Quod Erat Demonstrandum

2008/11/14

錯在哪裡系列:切於一點

Filed under: HKCEE,mathematics — johnmayhk @ 12:25 下午
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在下每年幾乎都要教四個課程,同工一定了解,到時到侯就是測驗「旺季」,同時段出三四份卷,批改五六份卷,常有之;案桌堆積的功課作業,是欠學生的迷債;如果授課員是有家室之人(像我),時間很可能是不由自主(以致工作計劃告吹又告吹),只能嘆一聲「人在江湖」。

入正題,以下是改卷時看到的。

這是一道中四數學題:

If the graph of 2x + 3y = k touches the graph of y = -x^2 + 2x + k at one point, evaluate k.

答案是 k = -\frac{8}{3}。技巧不過是代入法或消去法云云,再考慮判別式等於零諸如此類。

但部分同學給出以下做法:

k 寫成 subject,從而消去 k,即

2x + 3y = y + x^2 - 2x
\Rightarrow x^2 - 4x - 2y = 0 – – – – – – (*)

之後,他們用

\Delta = 0,得

(-4)^2 - 4(1)(-2y) = 0
\Rightarrow y = -2

代入 (*),得 x = 2,從而得出

k = 2(2) + 3(-2) = -2 這個錯誤答案。

習題
試評論上述做法之不妥之處。

其實要感謝學生,他們讓授課員知道還有教什麼。

2 則迴響 »

  1. x^2-4x-2y=0 is an equation in two variable.
    We can’t consider its determinant.

    迴響 由 stupid girl — 2009/05/18 @ 10:07 下午 | 回覆

  2. 謝謝你的回應。

    你指的是應該是’discriminant’(判別式),而非’determinant’(行列式)吧?

    \Delta 不過是一個「工具」,當視 y 為常數(with respect to x),則考慮 \Delta 是完全沒有。

    上述做法最大問題,是 k 不似 xy 般有它們的幾何意義。 (式子中的 x, y 其實是 x-坐標和 y-坐標,但 k 不過是某常數)

    我們把 y = \frac{-2x}{3} + \frac{k}{3} 代入 y = -x^2 + 2x + k,其幾何意義是尋找兩圖象交點的 x-坐標,所謂「代入」這個運算動作,不過是問:當在兩圖上的點之 y-坐標相等時,它們對應是 x-坐標如何呢?如果兩圖相切,即兩圖對應的 x-坐標只有一個,故由「代入」產生的二次方程得一個解,我們便可用 \Delta 這個工具(\Delta = 0)來解決問題。

    但若以 k 為 subject,「代入」這個運算動作,其實是問,當兩條等式的 k 值相等的時候,跟住會怎樣?不知道,因為縱然兩等式的所謂 k 值相等,(起碼)圖象上也不一定代表「交點」!事實上在直線 2x + 3y = k 上任取一點 (x_1,y_1),也在曲線 y = -x^2 + 2x + k 上任取一點 (x_2,y_2),這兩點可以是毫無關聯,但卻有

    k = 2x_1 + 3y_1
    k = y_2 + x_2^2 - 2x_2

    從而得到

    2x_1 + 3y_1 = y_2 + x_2^2 - 2x_2

    也就是說

    2x + 3y = y + x^2 - 2x

    有無限個解(因 x_1, x_2, y_1, y_2 有無限個可能性)

    如果把上式「化簡」成:

    x^2 - 4x - 2y = 0

    即強迫 x_1 = x_2, y_1 = y_2,即是當兩圖象相交之際。那麼,對任意的 k,若兩圖相交於 (x_1 , y_1),即 x_1, y_1 滿足 x^2 - 4x - 2y = 0,用 \Delta = 0 計出了 y = -2,隨即計出 x = 2,不過是說明 (2,-2) 是個交點(未必是切點),你也可以隨便用任意方法,「老屈」出某個 y,同樣可以找到 x,從而找別的一個 k 值,根本不是題目要求的,在切於一點的情況下的 k 值。

    重申,兩式子的 k 值相等,根本沒有什麼幾何意義,從而不能用之來討論(比如)切於一點的情況。

    迴響 由 johnmayhk — 2009/05/20 @ 10:18 下午 | 回覆


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