可導性

這是有關「可導性」（differentiablity）的討論，寫給那天沒有上復活假期補課班的中六同學。注：討論純粹以中學數學的觀點出發。

先請同學回答下面三道是非題：

1. Put into the expression of and it is undefined, then is not differentiable at . True?
2. If , then is differentiable at . True?
3. If is finite, then the value of is also finite. True?

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上面三題的答案皆「不一定是」。

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首先，要描述一個函數是否「可導」（differentiable），我們不是看 這個表達式是什麼，最安全的，都是返回「可導」的定義。

再看看上述的三題

Question 1：

代 入表達式 ，而「計不到數」（undefined），並不一定代表” is not differentiable at ”.

以下是一個經典的例子：

　for　　and　.

對於 ，恆有：

– – – – – – (*)

若把 代入上式 (*)，但因為當 ， 是「計不到數」（沒有定義 undefined），同學往往以為 在 處也是 undefined，故他們聲稱” is not differentiable”。

錯！

判別「可導」與否，一定要回歸「可導」的定義：

” is differentiable at ”的意思是「極限 存在」。

一旦極限存在，我們才可寫 ，而並不是先用中四五的手法，找出 的表達式，再代入 ，就得出 。

返回那經典例子：

　for　　and　.

當我們考慮極限

根據定義，

, ，故

因 有界（bounded），且 ，故 ，即

亦即此極限存在（等於 0，即 ）是故

is differentiable at

Question 2 和 Question 3 可以一併考慮，隨便舉例

　for　　and
　for　

對於 ，我們易知

　for　　and
　for　

易知

於是

但，明顯地， 在 之處是不可導（not differentiable at ）。

最簡單的原因是， 在 之處根本不連續（not continuous at ），見下

可見

是故 在 之處不連續，從而不可導。

現在，具體地計算一下 在 處的左導數（left-hand derivative），即

左導數不存在，導數也自然地不存在，順便回答了 Question 3：

　（finite）但
　（infinite）

重申一次，縱使存在以下關係：

我們也不能知道 存在與否，

亦即不能保證 在 之處是可導。

習題

1. Let

　for　　and
　for　

Suppose is differentiable at , evaluate .

2. Let

　for　　and
　for　

Will be differentiable at for some real number ?

3. Let

　for　　and
　for　

Given that is differentiable at .

Is is true to write ””?