Quod Erat Demonstrandum

2009/03/25

教學現場之中二數學之又玩計算機

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 12:14 下午

今天又是教學生使用計算機。

「大家取出計算機,幫我計一計 \theta 的數值是多少。」

\cos\theta = \frac{\cos35^o}{\sqrt{5}}

全班用類似型號的機,但給的答案卻「不盡相同」。

有人說 math error 啦,有人給零點幾啦,有人答三十幾度等等。可以看到,硬件不一定是最重要,授課員要教的,始終是人。

先開估,上述答案是 68.51017867… 度

隨即,我介紹 \tan\theta.

要同學幫我計一計:

\tan10^o = ?
\tan30^o = ?
\tan50^o = ?
\tan70^o = ?
\tan90^o = ?

同學很容易給出答案,很快地,他們問

「點解 \tan90^o 係 math error」
「點解 \tan91^o 係負數」

可見,透過計算機,中二的同學已經可以「跳出框框」,考慮超越 90^{o} 的情況。

我不直接回答,為使他們看出「戲劇效果」,於是再問

\tan89^o = ?
\tan89.99^o = ?
\tan89.9999^o = ?

他們看到

\tan89.9999^o = 五十幾萬」的時候,心中應該有一些感覺。隨即我「打蛇隨棒上」,問:「你們的計算機可以承受小數點後多少個 9 而”唔爆機”?」同學開始以探究的心情按機,「嗯,爆機未呀?駛唔駛用 scientific notation 呀?」

「可見,由 10^o 變成 30^o,由 30^o 變成 50^o,每增加 20^o,正切值(tangent)增加只有零點幾;但當角度愈來愈接近 90^o,正切值的增幅就愈來愈’驚人’。點解會咁呢?」

之後便轉入:「大家覺得 \tan\theta 和之前的 \sin\theta\cos\theta 最大的分別是什麼呢?」同學已經可以答:「\sin\theta\cos\theta 的數值不可大於 1,但 \tan\theta 的數值可以很大。」感恩。之後當然是放下計算機,嘗試以圖解釋這個現象。

忽然腦中一閃,問:「大家認為下面兩個數值,哪一個較大?」

\tan(\sin 35^o)
\sin(\tan 35^o)

「不要用計算機直接計,但可以試下計其他數值,比如」

\tan(\sin 34^o)
\sin(\tan 34^o)

\tan(\sin 25^o)
\sin(\tan 25^o)

等等。

「o拿,就好似買大細o甘,你估下哪一個數值比較大?」
「當然唔好同數學家輸賭,你好大機會輸的!」(gag 來的)

詩化地:他們就好像可以透過手上的武器,探索未知的未來。

(此篇用時:5 min.)

後補:

為讓初中學生產生驚訝效果,課堂中段,我要他們計算:

\frac{\tan82^o - \tan37^o}{1 + \tan82^o\tan37^o} = ?

\frac{\tan83^o - \tan38^o}{1 + \tan83^o\tan38^o} = ?

\frac{\tan84^o - \tan39^o}{1 + \tan84^o\tan39^o} = ?

他們問:「點解會o甘o既?」

暗喜:學習有動機,教學好時機。

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