Quod Erat Demonstrandum

2009/03/09

Just answer questions from F7 student

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKALE — johnmayhk @ 2:45 下午

Q.1

sin x 同cos x 既taylor’s theorem expansion say the last term of sin x is (-1)^(n-1)*x^(2n-1)/(2n-1)! 個power of x of the remainder term 係咪2n or 2n+1 都得? similarly, the last term of cos x is (-1)^n*x^(2n)/(2n)! 個power of x of the remainder term 係咪2n+1 or 2n+2 都得?

Reply to Q.1

\sin x 的 Taylor’s expansion 是

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots

若取頭 n 個非零項作 \sin x 之近似值,即

\sin x \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + \frac{x^{2n - 1}}{(2n - 1)!}

即其”last term”或”error term”或”remainder term”(餘項),通常是給

\frac{f^{(2n + 1)}(\xi)}{(2n + 1)!}x^{2n + 1} (其中 \xi 介乎 0 和 x 之間)

但可否取

\frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!}x^{2n} 作為餘項?

可以,但取 \frac{f^{(2n + 1)}(\xi)}{(2n + 1)!}x^{2n + 1} 很多時是較優,特別是當 x 的數值較小時。

其實,\frac{f^{(2n + 1)}(\xi)}{(2n + 1)!}x^{2n + 1} 不只是

\sin x \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + \frac{x^{2n - 1}}{(2n - 1)!} – – – (1)

的餘項,它也是

\sin x \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + \frac{x^{2n - 1}}{(2n - 1)!} + 0 – – – (2)

的餘項,那個 0,其實是 \frac{f^{(2n)}(0)}{(2n)!}x^{2n}。以 (1) 或 (2) 計算 \sin x 的近似值,答案無異,但 (2) 是取多一項(雖然是零),故我們可取 \frac{f^{(2n + 1)}(\xi)}{(2n + 1)!}x^{2n + 1} 作為「更好」的餘項,來估計誤差。

Open-ended question:對任何函數,取泰勒展式(Taylor’s expansion)後,是否取愈多項,誤差(餘項)的絕對值一定愈小?

Q.2

revision notes p.22 theorem 2 如果將there exists a positive constant K s.t. max of absolute f'(x)=K<1 改做x-g(x) monotonic 係咪只可以PROVE 到unique sol. 而converge 就唔得?

Reply to Q.2

20090309gif011

沒有時間慢慢分析,用圖。上圖的曲線為 y = g(x) 的圖象,設 g(x) 的定義域(domain)為 [0,1],易見

1. g(x) \in [0,1] for all x \in [0,1]
2. g(x) - x is monotonic decreasing

但存在 x_0 \in [0,1] 使 g'(x_0) < 1,那麼由 x_0 出發,產生出的數列 x_1, x_2, \dots 並不逼近 g(x) = x 的根。

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