# Quod Erat Demonstrandum

## 2008/11/16

### F.2 Mathematics: factorization by cross method

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 6:20 下午
Tags: ,

Factorize

$x^2 - 5x - 6$.

By using the cross method, students may give the following two ‘possible answers’.

A. $(x - 2)(x - 3)$
B. $(x + 1)(x - 6)$

The correct answer is B. Some students may opt for A because the expression in A could give (so-called) the middle term $-5x$. However, the constant term in A is $+6$ (not $-6$, the correct one), hence A is not the answer.

Setting this type of question may remind students of the importance of checking the constant term.

Other examples like

$x^2 - 13x - 30$ =

A. $(x - 3)(x - 10)$
B. $(x + 2)(x - 15)$

$x^2 - 15x - 54$ =

A. $(x - 6)(x - 9)$
B. $(x + 3)(x - 18)$

Correct answers to the above are B. But some students may get it wrongly.

To set up such kind of questions, just consider two expressions:

$(x - a)(x + b)$
$(x - c)(x - d)$

All we need is setting

$ab = cd$ and $a - b = c + d$

Yield

$(c - b)(d - b) = 2b^2$ – – – – – – (*)

Then, we may put different positive integral value of $b$ and evaluate $c, d$ and finally $a$.

Just give an example.

Put $b = 7$ (say), by (*),

$(c - 7)(d - 7) = 2\times 7\times 7$

Just take $c - 7 = 7$ and $d - 7 = 2 \times 7$, thus

$c = 14, d = 21$ and hence $a = \frac{14 \times 21}{7} = 42$

Hence we have two expressions

$(x - 14)(x - 21) \equiv x^2 - 35x + 294$
$(x + 7)(x - 42) \equiv x^2 - 35x - 294$

having the same ‘middle terms’ with constant terms differing in sign.

## 14 則迴響 »

1. 宜家覺得最恐怖係
聽見小學都用計數機教乘數
唔使諗乘數表

迴響 由 溟天凱 — 2008/11/16 @ 6:29 下午 | 回應

2. 唔係 fai….
想當年….. 媽媽指出九因歌是中國的國粹之一
之後在籐條輔助下，乘數表我當年背背下就識了 =_="

幾年前已有報導指外國的小朋友乘數根底薄弱…
仲唔到毒瘤像金融海嘯般殺到香港… = =

假若未來的主人翁 foundation 禁差….
佢地幾時先可以成為 “真正" 的主人翁？不解。

迴響 由 Ricky — 2008/11/17 @ 3:18 上午 | 回應

3. 我幫就讀小學五年級的侄兒看數學功課時，知道他是用心算的。

「理解」是重要，但相信「背誦」也有一定的正面作用。背誦國寶級文物「九因歌」，除了有助學習乘數，相信在小朋友的腦袋中，或多或少會產生某些網絡連繫（嗯，吹水的，手上沒有科學實證），腦部得以成長，對學習新事物或有所裨益（我用「或」，因為那是憑空猜測的。）

用一月、二月、三月等等，在某程度上比 January，February，March 更易於讓小朋友掌握。以英語來學乘法，可能較用中國人的「九因歌」困難。這個「國技」，絕對有保留的價值。

迴響 由 johnmayhk — 2008/11/17 @ 1:10 下午 | 回應

4. “或多或少會產生某些網絡連繫.."
從認知心理學角度上 (記憶)，這是有可能的。

至於是如何，小弟只知皮毛…
不敢在各高人前亂拋書包。
還望高手指點。

迴響 由 Ricky — 2008/11/17 @ 7:33 下午 | 回應

5. 真是有一間中學的數學老師，教學生用 program 計算 factorization 的題目，說用 cross method 浪費時間云云，留待中四時才學好了！

迴響 由 — 2008/11/22 @ 6:17 下午 | 回應

6. 中二學 cross method?

迴響 由 W — 2009/03/25 @ 5:27 下午 | 回應

7. Yes, nearly all methods and identities (including a^3 + b^3 , a^3 – b^3) about factorization are taught in F.2 in my school.

迴響 由 johnmayhk — 2009/03/25 @ 5:59 下午 | 回應

8. 唔知可唔可以在cross-method中用分數or小數點?

迴響 由 Lam Ho Hung — 2009/10/28 @ 5:29 下午 | 回應

• Cross method 的目的是因式分解。

比如要因式分解

$x^2 - 2.7x + 0.4301$

你又厲害到，在沒有二次公式或／和計算機的幫助下，可以想到

$0.4301 = 0.17 \times 2.53$

從而得到

$x^2 - 2.7x + 0.4301 \equiv (x - 0.17)(x - 2.53)$

那麼 cross method 為何不能出現小數？

但如果同學用計算機的程式，進行以下的因式分解：

$10000x^2 - 27000x + 4301$

計算機顯示了

$0.17$$2.53$

從而同學誤以為

$10000x^2 - 27000x + 4301 \equiv (x - 0.17)(x - 2.53)$

的話，那當然是錯。

（注：正確是 $10000x^2 - 27000x + 4301 \equiv 10000(x - 0.17)(x - 2.53) \equiv (100x - 17)(100x - 253)$

又例如，你可以 cross method 分解

$x^2 -2x - 1$

如果你厲害到，在沒有二次公式或／和計算機的幫助下，可以想到

$-1 = (1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})$

從而得到

$x^2 -2x - 1 \equiv (x - 1 + \sqrt{2})(x - 1 - \sqrt{2})$

那麼 cross method 為何不能出現無理數？

注：題目應要說清楚容不容許 $\sqrt{2}$ 在答案中出現。

迴響 由 johnmayhk — 2009/10/28 @ 8:42 下午 | 回應

9. 我而+中二教identity and fatorization 都冇教cross method-.-我想學ah-.-

迴響 由 warren — 2009/11/01 @ 4:06 下午 | 回應

• 我上年中二冇教cross method, 但中三有教, 所以我唸你中三都有得學嫁啦

迴響 由 winnie — 2011/09/23 @ 6:32 下午 | 回應

10. 我唔明hence 之後要點訐 比左個hence係唔係無關係 ? 只係叫你計埋佢?

迴響 由 zero — 2011/12/01 @ 10:39 下午 | 回應

11. No . “Hence" means you have to use the result of the last question

迴響 由 Tony — 2012/03/31 @ 4:02 下午 | 回應