…#a[n]
    如果單位元素e存在,
    可以定義0個運算元的運算結果為e。

    所以
    0個數的和是0。
    0個數的乘積是1。
    0個數的最大值是-∞。
    0個數的最小值是∞。

    0^0與0!都是0個數的乘積,
    都等於1。

    迴響 由 Yee — 2013/01/30 @ 6:45 上午 | 回覆

  130. 在組合數學裡,
    n!是n物排列的方法數。
    C(m,n)是從m物中取出n物的方法數。
    m^n是將n物分給m人的方法數。

    0!是0物排列的方法數。
    C(0,0)是從0物中取出0物的方法數。
    都等於1。
    不用做任何事就已經滿足要求,
    是一種方法。

    0^0是將0物分給0人的方法數。
    也是一種方法。
    可以從觀念得到0^0=1。

    迴響 由 Yee — 2013/01/30 @ 6:45 上午 | 回覆

  131. 多項式a[0]+a]1]*x+…+a[n]*x^n
    若要化簡為

    n
    Σ a[k]*x^k
    k=0

    就要把x^0視為1。
    多項式並沒有限制x不可為0。
    當然就要定義0^0=1才能這樣化簡。
    如果不這樣化簡,
    把常數項分開寫,
    那也只會帶來不便、徒增困擾而已。

    迴響 由 Yee — 2013/01/30 @ 6:46 上午 | 回覆

  132. 二項式定理

    (x+y)^n=
    n
    Σ C(n,k)*x^k*y^(n-k)
    k=0

    如果用上式來展開(1-1)^n,
    會得到0^0=1。
    數學家為了閃躲這個問題,
    限制n>0,
    把巴斯卡三角形砍頭。
    但即使如此,
    展開(1+0)^2時,
    仍然無法閃躲0^0=1。

    迴響 由 Yee — 2013/01/30 @ 6:47 上午 | 回覆

    • 除了組合學的一點成立,其他幾點只是convention的問題,並無數學意義可言。如果你認為"違反連續性"的反對理由是對連續性上綱,那你對這些exceptional case的強加定義對我來說也算是對「美」的無限上綱了。另外,請不是把0!與0^0相提並論。0! = 1 討論空間不大,與0^0不能相比。

      迴響 由 Soarer — 2013/01/30 @ 1:37 下午 | 回覆

      • 剛維基了一下。直接轉貼吧,http://en.wikipedia.org/wiki/0%5E0#Zero_to_the_power_of_zero
        Some argue that the best value for 0^0 depends on context, and hence that defining it once and for all is problematic.[13] According to Benson (1999), “The choice whether to define 0^0 is based on convenience, not on correctness."[14]
        Others argue that 0^0 is 1. According to p. 408 of Knuth (1992), it “has to be 1″, although he goes on to say that “Cauchy had good reason to consider 0^0 as an undefined limiting form" and that “in this much stronger sense, the value of 0^0 is less defined than, say, the value of 0 + 0″ (emphases in original).[15]
        參考來源可以維基找到,如果是專業研究者相信可找到更準確的資料
        Yee剛提到的應用相信已有其他高手回應過,反而我們可以思考一下這句話"The choice whether to define 0^0 is based on convenience, not on correctness."。

        迴響 由 Justin — 2013/01/30 @ 2:09 下午

  133. 定義0^0=1才方便。
    如果不定義,
    只能閃躲或是偷用。

    迴響 由 Yee — 2013/01/30 @ 6:38 下午 | 回覆

  134. 0!=1討論空間不大,
    是因為沒有連續性的問題。
    此外,二者的觀念大同小異。

    迴響 由 Yee — 2013/01/30 @ 6:40 下午 | 回覆

    • Of course there is also an issue of continuity for 0! = 1. It just happens that it IS continuous in this case. (See Gamma function)

      迴響 由 Soarer — 2013/01/31 @ 12:10 上午 | 回覆

  135. 今天偶見此頁,沒甚麼新意,純記錄 http://tophersmathmusings.blogspot.hk/2014/11/the-trouble-with-rules-or-what-does.html

    迴響 由 johnmayhk — 2014/12/01 @ 4:30 下午 | 回覆


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