Quod Erat Demonstrandum

2008/12/07

做數雕蟲小技系列:看整體

看整體有時比看局部好。舉例

1. Factorize (x + y)^3 + (x - y)^3.

部分同學把焦點集中在 (x + y)^3(x - y)^3 這兩個部分,他們會採取「爆破」的策略,把 (x + y)^3(x - y)^3 分別爆開,即 (x + y)^3 \equiv x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3(x - y)^3 \equiv x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3。但如果看整體,即 (x + y)^3 + (x - y)^3 其實已是 A^3 + B^3 這個形式(其中 A = x + y, B = x - y),那麼即時運用 A^3 + B^3 \equiv (A + B)(A^2 - AB + B^2) 便可簡化運算。當然,不少初中同學會寫以下錯誤的東西:(x + y)^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) (錯錯錯!),更遑論得出正確答案。

2. Simplify \cos (A + B)\cos (A - B) + \sin (A + B)\sin (A - B).

部分同學把焦點集中在 \cos (A + B), \cos (A - B), \sin (A + B), \sin (A - B) 這四個部分,嘗試用玩四次複角公式(compound angle formulae),諸如 \cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B 云云,結果製造出冗長式子。但如果看整體,原式 \cos (A + B)\cos (A - B) + \sin (A + B)\sin (A - B) 不過是 \cos X \cos Y + \sin X \sin Y 這個形式(其中 X = A + B, Y = A - B),立時可化簡成 \cos(X - Y),即 \cos[(A + B) - (A - B)],故答案不過是 \cos 2B 而已。

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中四數學:有關代數運算的小事

6 則迴響 »

  1. 其實會考的因式分解也是考睇整體
    不過對一些數感差的學生
    他們懂得將
    x^2 – 9
    因式分解

    但他們就不懂得將
    (x+1)^2 – y^2
    因式分解

    迴響 由 溟天凱 — 2008/12/08 @ 1:32 下午 | 回覆

  2. 溟天凱君所言甚是,老師往往不明白為何學生不明白由「x^2 – 9」過渡到「(x+1)^2 – y^2」,這些深層問題猶如空間感一樣,不一定容易被糾正過來。

    迴響 由 johnmayhk — 2008/12/08 @ 2:52 下午 | 回覆

  3. 不知網主有何高見
    將這一類學生教好

    本人教會考班時
    已把這一類題形重覆n次(n –> infinity)
    但成效甚微

    迴響 由 溟天凱 — 2008/12/08 @ 3:47 下午 | 回覆

  4. 溟天凱君

    我愈來愈偏向相信有「數學學習障礙」這回事。

    儘管做相同題型無限次,成效仍然不彰。

    不過,相信大部分學生都可以學懂,問題是

    1. 老師講解不清(我或許有這個毛病)
    2. 學生基礎不穩(很多初中代數問題是有關括弧運算,要幫他們破關)
    3. 學生忘記所學(我沒有高見,第一策略不過是:題海戰術)
    4. 需要個別輔導(老師有心無力吧?大家明白。)

    我也試過 Re-Re-Re Quiz(同一份卷做到合格為止),不錯,大部分學生也可達標,但,始終不是 100%。

    早前校內的教師發展日,講者給我們看一些統計資料,當中談到,banding 愈好的學校,數學老師的上課時的外評觀課得分便愈低,簡單來就是老師處理課堂「花心思」程度愈低,可能我也屬於這個 category,所以沒有什麼花式有效幫助同學學好數學,希望高手們提供意見交流。

    迴響 由 johnmayhk — 2008/12/08 @ 5:52 下午 | 回覆

  5. 大家好,小弟是一名f4學生。
    正如大家所說,本人亦曾嘗試經歷(正在經歷)因式分解的題目。
    其實我認為除了數感差的理由外,是由於我們不能了解general term 。
    如: (a+b)(a-b)=a^2-b^2,我們學過,卻不懂將其運用,因為我們只注意a和b,不明白佢地只是代數,是以不能將x+1看成a。
    所以,老師們應多加訓練我們這方面的認知能力。

    迴響 由 Ma Ka Chung Keith — 2009/11/12 @ 11:27 下午 | 回覆

    • 非常珍貴的留言!感謝馬同學。我會努力的。

      迴響 由 johnmayhk — 2009/11/12 @ 11:35 下午 | 回覆


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