Quod Erat Demonstrandum

2008/12/08

出卷無聊談

Filed under: Uncategorized — johnmayhk @ 5:21 下午
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年多前,我帶隊參與某數學比賽,遇上舊同學。我告訴他,我的同事是自己創作 pure mathematics 和 applied mathematics 考卷的題目。他很驚訝,因為他以為,一般來說,授課員只會在題目庫或作業書內「選題目」的。記得我初入職時,同事 F 老師分享過,他出一份模擬試卷好像寫書一般。我也曾建議科主任把他自己的佳作結集成書,只是他太多校內要務纏身,分身不下。新高中,新的考試範圍與模式下,舊日同事創作的精采考題,已在歷史洪流中湮沒,不能使用。

自己創作考題,頗花心思和時間,所以往往是過「死線」才完成。

從過往經驗,自己擬題往往較「深」(從學生觀點看)。我也談過,所謂深和淺,是有主觀成份的。老師長期在課程範圍內游走,某些題型和思路已經熟透;但對學生來說,他們很可能是初次接觸,又或在考試前,因老師匆匆完成的授課,同學對那些東西沒有充分掌握。類似情況,比方說,對數學比賽的高手,某些數學競賽題目的思路和解決技巧,經訓練後已變成易於洞察,所以數學比賽的高手三數分鐘解出的問題,給我這個只熟悉中學數學課程範圍的授課員,可能幾天也想不出來。也是這樣,數學比賽的高手口中說「淺」的題目,對授課員來說可以是「深」。有沒有可能存在數學比賽的高手在校內數學卷中不能取近乎滿分的情況?當然有,機會較小,很多時侯不是數學能力問題,而是別的,諸如心理因素(不屑做無聊繁瑣的運算,只對有趣精巧的題目產生興趣),那麼,校內的卷對於那樣的人,就是「深」了。

出卷最關心的應該不是深與淺的問題,而是:「可否達成考試的功能?」。包括(起碼)以下兩點:

1. 分辨出不同能力的學生
2. 總結學生對某課題的掌握程度

太「淺」和太「深」的卷都做不到第 1 點;太偏僻的題目,做不到第 2 點。

前校長鍾修士(Brother Anthony, BA)談過「老師出難題沒有問題,問題是你有沒有本事教到你的學生懂得做你出的難題?」,這經常在我腦中的話,可是,雖然我也是頗有經驗(so to speak)的授課員,但至今,我對自己出的卷沒有多大的滿意,所以沒有資格說什麼高言大智。

讓我拋幾道題目分享一下有關擬題的無聊談論:

1. 利用恆等式 a^2 - b^2 = (a + b)(a - b),因式分解(factorize) x^2 + 6x + 5

這是看侄女功課時,她投訴的一例:明明她的 cross method 已經「爐火純青」,一步到位,因何要禁用,而要用以下的「愚蠢」方法?

x^2 + 6x + 5
\equiv x^2 + 6x + 9 - 4
\equiv (x + 3)^2 - 2^2
\equiv (x + 3 + 2)(x + 3 - 2)
\equiv (x + 5)(x + 1)

當然,要考核 a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) 是無可厚非,但放在這一個場合問,似乎有點反智。

2. 利用恆等式 a^2 - b^2 = (a + b)(a - b),拆開(expand) (3w + 1)(\frac{t}{3} - wt)

建議答案是

(3w + 1)(\frac{t}{3} - wt)
\equiv \frac{t}{3}(3w + 1)(1 - 3w)
\equiv \frac{t}{3}[1^2 - (3w)^2]
\equiv \frac{t}{3} - 3tw^2

學生要抽出 common factor t ,再通分母,再用恆等式,事情好像簡單複雜化了,何不直接使用分配律(拆括孤)?即

(3w + 1)(\frac{t}{3} - wt)
\equiv 3w(\frac{t}{3}) - (3w)(wt) + \frac{t}{3} - wt
\equiv \frac{t}{3} - 3tw^2

得之。

3. 有關問問題的小問題

上星期六的某講座中,講者說我們初中老師對某些題目教得不好,舉例:

解方程(Solve the equation)ax = b,答案是 x = \frac{b}{a} 嗎?

錯!老師就是要教好一點,答案應是:

如果 a \ne 0,則 x = \frac{b}{a}
如果 a = 0, b = 0,則 x 可取任何數值;
如果 a = 0, b \ne 0,則原式無解(no solution)。

或許在題目注明「a \ne 0」可能好一點。

我看一些考題,比如

Make y the subject of x = \frac{y + 1}{y - 1}.

也會建議注明「x \ne 1」之類。

不過部分同事認為加上諸如「x \ne 1」的描述會混亂學生,這又不無道理。

「Find x」已成我堂上攪的 Gag,應說「Find the value of x」。類似地對「Find \angle ABC」和「Find the size of \angle ABC」,學生熟悉前者,雖然後者的說法是正確的。始終不過是校內卷,大家老師有共識便可以了。

4. 相信中學數學教育不是訓練學生做人肉計算機,現在考題都是著重能力導向,會考擬題相信也是相若。考核某種數學能力,比如解聯立方程,盡量不以繁瑣運算來增加「懲罰」,容易地,我可以擬出下題:

Solve the following simultaneous equations.

\frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{5}}\sqrt{2x - 1} - \frac{y^2}{2 + \sqrt[3]{4}} = \log{2008}
\frac{\sqrt{82x - 41}}{5} + \frac{\sqrt{3}y^2}{2 - \sqrt[3]{5}} = \sqrt[4]{6} - \sqrt{2x - 1}

想像一名初中學生,在緊張的考試氣氛下,遇上以上題目,他內心的感受如何?

有時不用煩惱自尋,我擬出下面題目,學生也未必可以得出正確答案:

(a) Factorize (2x - 4)^2.
(b) Comment the following question: a(b - 1) - b + 1 = ?.

長題目有更多東西可以談,不過,我現在應該收聲。

2 則迴響 »

  1. 我就咁E家睇已經好驚…

    迴響 由 SP Loa — 2008/12/10 @ 8:26 下午 | 回覆

  2. SP Loa,中三數學,嗯,祝你好運…

    迴響 由 johnmayhk — 2008/12/13 @ 11:46 上午 | 回覆


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