# Quod Erat Demonstrandum

## 2008/11/14

### 錯在哪裡系列：切於一點

Filed under: HKCEE,mathematics — johnmayhk @ 12:25 下午
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If the graph of $2x + 3y = k$ touches the graph of $y = -x^2 + 2x + k$ at one point, evaluate $k$.

$k$ 寫成 subject，從而消去 $k$，即

$2x + 3y = y + x^2 - 2x$
$\Rightarrow x^2 - 4x - 2y = 0$ – – – – – – (*)

$\Delta = 0$，得

$(-4)^2 - 4(1)(-2y) = 0$
$\Rightarrow y = -2$

$k = 2(2) + 3(-2) = -2$ 這個錯誤答案。

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## 2 則迴響 »

1. x^2-4x-2y=0 is an equation in two variable.
We can’t consider its determinant.

迴響 由 stupid girl — 2009/05/18 @ 10:07 下午 | 回覆

2. 謝謝你的回應。

你指的是應該是’discriminant’（判別式），而非’determinant’（行列式）吧？

$\Delta$ 不過是一個「工具」，當視 $y$ 為常數（with respect to $x$），則考慮 $\Delta$ 是完全沒有。

上述做法最大問題，是 $k$ 不似 $x$$y$ 般有它們的幾何意義。 （式子中的 $x, y$ 其實是 $x$-坐標和 $y$-坐標，但 $k$ 不過是某常數）

我們把 $y = \frac{-2x}{3} + \frac{k}{3}$ 代入 $y = -x^2 + 2x + k$，其幾何意義是尋找兩圖象交點的 $x$-坐標，所謂「代入」這個運算動作，不過是問：當在兩圖上的點之 $y$-坐標相等時，它們對應是 $x$-坐標如何呢？如果兩圖相切，即兩圖對應的 $x$-坐標只有一個，故由「代入」產生的二次方程得一個解，我們便可用 $\Delta$ 這個工具（$\Delta = 0$）來解決問題。

但若以 $k$ 為 subject，「代入」這個運算動作，其實是問，當兩條等式的 $k$ 值相等的時候，跟住會怎樣？不知道，因為縱然兩等式的所謂 $k$ 值相等，（起碼）圖象上也不一定代表「交點」！事實上在直線 $2x + 3y = k$ 上任取一點 $(x_1,y_1)$，也在曲線 $y = -x^2 + 2x + k$ 上任取一點 $(x_2,y_2)$，這兩點可以是毫無關聯，但卻有

$k = 2x_1 + 3y_1$
$k = y_2 + x_2^2 - 2x_2$

從而得到

$2x_1 + 3y_1 = y_2 + x_2^2 - 2x_2$

也就是說

$2x + 3y = y + x^2 - 2x$

有無限個解（因 $x_1, x_2, y_1, y_2$ 有無限個可能性）

如果把上式「化簡」成：

$x^2 - 4x - 2y = 0$

即強迫 $x_1 = x_2, y_1 = y_2$，即是當兩圖象相交之際。那麼，對任意的 $k$，若兩圖相交於 $(x_1 , y_1)$，即 $x_1, y_1$ 滿足 $x^2 - 4x - 2y = 0$，用 $\Delta = 0$ 計出了 $y = -2$，隨即計出 $x = 2$，不過是說明 $(2,-2)$ 是個交點（未必是切點），你也可以隨便用任意方法，「老屈」出某個 $y$，同樣可以找到 $x$，從而找別的一個 $k$ 值，根本不是題目要求的，在切於一點的情況下的 $k$ 值。

重申，兩式子的 $k$ 值相等，根本沒有什麼幾何意義，從而不能用之來討論（比如）切於一點的情況。

迴響 由 johnmayhk — 2009/05/20 @ 10:18 下午 | 回覆