Quod Erat Demonstrandum

2009/04/29

純數小技

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:53 下午
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一.Chain rule 秘技:不要忘記「D 那星」

在下師承我的啟蒙中學教師馬 sir,他喜歡用星星 \star 代表一個 expression,比如要求

\frac{d}{dx}e^{\sin x}

不妨視 \sin x 為一個 expression,以 \star 代之,曰

\frac{d}{dx}e^{\star}

好了,當它是 e^x 來 D,即

\frac{d}{dx}e^{\star} = e^{\star}

錯!未做完,不要忘記「D 那星」,即

\frac{d}{dx}e^{\star} = e^{\star}(\star)'

這就是 Chain rule!也是說

\frac{d}{dx}e^{\sin x} = e^{\sin x}(\sin x)' = e^{\sin x}\cos x

二.Curve sketching 秘技:用計數機

在下從 Day 1 開始已很討厭 curve sketching 的題目,因為覺得無聊,且學生花費很多時間,也不易找到正確的 f'(x)f''(x)。幸好,計算機可以幫忙:檢查答案。

舉 2006 AL Pure Mathematics II Q.7 為例,考慮的函數是 f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x + 6},求 f'(x)f''(x).

假如你的答案是

f'(x) = \frac{x(x + 12)}{(x + 6)^2}
f''(x) = \frac{72}{(x + 6)^3}

(for x \ne -6)

如何驗證它正確與否?用計算機。

CASIO fx-3650P (or 3950P) 有微積分鍵

用法如下。

【MODE】【1】 : 轉成 COMP mode
【SHIFT】【\int dx】 : 開始求導

隨即輸入函數:\frac{x^2 - x - 6}{x + 6}
要輸入 x,按 【ALPHA】【)】,故輸入上式,即

【(】【ALPHA】【)】【x^2】【-】【ALPHA】【)】【-】【6】【)】【\div】【(】【ALPHA】【)】【+】【6】【)】

好了,函數輸入了,現在隨意代入一個數字,比如 2,目的是要計算機顯示 f'(2) 的答案,我們繼續輸入

【,】【2】

一按【EXE】得答案

0.4375

即是說 f'(2) = 0.4375

好了,你檢查一下自己算出來的 \frac{x(x + 12)}{(x + 6)^2},代入 x = 2,得 0.4375,YEAH!放心了…如果不是 0.4375,麻煩你再計過了。

當檢查了 f'(x) 正確,放心繼續做 f''(x)。依樣畫葫蘆,用微積分鍵,是輸入 f'(x) 的式子入計算機,即

開始求導
【SHIFT】【\int dx

輸入函數 f'(x) = \frac{x(x + 12)}{(x + 6)^2}
【(】【ALPHA】【)】【(】【ALPHA】【)】【+】【12】【)】【\div】【(】【ALPHA】【)】【+】【6】【)】【x^2】【)】

隨意試數,比如 3,
【,】【3】【EXE】得答案 0.098765533,即 f''(3) = 0.098765533

好,把 x = 3 代入你計出來的結果 \frac{72}{(x + 6)^3} = 0.098765432,咦,這和計算機算出的有點出入(但已經很接近吧),這時可以試代入另一個數,比如 x = 0,兩者也算出 0.333333333,所以,你求出的f''(x) 有很大的機會是正確,也比較放心可以取 2 分,繼續完成餘下的 13 分了。

另外,尋找漸近線(asymptote),可以代入數值大的 x 值,比如 999999999,比較一下 f(999999999) 和(你找出來的) m(999999999) + c 的值,若它們相差太大,暗示答案可能有誤,要重新計算了。

三.D 兩次秘技:凹凸哭笑

今天教拐點(凹凸性轉變之處),我借用中七同學的作品「哭與笑」幫同學「記憶」,見下:

https://johnmayhk.wordpress.com/2008/12/05/student-work-crying-smiling/

我道:

f''(x) > 0,正,有賺,所以「笑」,即 concave upward(convex)
f''(x) < 0,負,有蝕,所以「喊」,即 concave downward(concave)

(當然,大家不要忘記 MVT 才是推論的王道!)

Also read
https://johnmayhk.wordpress.com/2008/01/24/pure-mathematics-%e8%a3%9c%e5%ba%95/

Disclaimer :
皮毛技巧,高手見笑
這裡也沒有 CASIO 機的廣告…

2 則迴響 »

  1. John Sir, 我搵唔到你今日派True or False個張exercise的答案呀…

    迴響 由 Patrick Wong — 2009/04/29 @ 9:49 下午 | 回覆

  2. Patrick,做完那 quiz 要按 submit 鍵,自動幫你計分的:

    Pure Mathematics True or False Exercise (for 清 concept 之用)

    http://johnng.inscyber.net/uit/quiz.htm

    迴響 由 johnmayhk — 2009/04/30 @ 7:51 上午 | 回覆


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