Quod Erat Demonstrandum

2009/04/15

純數生活例子(無聊篇)

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 8:09 上午

中四數學教科書中,有關於圓的切線(tangent)之主題,當中舉了一個「生活例子」:太陽從海面初升,代表了圓形交直線於兩個不同點;當整個圓形剛剛從海面出現,就是直線切圓於一點的情況云云。嗯,不能說這個例子無聊,只是「層次似乎略為有點兒不是太高」而已…

純數有沒有「生活例子」?當然有啦,但我不(懂)認真地談,只是仿照上例作「無聊談」。

無聊例一:那天,我在茶餐廳吃早餐,電視傳出一則頭條:「食環署荒謬玩死人 女骸變男骨」。

那時我想:設 x 是人,把其屍體化成骨灰,是一個轉換過程,轉換成 f(x)。

設有兩堆骨灰 f(x) 及 f(y),如何確保它們是來自同一人?我們就要有一個方法,不管是化驗還是什麼,其實是把骨灰做一些轉換。姑且稱這個轉換為 g,其中 g 要滿足:「g(f(x)) = g(f(y)) 推論 x = y」,這就是說,函數 gof 是單射(injective)了…

無聊例二:大家都知道交通燈號有紅黃綠三色,當紅燈亮起後,跟著會亮什麼燈?答:「紅黃」燈。為何不單單亮黃燈?理由是:function 要 well-defined 嘛,假設亮燈次序為:紅-黃-綠-黃-紅-…,以函數記之曰

f(紅) = 黃
f(黃) = 綠 – – – (1)
f(綠) = 黃
f(黃) = 紅 – – – (2)

看,(1) 和 (2),輸入「黃」,出現「綠」「紅」兩個不同答案,即是函數 f 不是 well-defined。那麼司機大佬,見「黃」,下一刻便無所適從。所以我們要令函數 well-defined,可設

f(紅) = 紅黃
f(紅黃) = 綠
f(綠) = 黃
f(黃) = 紅

無聊透了,我忽然想起曾和幾個數學系同學在 MTR 談「合 24」:當出現某些數字組合便可「不假思索」地說出答案,某人稱那些數字組合為「第一基本型」(first fundamental form)(這是微分幾何的術語),當時我們笑得很開心。

好了,談正經的東西:

數學是客觀的,但課程內容的增刪,就不是。

忘了哪一年,在高考純數的閱卷員報告(marker’s report)中提及,學生做暇積分(improper integral)的題目表現不太理想,建議學生要做好一些(或是要老師教好一些),因為將來面對大學的數理及工程科目時,暇積分是極其重要云云。暇積分的重要性是客觀的真理嗎?但不久,純數課程卻刪剪了這個課題。

當年刪除了「向量」,新高中的 M2 又重新出現,以解決 3D 問題云云。

此一時,彼一時。

授課員就是要「因時制宜」,不是嘆息「生不逢時」。

花了物資,做了諮詢,制定了「對學生最有益」的東西。是,我們要相信。

偶爾翻閱高考純數的閱卷員報告,見

1997 Paper 2 Q.8
…the use of strange notations like f'_{+} and f'_{-} without defining them properly…

1998 Paper 2 Q.9
…It was interesting to see some candidates using the “double factorial" notation in expressing I_{2n}, I_{2n + 1}, a notation used only in books published in the Mainland.

我很懷疑 f'_{+} and f'_{-} 是不是真的屬於「奇怪符號」?隨便查查,甚至可以有 f'_{+}(a)f'(a^+) 同義的符號運用。另外,double factorial 也不是什麼新鮮事,外國文獻也有記載,何解報告說:"only in books published in the Mainland"?

好了,無聊完畢。

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